Grundlagen der Differentialrechnung mit mehreren Veränderlichen

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1 Copyright, Page 1 of 6 Grudlage der Differetialrechug it ehrere Veräderliche Die Differezierbarkeit eier Fuktio f:m eier Veräderliche (d.h. M ) i eie Häufugspukt a M bedeutet a - geoetrisch die Existez der Tagete a de Graphe vo f i Pukt f(a) ud - aalytisch eie gute Approxiierbarkeit (i der Nähe vo a) durch eie (auf M eigeschräkte) affie Fuktio T:M, x α+β x it α, β i der Weise, dass f(x) T(x) li x a = 0 ist. Hieraus folgt sofort, dass T(a)=f(a) ud dait T(x)=f(a)+β (x-a) sei uss. Die (eideutig bestite) Zahl β wird die Ableitug vo f i a geat ud it f (a) bezeichet. Ist f:m eie Fuktio ehrerer Veräderlicher (d.h. M it >1), so uss zuächst der Begriff der affie Fuktio agepasst werde, it welcher approxiiert werde soll. Ageesse ist es, die Zahl β durch eie Vektor β ud das Produkt β x (it x M) durch das Skalarprodukt <β,x> zu ersetze; da ist <β,x> eie reelle Zahl, ud die Sue α +β x hat Si. Ei weiteres Proble ergibt sich i Neer für x,a ud >1, de die Divisio für Vektore ist icht defiiert. U dieses Proble zu löse verwede wir die Nor der Vektore, welche ja eie Abbildug : ist ud dait durch x a dividiert werde ka. I Fall =1 hatte der Neer x-a bei Grezübergag de Si, zu erzwige, dass f(x) T(x) it eier gewisse Geschwidigkeit gege 0 gehe sollte, älich idestes so schell wie x-a. Dies ka ebefalls it der Nor vo x-a erreicht werde. Die geachte Überleguge drücke sich auch i der Defiitio der allgeeie Differezierbarkeit eier Fuktio f i eie Pukt a aus. Defiitio: a1 Sei a M ud f Abb(M, ). Die Fuktio f heißt differezierbar i a:=, we a ei a ierer Pukt vo M ist ud we es eie (,)-Matrix A gibt, so dass die Restfuktio r:m durch a1 x1 a1 x1 f(x)= f + A( - ) +r a x a x defiiert ist, die Eigeschaft besitzt. li = 0

2 Copyright, Page 2 of 6 Die hier gewählte Darstellug soll adeute, dass f(x) durch f(a)+a(x-a)=f(a)-aa+ax ageähert wird. Es ist atürlich eie beliebige Nor auf. I Fall ==1 kote wir die Bedigug i der For li = 0 schreibe; dies ist für de Fall >1 icht ehr öglich, wie obe bereits ausführlich dargestellt wurde. Mit Hilfe der Defiitio ud der geachte Überleguge koe wir zu eie erste wichtige Differezierbarkeitskriteriu für Fuktioe i Rau Abb(, ): Satz: (Differetialquotiet) Seie f:m ud a M. Seie x, a da gilt die Äquivalez: Die Fuktio f lässt sich beliebig gut approxiiere (i der Nähe vo a) durch eie (auf M eigeschräkte) affie Fuktio T:M, x α +β x it αβ, i der Weise, dass f(x) T(x) li = f(x) [f(a) + β(x a)] li x a =0 f ist differezierbar i Pukt a. U usere eue Begriff der allgeeie Differzierbarkeit auf eie solide Basis zu stelle utersuche wir die Zusaehäge zwische Stetigkeit ud Differezierbarkeit. Das Proble der stetige Fortsetzug ist us für de eidiesioale Fall bekat. Wir defiiere die stetige Fortsetzug allgeei auf etrische Räue, welche Grudlage für die Differezierbarkeit ist. Defiitio: Seie (X,d X ) ud (Y, d y ) etrische Räue, sei M X, f Abb(M,Y) sowie a X. Gibt es eie Fuktio F:M {a} Y it F(x) = f(x) für jedes x M\{a}, die i a stetig ist, so heißt F stetige Fortsetzug vo f ud F(a) heißt der Grezwert vo f i a. Wie i eidiesioale Fall, so ist es auch auf etrische Räue vo großer Bedeutug ob a ei Häufugspukt ist oder icht. Ist a kei Häufugspukt, so existiere uedlich viele stetige Fortsetzuge, de jede Fuktio ist i eie isolierte Pukt stetig. Iteressat wird die Situatio also erst i Fall, a ei Häufugspukt (=:HP) vo M, de da ist die stetige Fortsetzug eideutig, sollte sie überhaupt existiere. Das diese stetige Fortsetzug eideutig ist, lässt sich wie folgt beweise. Sid F ud G stetige Fortsetzuge vo f auf der Mege M, so gilt ja ach Defiitio F(x)=f(x)=G(x) für jedes x M\{a}, we a der zu utersuchede Pukt ist. Sei o.b.d.a. F(a)>G(a) ud da F ud G stetig sid, gilt ach de Satz der lokale Treug, dass es eie Ugebug vo a existiert, so dass F(x )>G(x ) gilt. Dies ist aber ei Widerspruch zur Aahe.

3 Copyright, Page 3 of 6 Notatio: Das die stetige Fortsetzug vo f i a ud dait der Grezwert (=:GW) vo f existiert, drückt a z.b. durch f(x) f(a) für x a oder li f(x) = f(a) aus. Wie i eidiesioale ist die Stetigkeit otwedige Voraussetzug für die Differezierbarkeit. Sei also eie Fuktio f diffbar i a, da existiert ach Defiitio eie affie Fuktio T ud diese stit it der Fuktio f i Pukt a überei. I Pukt a gilt also T(a)=f(a)+β (a-a) = f(a). Es existiert der GW vo f i a ud es gilt li f(x) = f(a) ud soit ist f ach de Folgekriteriu der Stetigkeit otwedigerweise stetig i a. Hier ka a bereits erste Zusaehäge erkee ud verstehe. Folgeder Satz brigt diese Zusaehag ochals auf de Pukt: Satz: (Stetigkeit ud Grezwert) Seie (X,d X ) ud (Y, d Y ) etrische Räue. Ferer sei a M eie Teilege vo X ud f Abb(M,Y). Ist a ei HP vo M, so gilt: f ist stetig i a li f(x) = f(a) x a Die Fuktio f ist also stetig i a, we der GW existiert ud gleich f(a) ist. Der Satz sagt also aus, dass f i a stetig ist, we die stetig Fortsetzug vo f i a existiert ud idetisch it f ist! Der Pukt a uss atürlich ei Eleet des Defiitiosbereiches sei, sost hätte die Aussage f ist stetig i a keie Si. I Prizip ka a jede stetige Fuktio als Bsp. wähle. Sei also f: 2 it f(x,y)= x+y. Die Fuktio ist stetig ud i folge desse existiert auch der GW i jede Pukt des Bildes. Ei bereits agesprocheer Zusaehag wird i folgede Satz foruliert. Satz: (Differezierbarkeit ud Stetigkeit) Sei M ud a ei ierer Pukt vo M. Ist f Abb(M, ) differezierbar i a, so ist f auch stetig i a. Ei Beweis ka bspw. it de Satz (Stetigkeit ud Grezwert) geführt werde.

4 Copyright, Page 4 of 6 U de Begriff der Differezierbarkeit zu festige betrachte wir folgede Beispiele: Produkt i : I Fall f: a= 1 a2 2 a. Es gilt defiiert durch := f(x) f(a) (a 2 a 1 ) x f : = xy y ist auf x x a = (x 1 a 1 )(x 2 a 2 ). a differezierbar it f (a)=(a 2 a 1 ) für jedes Wähle wir als Nor, so ergibt sich aus x 1 a 1 x a ud x 2 a 2 x a sofort x a x a 0 für x a. Kostate Fuktioe: Sei M eie ichtleere, offee Teilege vo, ud sei f:m kostat, also f(x)=c, für alle x M ud c, da ist f differezierbar auf M it f (a)=0 (der Nullatrix i ) für jedes a. De ist :=f(x) -f(a) -0 (x-a)= f(x) f(a) = 0 für jedes x M ud folglich li = 0. x a x a Lieare Fuktioe: Sei f: liear, also f Ho(, ), ud sei A die zu f gehörige Matrix. Da ist f auf differezierbar it f (a)=a, für jedes a. Die Ableitug f : ist also kostat (da lieare Fuktioe vo eifacher Potez sid). De für jedes x ist := f(x) f(a) A(x-a) = f(x) f(a) f(x-a) [da f(x)=ax] = 0 [f ist liear] ud folglich gilt li = 0 ud f(x) = f(a) + A(x-y) + = f(a) +A(x-y) + f(x) f(a) A(x-a) = f(x).

5 Copyright, Page 5 of 6 Wir stelle u eiige Differeziatiosregel zusae, die es erlaube, die Differezierbarkeit koplizierter Fuktioe festzustelle ud dere Ableitug zu bereche. Satz: (Differeziatiosregel) Sei M ud a ei ierer Pukt vo M. (i) Liearität: Sid f,g Abb(M, differezierbar i a it ) differezierbar i a ud ist α, so sid auch f+g ud α f (f+g) (a) = f (a)+g (a) bzw. ( α f) (a)= α f (a). (ii) Produktregel: Sid f,g Abb(M, ) differezierbar i a, so ist auch fg differezierbar i a it (fg) (a)=g(a)f (a)+f(a)g (a). (iii) Ketteregel: Ist f Abb(M, ) differezierbar i a, ist N eie Teilege vo it f(m) l N ud iere Pukt b:=f(a), ist ferer g Abb(N, ) differezierbar i b, so ist g f differezierbar i a it (g f) (a) = g (f(a))f (a). 2 2 Sei g: it g(x,y) = xy ud f: 2 it f(x,y)= (2x, x+y) T. Es sid g (x,y) = (y, x) ud f (x,y)= die Ableituge. Nach der Ketteregel folgt also (g f) (x) = g (f(x))f (x) = (x+y, 2x) 2 0 = (2x+2y+2x, 1 1 2x)T = (4x+2y, 2x) T. Dies ka verifiziert werde, ide a (g f)(x) = 2x(x+y) = 2x 2 +2xy ableitet. Die Utersuchug der Stetigkeit eier Fuktio f:m it f=(f 1,, f ) T, d.h. also f (x) = f(x) 1 f (x) ließ sich auf die Utersuchug der Koordiatefuktioe f 1,, f Abb(N, ) zurückspiele. Dasselbe gilt auch für die Utersuchug der Differezierbarkeit. Folgeder Satz brigt dies zu Ausdruck.

6 Copyright, Page 6 of 6 Satz: (Koordiatefuktioe) Sei a M ud a ei ierer Pukt vo M ud f=(f 1,, f ) T Abb(M, ). f ist i a differezierbar Alle Koordiatefuktioe f 1,, f sid i a differezierbar. Da gilt f'(x) 1 f (a) =, f '(x) d.h. die (,)-Matrix f (a) setzt sich aus de (1,)-Matrize f 1,, f zeileweise zusae. De Beweis ka a it Hilfe der Projektio ud der Ketteregel führe. Sei f: 2 defiiert durch f(x)= cos(x). Es ist f differezierbar, da die Koordiatefuktioe cos si(x) y ud si differezierbar sid auf. Schräkt a de Defiitiosbereich auf [0,2 π ] ei, so stellt das Bild gerade eie Eiheitskreis dar. x Beerkug: Mit de Satz (Koordiatefuktioe) lasse sich alle Sätze für Fuktioe f Abb(, ) auf Fuktioe g Abb(, ) übertrage, ide a die eizele Koordiatefuktioe f i Abb(, ), it i {1,, } betrachtet. Gilt die Aussage für alle eizele Koordiatefuktioe so auch für f. I diese Dokuet gehe wir vo der Stadardtopologie des aus. Ei aaloger Kovergezbegriff ka auf ebeso etwickelt werde wie auf. Existiert also ei Grezwert li f(x) = f(a) eies x a beliebige Puktes a, so schließt diese Tatsache autoatisch eie Nähe vo Pukte i alle Diesioe it ei. Dieser Fakt wird für weitere Betrachtuge der Differezierbarkeit eier Fuktio eie bedeutede Rolle spiele.

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