Nachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008

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1 Nachklausur zur Vorlesung Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2008 Prof. Dr. Martin Rumpf Dr. Martin Lenz Dipl.-Math. Nadine Olischläger Nachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008 Bearbeitungszeit: 180 Minuten Bitte setzen Sie Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikelnummer ein und wählen Sie ein Schlüsselwort, außerdem kennzeichnen Sie bitte jedes einzelne Blatt mit Ihrem Namen. Name Vorname Matrikelnummer Schlüsselwort Zum Bestehen der Klausur müssen Sie im Teil I (Allgemeine Aufgaben) 22 von 44 möglichen Punkten sowie im Teil II (Programmieraufgaben) 4 von 8 möglichen Punkten erreichen. Dieses Deckblatt muss zusammen mit den Aufgabenblättern abgegeben werden! Bitte verwenden Sie, soweit möglich, den Platz unter den Aufgaben. Viel Erfolg!

2 Teil I (Allgemeine Aufgaben) Aufgabe Σ Punkte Teil II (Programmieraufgaben) Aufgabe Σ Punkte Gesamt Punkte

3 Name Matrikelnummer 1 Teil I (Allgemeine Aufgaben) Aufgabe 1 (4 Punkte) Bestimmen Sie die Hermite-Basis zu der Interpolationsaufgabe, bei der f (0), f (0) und f (1) vorgegeben werden. Aufgabe 2 Seien t 0,... t n R und f : R R. 1. Definieren Sie die dividierte Differenz D t0...t n f. (1+2+1 Punkte) 2. Geben Sie eine Formel zur rekursiven Berechnung von D t0...t n f für den Fall t i = t j an. 3. Geben Sie eine Formel zur Berechnung von D t0...t n f für den Fall t 0 =... = t n an

4 2 Aufgabe 3 (2+1+1 Punkte) Um radialsymmetrische Funktionen auf B 1 (0) R 3 zu integrieren, betrachten Sie für Funktionen f : [0, 1] R das Integral I( f ) := 4π 1 0 f (r) r 2 dr. 1. Berechnen Sie das nullte und erste orthogonale Polynom (mit führendem Koeffizienten 1) zu dem Skalarprodukt ( f, g) I := 4π 1 0 f (r)g(r) r 2 dr. 2. Geben Sie die Nullstellen des ersten orthogonalen Polynoms an. Wie lautet die zugehörige Gaußquadratur? 3. Auf welchem Polynomraum ist diese Quadratur exakt?

5 Name Matrikelnummer 3 Aufgabe 4 Betrachten Sie die kubische Hermite-Interpolation zu den Bedingungen f (0) = 1, f (1) = 0, f (0) = 1, f (1) = 1. (2+2 Punkte) 1. Geben Sie mit Hilfe des Schemas von Neville Aitken die Koeffizienten des Interpolationspolynoms in der Newton-Basis an. 2. Berechnen Sie den Wert der Interpolierenden an der Stelle Aufgabe 5 (4 Punkte) Betrachten Sie zur Approximation der der gewöhnlichen Differentialgleichung ẋ(t) = F(t, x(t)) mit F : R R n R n zu Zeitschritten t k = kτ das Iterationsverfahren ( x k+1 = x k tk + t + τf k+1, xk + x k+1 ). 2 2 Geben Sie ein Newtonverfahren zur Bestimmung von x k+1 für gegebenes x k an.

6 4 Aufgabe 6 Gegeben sei eine zulässige Triangulierung T h. (2+2 Punkte) 1. Geben Sie für ein Dreieck die Lagrange-Knoten und die Lagrange-Basisfunktionen zur quadratischen Lagrange-Interpolation in baryzentrischen Koordinaten an. 2. Zeigen Sie, dass die durch stückweise quadratische Lagrange-Interpolation entstehende Interpolierende stetig ist

7 Name Matrikelnummer 5 Aufgabe 7 (4 Punkte) Die Gauß Quadratur mit den zwei Knoten ± 1 3 ist auf dem Intervall [ 1, 1] exakt für alle kubischen Polynome. Geben Sie mittels eines Tensorprodukt-Ansatzes eine Quadraturformel (d. h. die Koordinaten der Knoten und die Gewichte) an, die auf [ 1, 1] 3 trikubische Polynome exakt integriert. Aufgabe 8 (4 Punkte) Seien T 1 R 2 und T 2 R 2 zwei Dreiecke. Betrachten Sie die affine Abbildung x Ax + b, die T 1 bijektiv nach T 2 abbildet. Sei h(t 2 ) der Durchmesser von T 2 und ϱ(t 1 ) der Inkreisdurchmesser von T 1. Zeigen Sie die folgende Abschätzung: A 2 h(t 2) ϱ(t 1 ).

8 6 Aufgabe 9 (1+1+2 Punkte) Betrachten Sie die zusammengesetze Bézierkurve, deren Teilstücke durch die Bézierpunkte ( (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) ) und ( (1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 0) ) beschrieben werden. 1. Skizzieren Sie die Kontrollpunkte und die Kurve. 2. Geben Sie die Formeln zur Berechnung der ersten und zweiten Ableitung der Bézierkurve in den Endpunkten an. 3. Bis zu welchen Grad ist die zusammengesetzte Kurve stetig differenzierbar? Warum?

9 Name Matrikelnummer 7 Aufgabe 10 (1+3 Punkte) Betrachten Sie das Eulersche Polygonzugverfahren zur Approximation der der gewöhnlichen Differentialgleichung ẋ(t) = x(t) für Zeitschritte t k = kτ. 1. Geben Sie die Gleichung zur Bestimmung von x k+1 aus x k an. 2. Sei e k = x(t k ) x k der Fehler zur Zeit t k. Zeigen Sie e k+1 Cτ 2 + (1 + τ) e k

10 8 Aufgabe 11 (4 Punkte) Betrachten Sie für u h : R + R n und L h R n,n das System gewöhnlicher Differentialgleichungen u h (t) = L h u h (t). Geben Sie zu gegebenen Anfangswerten u h (0) die u h (t) explizit an und verifizieren Sie durch direktes Differenzieren, dass u h (t) die Gleichung löst.

11 Name Matrikelnummer 9 Teil II (Programmieraufgaben) (Bitte geben Sie jeweils die verwendete Programmiersprache an.) Programmieraufgabe 12 (4 Punkte) Schreiben Sie ein Unterprogramm, das mit Hilfe des Schemas aus der Vorlesung zu gegebenem n N, paarweise verschiedenen Stützstellen t 0,... t n R und Funktionswerten f 0,... f n R sowie t R den Wert des Interpolationspolynoms an der Stelle t berechnet. Dabei dürfen Sie die Funktionswerte im Laufe des Unterprogramms überschreiben, wenn sie nicht mehr benötigt werden. Achten Sie darauf, dass der Speicherverbrauch des Unterprogramms O(n) ist.

12 10 Programmieraufgabe 13 (4 Punkte) Betrachten Sie das Cauchy Euler-Verfahren zur Approximation der der gewöhnlichen Differentialgleichung ẋ(t) = F(t, x(t)) für Zeitschritte t k = kτ: x k+ 1 2 = x k + τ 2 F(t k, x k ), x k+1 = x k + τf(t k + τ 2, xk+ 1 2 ). Nehmen Sie an, dass die Berechnung von F(t, x) für t, x R als Unterprogramm gegeben ist. Schreiben Sie ein Unterprogramm zur Berechnung von (x k ) k=0,1,2,...n aus gegebenem x 0, τ R und n N. Dabei können Sie die berechneten Werte in einen Vektor schreiben, der vom aufrufenden Programm übergeben wird.

13 Name Matrikelnummer 11

14 12

15 Name Matrikelnummer 13

16 14