MR - Mechanische Resonanz Blockpraktikum Herbst 2005

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1 MR - Mechanische Resonanz, Blockpraktikum Herbst 5 7. September 5 MR - Mechanische Resonanz Blockpraktikum Herbst 5 Assistent Florian Jessen Tübingen, den 7. September 5 Vorwort In diesem Versuch ging es um die Messung von Resonanz eines zwischen zwei Federn eingespannten Luftkissengleiters, dessen Bewegung mit Magneten wirbelstromgebremst werden kann. urch einen Motor kann an den Gleiter eine externe Kraft angelegt und mittels Lichtschranke und Maßband können Auslenkung und Periodendauer gemessen werden. Theoretische Grundlagen Im folgenden sei stets m die Masse des Gleiters, x die Auslenkung und t die Zeit, zudem betrachten wir stets einen idealisierten Fall und vernachlässigen Luftreibung, Federmasse, etc.. Harmonische Schwingung Legt man ausserdem keine externe Kraft und keine ämpfung durch die Magnete an, so ergibt sich folgende Bewegungsgleichung: mẍ = x wobei die Federhärte ist Als Lösung dieser GL erhält man x(t) = x sin( m t + ϕ ) wobei m = ω die Kreisfrequenz und ϕ die Phasenverschiebung ist. Gedämpfte Schwingung Im interessanteren Fall einer der Bewegung entgegenwirkenden ämpfung ergibt sich unter der Annahme, dass die ämpfung mit Faktor ηproportional zur Geschwindigkeit ist, folgende GL: mẍ + ηẋ + x = Zur weiteren Vereinfachung definieren wir die Güte Q als amit lässt sich die Bewegungsgleichung umschreiben zu und mit dem Ansatz wobei für das charakteristische Polynom gilt λ, = Q := m η ẍ + ω Q ẋ + ω x = x(t) = Ae λt+ϕ ω Q ± ( ω Q ) 4ω = ω Q ± ω 4Q und aus den Randbedingungen folgt Es lassen sich nun drei Fälle unterscheiden: a) Q < : Kriechfall -> λ komplex, keine Schwingung A = x b) Q = : Aperiodischer Grenzfall -> schnellste Rückkehr zur Ruhelage c) Q > : Schwingfall

2 MR - Mechanische Resonanz, Blockpraktikum Herbst 5 7. September 5 Hier interessiert uns vor allem der Schwingfall mit Q >, für die Bewegungsgleichung gilt dann x(t) = x e ω Q t sin(ω 4Q t + ϕ ) Für die beobachtete Kreisfrequenz ω gilt dann ω = ω 4Q Sei t = t + T so gilt für das Verhältnis der Amplituden x(t ) und x(t ): und damit ω x(t ) x(t ) = e Q (t +T ) e ω = e T ω Q Q t ln x(t ) x(t ) = T ω Q = π Q.3 Erzwungene Schwingung Bei der erzwungenen Schwingung wirkt eine äußere Kraft F (t) auf den Gleiter, hier handelt es sich um eine periodische Kraft der Form Für die Bewegungsgleichung gilt dann: Eine Lösung dieser Gleichung (Mathematica, Maple,...) wäre x(t) = F m F (t) = F cos(ω E t + ϕ ) mẍ + ω Q ẋ + ω x = F m cos(ω E t + ϕ ) cos(ω E t Φ(ω E )) = (ω ω E ) + ω ω E Q F ( ω E ω ) + ω E Q ω cos(ω E t Φ(ω E )) wobei Φ(ω E ) die Phasenverschiebung zwischen der Erregerschwingung und der erzwungen Schwingung ist und für die Amplitude A in Abhängigkeit von ω E gilt: F A(ω E ) = ( ω E ω ) + ω E Q ω urch Ableiten bestimmt man als Maximum der Amplitude die Resonanzfrequenz ω R als ω R = ω 4Q 3 Bestimmung der Güte Zusammenfassend ergeben sich drei verschiedene Methoden, die Güte zu bestimmen: 3. Eigenfrequenz Falls die Eigenfrequenz und die Frequenz mit ämpfung bekannt sind erhält man Q durch ω = ω 4Q 3. Amplitudenabnahme urch das logarithmische ekrement ergibt sich ln x(t ) x(t ) = Π Q 3.3 Breite der Resonanz Trägt man die Amplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ω E in ein iagramm ein, so ergibt sich nach einigen Näherungen die Güte als die relative Breite ω der Resonanzkurve im Abstand ± von der Resonanzfrequenz ω R entfernt. Q ω R ω Aufgrund der verwendeten Näherungen gilt die nur für reltiv große Güten Q.

3 MR - Mechanische Resonanz, Blockpraktikum Herbst 5 7. September 5 4 Auswertung 4. Kreisfrequenz bei unterschiedlicher ämpfung m T [s] 3,3 3,33 3,33 3,35 3,34 Q 9,79 9,79,43 4, ie Auflösung des Periodendauermessgerätes erlaubt hier leider keine exakte Bestimmung der Güte. 4. Ermitteln der Güte mit Hilfe des logarithmischen ekrements Mit Hilfe der Steigungen der Geraden lassen sich die Güten der Federn (in Abhängigkeit der Anzahl der Magnete) ermitteln, wobei Q = π. Bei Magneten erhalten wir so eine Güte von Q = 3. Steigung - - R i -3 7 Magnete - Messwerte -4 7 Magnete - interpoliert 5 Magnete - Messwerte 5 Magnete - interpoliert 3 Magnete - Messwerte 3 Magnete - interpoliert Magnete - Messwerte -5 Magnete - interpoliert Magnete - Messwerte Magnete - interpoliert Magnete - Messwerte Magnete - interpoliert Im nachfolgenden iagramm sind, die oben ermitteln, Güten reziprok aufgetragen. i..5 /Q(m)..5 Q Messwerte Ausgleichsgerade Mit Hilfe der Ausgleichsgerade Q(m) =, 7 m läßt sich ermitteln, das für eine Güte von Q = (aperiodischer Grenzfall), m krit = 74 Magneten erforderlich sind. m

4 MR - Mechanische Resonanz, Blockpraktikum Herbst 5 7. September Resonanzkurven 4 7 Magnete - Messwerte 7 Magnete - interpoliert Magnete - Messwerte Magnete - interpoliert Amplitude [cm] ω/ω 3.5 Phase Magnete Magnete.5.5 ω/ω Bei kleinen ämpfungen (z.b. bei Magneten) kann man nun mit Hilfe der Breite der Resonanzkurve an den Stellen wo die Amplitude um den Faktor ist die Güte erhalten. Konkrekt: as Maximum liegt bei einer Amplitude von A max = 3.8. a die Kurve bei hat, gilt: ω ω =.966 und ω ω =.3 den Wert Amax 4.4 Vergleich Q = ω = 3 ie 3 Verfahren zur Bestimmung der Güte lassen sich nur begrenzt vergleichen, da im ersten Fall keine genau Messung möglich war und auch der letzte sehr unter der Ungenauigkeit der Extrapolation leidet. aher sind wohl die mit Hilfe des logarithmischen ekrements ermitteln Werte die Sinnvollsten.

5 MR - Mechanische Resonanz, Blockpraktikum Herbst 5 7. September Messdaten 4.5. Messung der Amplitude A bei verschiendenen ämpfungen i m=7 m=5 m=3 m= m= m= Messung der Amplitude A und Phasenverschiebung Φ bei verschiedenen Erregerfrequenzen Zeit [s] A (m=7) A (m=) Φ (m=7) Φ (m=)