Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen

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1 106 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen darzustellen: Vorzeichen und Betrag EinerKomplement ZweierKomplement Vorzeichen und Betrag Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert: Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit den Wert 0, ist die Zahl positiv, hat das Bit den Wert 1, ist die Zahl negativ Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt Ob eine Zahl positiv oder negativ ist, kann direkt am MSB abgelesen werden Zur Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null: ) ) 0 Nachfolgende Abbildung zeigt für n =4die Zuodnung von zu zahlen Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für und zahlen die selbe Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel: = : Bewegung im Uhrzeigersinn = 1 10 : Bewegung gegen den Uhrzeigersinn Ergebnis falsch: =

2 24 Codierung von Festkommazahlen negativ e positiv g Aufgaben a) Welche Auswirkungen hat es, dass für negative Zahlen die Richtung steigender Werte nicht übereinstimmt? vom äusseren Ergebnisse Ring können nicht auf den Inneren Ring übertragen werden b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung! Io, da Betrag Bits identisch

3 108 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen c) Geben Sie den Wertebereich für r =0in Abhängigkeit von n an ( zu 1 ), oo, ( Eu, ) d) Codieren Sie für n =8und r =0die folgenden Zahlen binär in die Darstellung Vorzeichen und Betrag e) Codieren Sie für n =6und r = 2 die folgenden Zahlen in die binäre Darstellung Vorzeichen und Betrag 2,25 0 5,5 1010, , ,10

4 24 Codierung von Festkommazahlen 109 Aufgaben Tutorium T a) Codieren Sie für n =8und r =0die folgenden Zahlen binär in die Darstellung Vorzeichen und Betrag T b) Codieren Sie für n = 6 und r = 2 die angegebenen Zahlen in die binären Darstellung Vorzeichen und Betrag 3,75 0,5 7,25

5 110 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen EinerKomplement Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert Um eine eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten, ist der Betrag der Zahlen auf 2 n 1 1 beschränkt Dadurch kann das Vorzeichen der Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden (0 ) positiv; 1 ) negativ) Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung Vorzeichen und Betrag liegt darin, dass die Codierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie die Codierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche Art und Weise addiert (bzw subtrahiert) werden können OUUA 1011 µ om1ir 1101 Eg Hof J negativ positiv v 2+3=5

6 0,0 24 Codierung von Festkommazahlen 111 Aufgaben a) Geben Sie den Wertebereich der EinerKomplementDarstellung für r = 0 in Abhängigkeit von n an b) Geben Sie den Wertebereich der EinerKomplementDarstellung allgemein in Abhängigkeit von r und n an n =8an ( 2 " 1 n ), 0,0 d) Ist der Wertebereich asymmetrisch?, IE?n ) ( ( zur 2) 1,,, c) Geben Sie den Wertebereich der EinerKomplementDarstellung für r = 2 und 31,75, 0,0 Nein, symmetrisch, 31,75 zum zr ) e) Codieren Sie für n =8und r =0die folgenden Zahlen binär im EinerKomplement +10 :

7 112 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen f) Codieren Sie für n = 6 und r = 2 die folgenden Zahlen im EinerKomplement 2, , ,10 0 5,5 0000, ,10 g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Codierung zur Addition von zahlen derselbe Algorithmus verwenden lässt wie zur Addition von zahlen sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten Siehe S 110 h) Wann gibt es bei Verwendung der EinerKomplementCodierung Probleme bei der Addition? doppelte Darstellung i) Wie könnte man das Problem lösen? der Null beim Negieren nach dem tnuertie Hu noch 1 addieren ( auf dem inneren Ring )

8 24 Codierung von Festkommazahlen 113 Aufgaben T a) Codieren Sie für n =8und r =0die folgenden Zahlen binär im EinerKomplement T b) Codieren Sie für n = 6 und r = 2 die folgenden Zahlen binär im Einer Komplement 3,75 0,5 7,25

9 114 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen ZweierKomplement Beim ZweierKomplement wird zunächst das EinerKomplement gebildet und dann noch binär der Wert 1 addiert Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden Der Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt Berechnungen können in dieser Codierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im system Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete FestkommaZahlen in der Regel im ZweierKomplement codiert mx# negativ positiv ß überlaut

10 24 Codierung von Festkommazahlen 115 Aufgaben a) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Zweier Komplement b) Codieren Sie für n = 6 und r = 2 die folgenden Zahlen im ZweierKomplement 0010,01 2, , , ,00 5, c) Wie lässt sich im ZweierKomplement ein Überlauf feststellen? am Post pos neg ODER = = am neg they pos tl#d5 i# in FT na un i D II er ab '",

11 116 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen d) Berechnen Sie im ZweierKomplement für n = 8, r = = 37+(53)

12 24 Codierung von Festkommazahlen 117 Aufgaben Tutorium T a) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Zweier Komplement T b) Codieren Sie für n = 6 und r = 2 die folgenden Zahlen binär im Zweier Komplement 3,75 0,5 7,25 T c) Berechnen Sie im ZweierKomplement

13 118 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 25 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754 Durch die fest definierte Kommastelle sind bei Festkommazahlen die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten äquidistant Aus diesem Grund (und aufgrund der endlichen Anzahl an Stellen n) können mit Festkommazahlen nicht gleichzeitig sehr große Zahlen und sehr kleine Zahlen dargestellt werden Bei Gleitkommazahlen ist diese Einschränkung aufgehoben Die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten sind um den Wert 0 herum sehr klein Für große Zahlen werden die Abstände sehr groß, wie in nachstehender Grafik skizziert 0 Erreicht wird diese Eigenschaft dadurch, dass die Position des Kommas nicht im Voraus festgelegt ist, sondern in der Zahl durch Angabe eines Exponenten e definiert wird Der Exponent legt fest, um wieviel die Kommastelle nach links oder rechts verschoben werden muss Gleitkommazahlen werden wie folgt codiert: s e f Bei 32 Bit breiten Gleitkommazahlen (einfache Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 8 Bit f = 23 Bit, T if ( asb ) = _ bei 64 Bit breiten Gleitkommazahlen (doppelte Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 11 Bit f = 52 Bit Als Wert ergibt sich für für normalisierte Gleitkommazahlen (NormalFall) v =( 1) s 1,f 2 e K, für denormalisierte Gleitkommazahlen (SpezialFall) v =( 1) s 0,f 2 1 K 5 101

14 25 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE Die Konstante K hat bei einfacher Genauigkeit (32 Bit) den Wert K = 127, bei doppelter Genauigkeit (64 Bit) den Wert K = 1023 Eine Gleitkommazahl gilt als normalisiert, wenn beim Exponenten e weder alle Bits gesetzt noch alle Bits gelöscht sind, dh 0 < e < 255 bei 32 Bit 0 < e < 2047 bei 64 Bit Eine denormalisierte Gleitkommazahl liegt vor, wenn e =0und gleichzeitig f > 0 Spezialfälle: 0: e =0 f =0 ±1: s: +1 )0; 1 ) 1 e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 2047 bei 64 Bit f: alle Bits 0 NaN (Not a Number) e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 2047 bei 64 Bit f: > 0 Aufgaben Format von Gleitkommazahlen a) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 64 Bit GleitkommaNotation mit 0xC codiert wird? 1/ / ,1 2 = ~ =

15 2^ Darstellung von Zahlen und Zeichen b) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 64 Bit GleitkommaNotation mit 0x codiert wird? = 0,25 [ 102L c) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 32 Bit GleitkommaNotation mit 0x7F80000 codiert wird? + W d) Was ist eine denormalisierte Gleitkommazahl, wie wird sie codiert und wie berechnet sich ihr Wert? Kein 1, f, sondern 0, f, um nahe An 0 heranzukommen e = O ; f SO Wert : O, f 2^4 e) Welchen Nutzen haben denormalisierte Gleitkommazahlen? siehe d) C e) S f) Geben Sie ein Beispiel an, wie es zu einem Ergebnis kommen kann, das keine Zahl ist Fs

16 25 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE Rechnen mit Gleitkommazahlen a) Codieren Sie 3,625 und 13,5 als 32 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein 3,625 : 11,101 = 1,1%1 21 e K 1 e = 1 tk = ,5 : 1101,1=1, ~ f e K =3 e = 130 3,625: ,5:

17 122 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 3,625 : b) Berechnen Sie 3, ,5 im system bei Verwendung einer 32 Bit Gleitkommacodierung 1, , : _ O 3,625 13,5 : 1, , Rluomndtisierln : Bitmuster des Ergebnisses: 1,

18 25 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE c) Bestimmen Sie aus dem ErgebnisBitmuster das Ergebnis der Addition 3, ,5 T d) Codieren Sie 1,75 und1 5,125 als 64 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein , ^3115=10001,00117,125 1,75 5,125

19 124 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen T e) Berechnen Sie 1,75 + 5,125 im system bei Verwendung einer 64 Bit Gleitkommacodierung Bitmuster des Ergebnisses:

20 25 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE T f) Bestimmen Sie aus dem ErgebnisBitmuster das Ergebnis der Addition 1,75 + 5,125

21 126 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen