Numerische Mathematik

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1 ».- Numerische Mathematik Von Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz o. Professor an der Universität Zürich Mit einem Beitrag von Dr. sc. math. Jörg Waldvogel Titularprofessor an der Eidg. Technischen Hochschule Zürich 2., durchgesehene Auflage Mit 88 Figuren, 131 Beispielen und 96 Aufgaben B. G. Teubner Stuttgart 1988

2 Inhalt 1 Lineare Gleichungssysteme 1.1 Gaußscher Algorithmus Der fundamentale Rechenprozeß Pivotstrategien Ergänzungen Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen Normen Fehlerabschätzungen, Kondition Systeme mit speziellen Eigenschaften Symmetrische, positiv definite Systeme Bandgleichungen Tridiagonale Gleichungssysteme Austausch-Schritt und Inversion von Matrizen Lineare Funktionen, Austausch Matrizeninversion Aufgaben ' 53 2 Lineare Optimierung 2.1 Einführungsbeispiele, graphische Lösung Der Simplex-Algorithmus Ergänzungen zum Simplex-Algorithmus Degeneration Mehrdeutige Lösung Nichtbeschränkte Zielfunktion Allgemeine lineare Programme Behandlung von freien Variablen Methode der Koordinatenverschiebung Die Zweiphasenmethpde Diskrete Tschebyscheff-Approximation Aufgaben 85 3 Interpolation 3.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation Lagrange-Interpolation Rechentechnik Anwendungen Fehlerabschätzung 98

3 6 Inhalt 3.4 Newton-Interpolation Interpolation nach Aitken-Neville Die Algorithmen von Aitken und Neville Extrapolation und Romberg-Schema Inverse Interpolation Rationale Interpolation Problemstellung und Problematik Spezielle Interpolationsaufgabe, Thielescher Kettenbruch Spline-Interpolation Charakterisierung der Spline-Funktion Berechnung der kubischen Spline-Interpolierenden Allgemeine kubische Spline-Interpolation Periodische kubische Spline-Interpolation Glatte zweidimensionale Kurvendarstellung Aufgaben Funktionsapproximation 4.1 Fourierreihen Effiziente Berechnung der Fourierkoeffizienten Der Algorithmus von Runge Die schnelle Fouriertransformation Orthogonale Polynome Die Tschebyscheff-Polynome Tschebyscheffsche Interpolation Die Legendre-Polynome Aufgaben Nichtlineare Gleichungen 5.1 Banachscher Fixpunktsatz Konvergenzverhalten und Konvergenzordnung Gleichungen in einer Unbekannten Intervallschachtelung, Regula falsi, Sekantenmethode Verfahren von Newton Interpolationsmethoden Gleichungen in mehreren Unbekannten Fixpunktiteration und Konvergenz Verfahren von Newton Nullstellen von Polynomen Aufgaben Eigenwertprobleme 6.1 Das charakteristische Polynom, Problematik Jacobi-Verfahren Elementare Rotationsmatrizen 236

4 Inhalt Das klassische Jacobi-Verfahren Zyklisches Jacobi-Verfahren Transformationsmethoden Transformation auf Hessenbergform Transformation auf tridiagonale Form Schnelle Givens-Transformation Methode von Hyman QR-Algorithmus Grundlagen zur QR-Transformation Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte QR-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte QR-Algorithmus für tridiagonale Matrizen Zur Berechnung der Eigenvektoren Aufgaben Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 7.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen Methoden der Orthogonaltransformation Givens-Transformation Spezielle Rechentechniken Householder-Transformation Singulärwertzerlegung Nichtlineare Ausgleichsprobleme Gauß-Newton-Methode Minimierungsverfahren Aufgaben Integralberechnung 8.1 Die Trapezmethode Problemstellung und Begriffe Definition der Trapezmethode und Verfeinerung Die Euler-Maclaurinsche Summenformel Das Romberg-Verfahren Adaptive Quadraturverfahren Transformationsmethoden Periodische Integranden Integrale über R Transformationsmethoden Interpolatorische Quadraturformeln Newton-Cotes Quadraturformeln Spline-Quadraturformeln Gaußsche Quadraturformeln Aufgaben 356

5 8 Inhalt 9 Gewöhnliche Differentialgleichungen 9.1 Einschrittmethoden Die Methode von Euler und der Taylorreihe Diskretisationsfehler, Fehlerordnung Verbesserte Polygonzugmethode, Trapezmethode, Verfahren von Heun Runge-Kutta-Verfahren Implizite Runge-Kutta-Verfahren Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme Mehrschrittverfahren Die Methoden von Adams-Bashforth Die Methoden von Adams-Moulton Stabilität Inhärenteinstabilität Absolute Stabilität Steife Differentialgleichungen Aufgaben Partielle Differentialgleichungen 10.1 Elliptische Randwertaufgaben, Differenzenmethode Problemstellung Diskretisation der Aufgabe Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen Diskretisationsfehler Ergänzungen Parabolische Anfangsrandwertaufgaben Eindimensionale Probleme, explizite Methode Eindimensionale Probleme, implizite Methode Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten Zweidimensionale Probleme Methode der finiten Elemente Grundlagen Prinzip der Methode der finiten Elemente Elementweise Bearbeitung Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen Beispiele Aufgaben 483 Literatur 486 Sachverzeichnis 494