Der Parameter Migrationsmatrix Teil II

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1 Der Parameer Mgraomarx Tel II Pera Loerke Semar Porfolokredrko Uverä Mahem

2 Rückblck 1. Bedeuug der Mgraomarx 2. Schäzug der Mgraomarx. Sacher Hergrud: Markov-Kee.. Dkree v. kouerlche Ze Ze-Homogeä v. Ze-Ihomogeä 3. Verglech der Schäzer ahad vo Bepele 4. ale-johae Schäzer. Defo. Egechafe. Maxmum Lkelhood Emaor 5. bhäggke vo Covarable. Drf. Wag Tme Der Parameer "Mgraomarx" 2

3 Glederug 1. Bedeuug der Mgraomarx 2. Schäzug der Mgraomarx. Sacher Hergrud: Markov-Kee.. Dkree v. kouerlche Ze Ze-Homogeä v. Ze-Ihomogeä 3. Verglech der Schäzer ahad vo Bepele 4. ale-johae Schäzer. Defo. Egechafe. Maxmum Lkelhood Emaor 5. bhäggke vo Covarable. Drf. Wag Tme Der Parameer "Mgraomarx" 3

4 4. ale Johae Schäzer

5 ale-johae Schäzer Wahrchelchke b zum Zepuk vo ach gepruge zu e P ( ) = ( ) q ( )d α P q dβ ( ) ( ) ( ) = Sprugeä vo ach m Zepuk Wahrchelchke b zum Zepuk zu blebe q β ( ) α ( ) = d ( ) = exp( β ( ) ) Der Parameer "Mgraomarx" 5

6 ale Johae Schäzer Schäzer Pˆ ˆ β qˆ ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = = R exp qˆ Lkeger Wer ( ) ( ( )) ( ) dn log 1 d ˆ β R R ( ) dn = 1 für N N ( ) ( ) > Der Parameer "Mgraomarx" 6

7 Verglech Pˆ ˆ β qˆ Schäzer = qˆ ( ) ( ) ( ) = R ( ) ( ) ( ) = exp log1 R ( ) ( ( )) ( ) dn d ˆ β dn P Parameer ( ) ( ) ( ) β q = q = ( ) ( ) α dβ d ( ) = exp( β ( ) ) Der Parameer "Mgraomarx" 7

8 Egechafe de ale Johae Schäzer Koez Kovergez Verelug Varaz Effzez Der Parameer "Mgraomarx" 8

9 Koez Defo Koez: lm Pr( θ < ε ) = up ˆ 1 P log Im Folgede wrd bewee: Für ( ) P( ) Der Parameer "Mgraomarx" 9

10 Der Parameer "Mgraomarx" 1 Koez ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d q d q P P β β = ˆ ˆ ˆ q qˆ β β ˆ

11 Der Parameer "Mgraomarx" 11 Koez ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d q d q q β β β + = ˆ ˆ ˆ q qˆ β β ˆ

12 Koez P X ( ˆ log ) + up P Y ( ) ( ) X = up q ( ) ˆ log ( ) q ( ) Y = up ( ) q d log ( )( ˆ β ( ) ( )) β Der Parameer "Mgraomarx" 12

13 Koez Y ( ˆ ) = up q β log ( ) d ( ) ( ) β ( ) durch parelle Iegrao = up q ( ) ( )( ˆ β ( ) β ( ) ) dq ( ) ( ) ˆ β ( ) ( ) β ( ) log 2q ( ) 1 up ( ) log ˆ β log β ( ) ( ) Der Parameer "Mgraomarx" 13

14 Koez Ma ka zege da ˆβ ud qˆ koe d Für 1 2 up ˆ 1 β log 1 2 up 1 qˆ log β ( ) ( ) ( ) q ( ) Der Parameer "Mgraomarx" 14

15 Für X Koez = up ˆ log ( ) q ( ) q ( ) Y ( 1 ) up βˆ ( ) ( ) β ( ) 2 q log up ˆ log ( ) P ( ) ( ) P X + Y Pˆ ( ) koe Der Parameer "Mgraomarx" 15

16 Kovergez Verelug ( Pˆ P ) Y = ( ) ( ) ( ) koverger chwach gege Y ( ) ormalverel. Y ( ) Y ( ) aympoch ormalverel Der Parameer "Mgraomarx" 16

17 Varaz VarY ( ) [ ( ) ( ) ( )] 2 = P P q r( ) dβ ( ) Seze für + j [ ( ) ( )] 2 { } P P r( ) dβ ( ) q β j ud P de eprechede Schäzer e ud chäze r ( ) durch R( ) ( ) ( ) ( ) j Der Parameer "Mgraomarx" 17

18 Der Parameer "Mgraomarx" 18 Varaz ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] { } ( ) ( ) d R P P d R q P P VarY j j β β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ( ) ( ) VarY VarY fa cher gege koverger

19 Effzez Homogee Markovkee ->Ieäe d uabhägg vo der Ze Maxmum Lkelhood Schäzer P * * α ( ) ( ( * = 1 exp δ )) * δ Verglech der aympoche Varaze vo P ( ) ud P ( ) ˆ * Der Parameer "Mgraomarx" 19

20 Der Parameer "Mgraomarx" 2 Effzez ( ) P avar P avar b a e ˆ * = δ b a δ α δ δ = = ) ( lm 2 < = = < = b a a a b a b a e ad or δ

21 Effzez Der Parameer "Mgraomarx" 21

22 Effzez a δ = δ b α = δ Für a gege 1 ud b < 1 oder δ ehr kle e ahe 1 d.h. de Varaz de ale-johae Schäzer aäherd o kle we de de MLE. Der ch-paramerche ale Johae Schäzer aympoch effze m Verglech zu dem paramerche MLE. Der Parameer "Mgraomarx" 22

23 Produc Lm Emaor Übergagwahrchelchkee P ( ) = ( I + db) ] ] Bj j ( ) q ( )d = j ( ) > q ( ) < qj ( ) Ieä zum Zepuk q = j Der Parameer "Mgraomarx" 23

24 Produc Lm Emaor Pˆ( ) = ( I + ] ] dbˆ) Bˆ = j Bˆ j j Bˆ j [ ] = k 1 ( k) j ( k) Der Parameer "Mgraomarx" 24

25 Verglech Übergagwahrchelchkee Produc Lm Emaor P ( ) = ( I + db) ] ] Pˆ( ) = ( I + ] ] dbˆ) B ( ) = q ( )d j j Bˆ j [ ] = k 1 ( k) j ( k) Der Parameer "Mgraomarx" 25

26 Nch-paramercher MLE Lkelhood Fuco M = m+ 1 ( ) ( g ) ( ) p ( k) p ugagverelug k= 1 k Wahrchelchke da ke Sprug zwche 2 Zepuke k j j Wahrchelchke für Sprug zum Zepuk j ( k ) Der Parameer "Mgraomarx" 26

27 Ergeb der Maxmerug Für Lkelhood-Fuko: p g p ( ) k j = = 1 ( k) = j ( k) ( k) Schäzer: pˆ Bˆ ( ) j = [ ] = k 1 ( k) j ( k) Der Produc Lm Emaor e Maxmum Lkelhood Emaor Der Parameer "Mgraomarx" 27

28 5. bhäggke vo Covarable

29 Nch-Markovverhale Te ob de ahme der Markovkee (homoge oder homoge) rchg. Eveuell d de Ieäe erhalb eer Gruppe zu eem bemme Zepuk ch dech ud häge zuäzlch vo adere Varable ab. Ieäe köe abhäge vo der Ze dem jewelge Zuad ud der Rchug au der de Beobachug dee Zuad gekomme. Der Parameer "Mgraomarx" 29

30 Drf Te ob de Rchug der leze Rag Veräderug de Übergagwahrchelchke au dem akuelle Zuad beeflu. H : β = α hj Z = α hj exp βhj ( Z ) ( ( )) ( ) ( ) Covarable Baeä Regreokoeffze Z ( ) 1 = we durch e Dowgrade de akuelle Ragklae gekomme o Der Parameer "Mgraomarx" 3

31 Dowgrade Der Parameer "Mgraomarx" 31

32 Upgrade Der Parameer "Mgraomarx" 32

33 Wag Tme α hj Z = α hj exp βhj ( Z ) ( ( )) ( ) ( ) Covarable Baeä Regreokoeffze Z ( ) = Ze e dem leze Eree de momeae Zuad Der Parameer "Mgraomarx" 33

34 Dowgrade Der Parameer "Mgraomarx" 34

35 Upgrade Der Parameer "Mgraomarx" 35

36 Covarable Ieäe erhalb eer Gruppe zu eem bemme Zepuk d ch dech. Se häge zuäzlch vo adere Varable ab. ke Markov Verhale Der Parameer "Mgraomarx" 36

37 Zuammefaug 1. Bedeuug der Mgraomarx 2. Schäzug der Mgraomarx. Sacher Hergrud: Markov-Kee.. Dkree v. kouerlche Ze Ze-Homogeä v. Ze-Ihomogeä 3. Verglech der Schäzer ahad vo Bepele 4. ale-johae Schäzer. Defo. Egechafe. Maxmum Lkelhood Emaor 5. bhäggke vo Covarable. Drf. Wag Tme Der Parameer "Mgraomarx" 37

38 Leraur ale O.O. (1978): Noparamerc emao of paral rao probable mulple decreme model al of Sac Lacaer T.(199): The Ecoomerc aaly of rao daa Cambrdge: Cambrdge Uvery Pre Lado D. Skodeberg T. (22): alyzg rag rao ad rag drf wh couou Obervao Joural of Bakg ad Face Johae S. (1978): The Produc Lm Emaor a a Maxmum Lkelhood Emaor Scadava Joural of Sac Der Parameer "Mgraomarx" 38

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