4.3 Symmetrische Operatoren

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1 98 Kpitel 4. Hilberträume und symmetrische Opertoren 4.3 Symmetrische Opertoren Eine Abbildung zwischen Hilberträumen wird meist ls Opertor bezeichnet. Von besonderer Bedeutung sind die lineren Opertoren, die im Gegenstz zu den lineren Abbildungen zwischen Vektorräumen, die wir bisher kennengelernt htten, nicht uf dem gnzen Ausgngsrum definiert zu sein bruchen. Mn verlngt vom Definitionsbereich nur, dss es sich um eine dichte, offene Teilmenge hndelt Definition Seien H 1, H 2 Hilberträume und sei D H 1 eine dichte, offene Teilmenge. EineAbbildungL:D H 2 wirdlslinerer Opertor ufh 1 bezeichnet, flls L(f +g) = L(f)+L(g) und L(αf) = αl(f) für lle α R, f,g,αf D. Ein linerer Opertor L:D H 1 H 1 heisst symmetrisch, flls L(f),g = f,l(g) für lle f,g D Beispiele Ist H 1 = R n und H 2 = R m, jeweils mit dem Stndrdsklrprodukt, so ist ein linerer Opertor zwischen H 1 und H 2 nichts nderes ls eine linere Abbildung. Hier knn mn stets gnz R n ls Definitionsbereich wählen. Beknntlich wird jede solche Abbildung durch eine m n-mtrix induziert. Die durch eine reelle n n-mtrix A definierte Abbildung L A :R n R n ist genu dnn symmetrisch, wenn die Mtrix A symmetrisch ist, ds heisst A = A t. Ist H = C n mit dem hermiteschen Stndrdprodukt. Die durch eine komplexe n n-mtrix A definierte linere Abbildung L A :C n C n ist genu dnn symmetrisch, wenn die Mtrix A hermitesch ist, ds heisst A = A := A t. Sei jetzt H = l 2 (R) der Hilbertsche Folgenrum. Betrchten wir zunächst die Abbildung R uf H, die drin besteht, die Glieder einer Folge jeweils um eine Position nch rechts zu verschieben: R(( 1, 2, 3,...)) := (, 1, 2,...). Der so definierte Opertor ist liner, ber nicht symmetrisch. Denn zum Beispiel für die Folgen x = (1,,,...) und y = (,1,,,...) erhlten wir: R(x),y = 1 = x,r(y). Der Opertor T uf l 2 (R) sei folgendermssen definiert: T(( k ) k N ) := ( 1 k k) k N. Auch dieser Opertor ist liner, usserdem ist T sogr symmetrisch. Denn sind = ( k ) k N, b = (b k ) k N zwei qudrtsummierbre Folgen, so gilt: T(),b = 1 k kb k =,T(b).

2 4.3. Symmetrische Opertoren Bemerkung Nun wählen wir den Hilbertrum H = L 2 ([,b],r). Sei D := {f C 2 ([,b],r) f() = = f(b)}. Jede Funktion in D lässt sich zweiml bleiten, wir können dher den Lplceopertor ls lineren Opertor uf H mit Definitionsbereich D uffssen: :D H, f f. Mit dieser Whl des Definitionsbereichs ist der Lplceopertor symmetrisch. Beweis. Für lle f,g D gilt: f,g = f (x)g(x)dx = f (x)g (x)dx+f (x)g(x) b = f (x)g (x)dx und ndererseits f,g = f(x)g (x)dx = f (x)g (x)dx+f(x)g (x) b = f (x)g (x)dx. Beide Sklrprodukte stimmen lso miteinnder überein. q.e.d. Allgemeiner gilt: 4.19 Stz Der Lplceopertor uf H = L 2 (Ω,R) (für ein kompktes Gebiet Ω R n mit glttem Rnd), mit dem Definitionsbereich D := {f C 2 (Ω,R) f(x) = für lle x Ω}, definiert durch :D H, f (f) = j 2 f, j=1 ist symmetrisch. Beweis. Erinnern wir uns dzu n den schon im Abschnitt über inhomogene Differentilgleichungen zitierten Stz von Green, einer Folgerung us dem Gussschen Integrlstz. (f(x) (g)(x) g(x) (f)(x))dx = (f(x) n(x) g(x) g(x) n(x) f(x))dx. Ω Weil wir nun zusätzlich vorusgesetzt hben, dss sowohl f ls uch g uf dem Rnd von Ω verschwinden, verschwindet hier der gesmte Integrnd uf der rechten Seite der Gleichung. Es folgt lso f(x) (g)(x) g(x) (f)(x)dx =. Ω Ds bedeutet gerde, dss der Lplceopertor symmetrisch ist. Ω q.e.d.

3 1 Kpitel 4. Hilberträume und symmetrische Opertoren 4.4 Vollständige Orthonormlsysteme Ds nächste Ziel wird es sein, eine Entsprechung des Huptstzes über symmetrische reelle Mtrizen für symmetrische Opertoren uf unendlichdimensionlen Hilberträumen zu finden. Hier zur Erinnerung die Aussge des Huptstzes: 4.2 Stz Ist A eine symmetrische n n-mtrix, so ht A nur reelle Eigenwerte und es gibt eine Orthonormlbsis des R n us Eigenvektoren von A. Der Begriff des Eigenwertes und des Eigenvektors lässt sich sofort uf linere Opertoren usdehnen Definition Eine Zhl λ C wird ls Eigenwert eines lineren Opertors L:D H H bezeichnet, flls ein Vektor v D existiert mit L(v) = λv. Der Vektor v heisst in dieser Sitution Eigenvektor zum Eigenwert λ. Die folgenden Aussgen lssen sich wörtlich vom endlichdimensionlen uf den unendlichdimensionlen Fll übertrgen: 4.22 Lemm Ist H ein Hilbertrum, D H offen und dicht und L:D H ein symmetrischer Opertor, so sind sämtliche Eigenwerte von L reell. Sind v, w zwei Eigenvektoren von L zu verschiedenen Eigenwerten λ µ von L, so ist v,w =. Die Entsprechung des Begriffs der Orthonormlbsis ist für unendlichdimensionle Hilberträume ds vollständige Orthonormlsystem. Ein Orthonormlsystem besteht us prweise senkrechten, uf Länge 1 normierten Vektoren. Ein solches System nennt mn vollständig, wenn es mximl ist, sich lso nicht mehr vergrössern lässt. Genuer: 4.23 Definition Eine bzählbre Menge {v 1,v 2,v 3,...} in einem Hilbertrum H heisst vollständiges Orthonormlsystem, flls v i v j für lle i j, v j = 1 für lle j, und flls kein v H existiert mit v v j für lle j Beispiel Sei H = L 2 ([,π],r) mit dem Integrlsklrprodukt. Der Lplceopertor uf L 2 ([,π],r) mit Definitionsbereich D := {f C 2 ([,π] f() = 2 f(π) = } ist wie bereits gezeigt symmetrisch. Die Funktionen f k (x) := sin(kx) π (x [,π], k N) sind jeweils Eigenvektoren von zum Eigenwert k 2, denn (f k ) = f k = k2 f k. Ausserdem bilden die Funktionen f k (k N) ein vollständiges Orthonormlsystem in H. Beweis. Beknntlich gilt Ausserdem ist f n,f m = 2 π f n,f n = 2 π π π sin(nx)sin(mx)dx = für lle n m. sin 2 (nx)dx = 1 π 2π sin 2 (nx)dx = 1.

4 4.4. Vollständige Orthonormlsysteme 11 Nehmen wir weiter n, f sei eine stetig differenzierbre Funktion mit f() = f(π) = und f f k für lle k. Als stetig differenzierbre Funktion besitzt f eine Entwicklung in eine Sinusreihe der Form f(x) = γ k sin(kx), wobei γ k = 2 π π f(x)sin(kx)dx. Nch der Annhme ist = f,f k = π 2 π π f(x)sin(kx)dx = 2 γ k. Also verschwinden lle Koeffizienten der Sinusreihe und dher ist f die Nullfunktion. Ds Orthonormlsystem lässt sich lso innerhlb der Menge D := {f C 2 ([,π] f() = = f(π)} nicht vergrössern. Nehmen wir nun n, g sei eine beliebige Funktion in L 2 ([,π]) mit g f k für lle k. D jede Funktion us D sich durch eine Sinusreihe drstellen lässt, folgt drus sogr g f für lle f D. Nun ist die Teilmenge D ber dicht in H. Wir können g lso ls Grenzwert einer im qudrtischen Mittel konvergierenden Folge von Funktionen g n D schreiben. Die Stetigkeit des Sklrproduktes liefert nun g,g = g, lim g n = lim g,g n =. Drus folgt g(x) = für fst lle x. Also repräsentiert g in L 2 ([,π]) ds Nullelement. Dmit ist lles gezeigt. q.e.d Definition Sei nun H ein unendlichdimensionler Hilbertrum, D H offen und dicht und L:D H ein symmetrischer Opertor. Mn sgt, L hbe ein diskretes Spektrum, flls ein vollständiges Orthonormlsystem (v 1,v 2,v 3,...) us Eigenvektoren von L für H existiert und die zugehörigen Eigenwerte λ j = v j,l(v j ) eine monoton wchsende Folge bilden, wobei lim j λ j = Beispiele 1. Der Opertor uf L 2 ([,π],r) ht, wie eben gezeigt, ein diskretes Spektrum und die Eigenwerte sind die Qudrtzhlen k 2 (k N). 2. Sei jetzt H = L 2 ([,2π],C) mit dem Sklrprodukt f,g := 1 2π f(x)g(x)dx. 2π Sei weiter D = {f C 2 ([,2π],C) f() = = f(2π)}. Der Opertor mit Definitionsbereich D ist uch uf diesem Hilbertrum symmetrisch und ht ein diskretes Spektrum. Denn die Eigenfunktionen f (x) = 1 (zum Eigenwert ), f 2k 1 (x) := e ikx, f 2k (x) := e ikx (zum Eigenwert k 2 ) für k N, bilden ein vollständiges Orthonormlsystem von H.

5 12 Kpitel 4. Hilberträume und symmetrische Opertoren 3. Die Legendresche Differentilgleichung lutet (x 2 1)f (x)+2xf (x) = λf(x) (x [ 1,1]). Die Lösungen dieser Differentilgleichung sind genu die Eigenfunktionen des Differentilopertors L uf C 2 ([ 1,1]) L 2 ([ 1,1]), definiert durch L(f)(x) = (x 2 1)f (x)+2xf (x) (x [ 1,1]). Mn knn nchrechnen, dss der Opertor L symmetrisch ist. Deshlb sind die Lösungen der Differentilgleichung zu verschiedenen Eigenwerten λ utomtisch orthogonl. Ttsächlich ht die Legendresche Differentilgleichung Lösungen für λ = n(n + 1) (n N), und zwr gibt es zu jeder ntürlichen Zhl n (bis uf Vielfche) genu eine polynomile Lösung von Grd n für λ n = n(n + 1). Bei entsprechender Normierung bilden diese Polynome lso ein Orthonormlsystem, und dies System ist sogr vollständig. Denn innerhlb des Rums der Polynome lässt sich ds System nicht vergrössern, und die Polynome wiederum liegen dicht im Rum der L 2 -Funktionen, weil mn jede gltte Funktion uf [ 1, 1] durch eine Folge von Polynomen im qudrtischen Mittel pproximieren knn. Der Differentilopertor L ht lso ein diskretes Spektrum mit Eigenwerten n(n+1) (n N). Die bereits zitierte Entwicklung einer Funktion in eine Sinusreihe können wir uch uf folgende Art schreiben: ( 2 π ) f(x) = f(x)sin(kx)dx sin(kx) = π ( π ) 2 2 f(x) π sin(kx)dx π sin(kx) = f k,f f k (x). Ist f nicht stetig differenzierbr, so konvergiert diese Reihenentwicklung im llgemeinen nur noch für fst lle x. Ds bedeutet, die Reihe f,f k f k konvergiert zumindest im qudrtischen Mittel gegen f. Die Fourierentwicklung einer Funktion f:[, 2π] C lutet: f(x) = c + (c k e ikx +c k e ikx ), wobei c k := 1 2π f(x)e ikx dx. Mit den oben gewählten Bezeichungen f 2π (x) = 1, f 2k 1 (x) := e ikx, f 2k (x) := e ikx für k N wird drus: c k = f 2k 1,f und c k = f 2k,f (für k N ). Also können wir die komplexe Fourierreihe uch so schreiben: f(x) = f n,f f n. n= Auch ndere vollständige Orthonormlsysteme liefern entsprechende Reihenentwicklungen für Funktionen.

6 4.4. Vollständige Orthonormlsysteme Stz Ht der Opertor L ein diskretes Spektrum us Eigenwerten λ 1 λ 2..., und ist (v 1,v 2,...) ein vollständiges Orthonormlsystem us dzu gehörigen Eigenvektoren, so gilt folgendes: 1. Jedes Element u H besitzt eine Reihenentwicklung der Form u = lim v k,u v k. Dbei ist der Grenzwert im Sinn der durch ds Sklrprodukt definierten Norm zu verstehen. Mn spricht hier uch von der verllgemeinerten Fourierentwicklung. 2. Für die Koeffizienten der Reihe us 1. (die verllgemeinerten Fourierkoeffizienten von u) gilt die Besselsche Gleichung v k,u 2 = u Der Definitionsbereich von L knn mximl uf folgende Teilmenge usgedehnt werden: M := {u H λ 2 k v k,u 2 < }. Mn knn L uf M fortsetzen, indem mn für u M setzt: L(u) = v k,u λ k v k. Dmit ist der Opertor L sozusgen uf Digonlform gebrcht. 4. Die Menge {λ k k N} enthält sämtliche Eigenwerte von L, und lle Eigenräume von L sind endlichdimensionl. Für den Beweis bruchen wir folgendes Lemm: 4.28 Lemm Wir verwenden dieselben Bezeichnungen wie im Stz. Dnn gilt für jedes n N: u v k,u v k 2 = u 2 v k,u 2. Drus folgt insbesondere die Ungleichung: v k,u 2 u 2 für lle n N..

7 14 Kpitel 4. Hilberträume und symmetrische Opertoren Kommen wir nun zum Beweis des Stzes. Beweis. Zu 1.: Aus der im Lemm formulierten Ungleichung lesen wir b, dss die Teilsummenfolge der Reihe v k,u 2 nch oben beschränkt ist. D die Summnden lle nichtnegtiv sind, folgt drus bereits, dss die Reihe konvergiert, der Grenzwert v k,u 2 existiert lso. Drus wiederum können wir schliessen, dss die Teilsummenfolge s n der Reihe v k,u v k eine Cuchyfolge in H ist und deshlb im Hilbertrum H einen Grenzwert w ht. Denn s n s m = k=m+1 v k,u v k = k=m+1 v k,u 2. Nehmen wir nun n, der Grenzwert w stimme nicht mit u überein. Für die Differenz u w gilt wegen der Stetigkeit des Sklrproduktes für lle j N: v j,u w = v j,u v j, lim v k,u v k = v j,u lim v k,u v j,v k =. Also steht u w senkrecht uf llen Vektoren v k. D wir vorusgesetzt hben, dss ds System der v k vollständig ist, muss dher u = w sein. Zu 2.: Die Aussgen 1 und 2 sind äquivlent, wie sich sofort us dem Lemm ergibt. Zu 3.: Nehmen wir n, der Opertor L sei uf u uswertbr. Dnn muss L(u) die Besselsche Gleichung erfüllen. Wegen der Symmetrie des Opertors L und weil lle Eigenwerte λ k reell sind, gilt ber: Dmit folgt us 2.: v k,l(u) = Lv k,u = λ k v k,u. L(u) 2 = v k,l(u) 2 = λ 2 k v k,u 2 <. Ist diese Ungleichung für die Koeffizienten v k,u erfüllt, lso u M, dnn ist die Vorschrift L(u) = v k,u λ k v k wohldefiniert. (Die Konvergenz der Reihe ergibt sich wieder us dem Lemm.) Ausserdem stimmt diese Vorschrift uf dem Definitionsbereich D mit der Wirkung von L überein. Denn nch 1. ht L(u) (für u D) folgende Reihenentwicklung: L(u) = v k,l(u) v k. Verwenden wir jetzt wieder, dss v k,l(u) = λ k v k,u, erhlten wir wie behuptet: L(u) = λ k v k,u v k.

8 4.4. Vollständige Orthonormlsysteme 15 Zu 4.: Nehmen wir n, v sei ein Eigenvektor des Opertors L zum Eigenwert µ λ k für lle k. Dnn folgt v v k für lle k, und wegen der Vollständigkeit des Orthonormlsystems ergibt sich drus v =, ein Wiederspruch. Also enthält die Liste der λ k bereits lle Eigenwerte. Wählen wir jetzt einen Eigenwert λ us. Weil die Folge der λ k gegen unendlich geht, gibt es einen Index n mit λ k > λ für lle k > n. Also knn der Eigenwert λ höchstens mit den Zhlen λ 1,...,λ n übereinstimmen. Die Vielfchheit von λ ist lso höchstens n und dmit endlich. Dmit ist lles gezeigt. q.e.d Folgerung Ht der symmetrische Opertor L uf dem Hilbertrum H ein diskretes Spektrum us Eigenwerten λ 1 λ 2 λ 3... und ist (v 1,v 2,v 3,...) ein vollständiges Orthonormlsystem us dzugehörigen Eigenvektoren, so ist die Zuordnung H l 2 (R), f ( v 1,f, v 2,f, v 3,f,...) ein Isomorphismus von Hilberträumen. Der Opertor L uf H geht dbei über in den Opertor T uf l 2 (R), definiert durch T((x 1,x 2,x 3,...)) := (λ 1 x 1,λ 2 x 2,λ 3 x 3,...) mit dem Definitionsbereich M = {((x 1,x 2,x 3,...) l 2 (R) j=1 λ2 j x2 j < }. Der Opertor L ist durch die Whl des vollständigen Orthonormlsystems lso sozusgen uf Digonlform gebrcht worden.

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