Vektorprodukt. Der Vektor. ist zu a und b orthogonal, gemäß der. Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b
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- Helmuth Lange
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1 Vektorprodukt Der Vektor c = a b ist zu a und b orthogonal, gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b sin( ( a, b)), die dem Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms entspricht. Mittelfinger c a ( a, b) b Zeigefinger Daumen Vektorprodukt -
2 Insbesondere gilt a b = für a b; a b = a b für a b. Vektorprodukt -2
3 Insbesondere gilt a b = für a b; a b = a b für a b. Alternativ lässt sich das Vektorprodukt durch a a 2 b 3 a 3 b 2 b = a 3 b a b 3 a b 2 a 2 b definieren. Vektorprodukt -3
4 Beweis: (i) Linearität der geometrischen Definition: Vektorprodukt 2-
5 Beweis: (i) Linearität der geometrischen Definition: Multiplikation mit Skalaren Vektorprodukt 2-2
6 Beweis: (i) Linearität der geometrischen Definition: Multiplikation mit Skalaren Invarianz unter Drehungen a = e z Vektorprodukt 2-3
7 Beweis: (i) Linearität der geometrischen Definition: Multiplikation mit Skalaren Invarianz unter Drehungen a = e z additiv bzgl. des zweiten Arguments, da c = e z (b, b 2, b 3 ) t = ( b 2, b, ) t Vektorprodukt 2-4
8 Beweis: (i) Linearität der geometrischen Definition: Multiplikation mit Skalaren Invarianz unter Drehungen a = e z additiv bzgl. des zweiten Arguments, da Begründung: c = e z (b, b 2, b 3 ) t = ( b 2, b, ) t Vektorprodukt 2-5
9 Beweis: (i) Linearität der geometrischen Definition: Multiplikation mit Skalaren Invarianz unter Drehungen a = e z additiv bzgl. des zweiten Arguments, da Begründung: c e z, b c = e z (b, b 2, b 3 ) t = ( b 2, b, ) t Vektorprodukt 2-6
10 Beweis: (i) Linearität der geometrischen Definition: Multiplikation mit Skalaren Invarianz unter Drehungen a = e z additiv bzgl. des zweiten Arguments, da Begründung: c e z, b c = e z (b, b 2, b 3 ) t = ( b 2, b, ) t b 3 irrelevant für den Flächeninhalt (Scherung) o.b.d.a. b 3 = ( e z, b) = π/2, e z = c richtige Orientierung (prüfe alle Vorzeichenkombinationen der b k mit der rechten Hand Regel ) Vektorprodukt 2-7
11 (ii) Übereinstimmung mit der analytischen Definition: Vektorprodukt 2-8
12 (ii) Übereinstimmung mit der analytischen Definition: bereits gezeigt für a = e z, e x, e y analog Vektorprodukt 2-9
13 (ii) Übereinstimmung mit der analytischen Definition: bereits gezeigt für a = e z, e x, e y analog Antisymmetrie richtig für a = e x, e y, e z Vektorprodukt 2-
14 (ii) Übereinstimmung mit der analytischen Definition: bereits gezeigt für a = e z, e x, e y analog Antisymmetrie richtig für a = e x, e y, e z Linearität allgemeiner Fall Vektorprodukt 2-
15 (ii) Übereinstimmung mit der analytischen Definition: bereits gezeigt für a = e z, e x, e y analog Antisymmetrie richtig für a = e x, e y, e z Linearität allgemeiner Fall (iii) Flächeninhalt A des Parallelogramms: Vektorprodukt 2-2
16 (ii) Übereinstimmung mit der analytischen Definition: bereits gezeigt für a = e z, e x, e y analog Antisymmetrie richtig für a = e x, e y, e z Linearität allgemeiner Fall (iii) Flächeninhalt A des Parallelogramms: A = b h mit der Höhe h = a sin ( a, b) Vektorprodukt 2-3
17 Beispiel: Vektorprodukt c der Vektoren a = (2,, 2) t, b = (3, 3, ) t Vektorprodukt 3-
18 Beispiel: Vektorprodukt c der Vektoren a = (2,, 2) t, b = (3, 3, ) t c a, b c = λ(,, /2) t Rechte-Hand-Regel = λ > Vektorprodukt 3-2
19 Beispiel: Vektorprodukt c der Vektoren c a, b a = (2,, 2) t, b = (3, 3, ) t c = λ(,, /2) t Rechte-Hand-Regel = λ > Winkel cos ( a, a b b) = a b = = 2 = ( a, b) = π/4 Vektorprodukt 3-3
20 Beispiel: Vektorprodukt c der Vektoren c a, b a = (2,, 2) t, b = (3, 3, ) t c = λ(,, /2) t Rechte-Hand-Regel = λ > Winkel cos ( a, a b b) = a b = = 2 = ( a, b) = π/4 Fläche des aufgespannten Parallelogramms c = a b sin ( a, b) = = 9 c = λ(,, /2) t = ( 6, 6, 3) t Vektorprodukt 3-4
21 analytische Definition 2 3 c = 3 2 = = Vektorprodukt 3-5
22 Beispiel: Vektorprodukte der kanonischen Basisvektoren: e x e y = e z, e y e z = e x, e z e x = e y e x e x =, e y e y =, e z e z = Vektorprodukt 4-
23 Beispiel: Vektorprodukte der kanonischen Basisvektoren: e x e y = e z, e y e z = e x, e z e x = e y e x e x =, e y e y =, e z e z = entsprechende Formeln für eine beliebige, gemäß der Rechten-Hand-Regel orientierte Orthonormalbasis Vektorprodukt 4-2
24 Beispiel: Lorentzkraft für ein Elektron mit Ladung e und Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld b: f = e b v Auslenkung des stromdurchflossenen Leiters in Richtung f + v f b Vektorprodukt 5-
25 Regeln für Vektorprodukte Für Vektorprodukte gelten die folgenden Rechenregeln: Antisymmetrie a b = ( b a ) Linearität ( α a + α 2 a 2 ) ( β b + β 2 b2 ) = α β ( a b ) + α β 2 ( a b 2 ) + α2 β ( a2 b ) + α2 β 2 ( a2 b 2 ) Grassmann-Identität Lagrange-Identität ( a b) c = ( a c) b ( b c) a ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) Vektorprodukt 6-
26 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: Vektorprodukt 7-
27 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Vektorprodukt 7-2
28 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Linearität o.b.d.a. a, b kanonische Basisvektoren Vektorprodukt 7-3
29 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Linearität o.b.d.a. a, b kanonische Basisvektoren a = e x = b: beide Seiten der Identitäten Null Vektorprodukt 7-4
30 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Linearität o.b.d.a. a, b kanonische Basisvektoren a = e x = b: beide Seiten der Identitäten Null a = e x, b = e y : Vektorprodukt 7-5
31 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Linearität o.b.d.a. a, b kanonische Basisvektoren a = e x = b: beide Seiten der Identitäten Null a = e x, b = e y : linke Seite der Grassmann-Identität c c 2 ( e x e y ) c = c 2 = c c 3 Vektorprodukt 7-6
32 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Linearität o.b.d.a. a, b kanonische Basisvektoren a = e x = b: beide Seiten der Identitäten Null a = e x, b = e y : linke Seite der Grassmann-Identität c c 2 ( e x e y ) c = c 2 = c c 3 Übereinstimmung mit rechter Seite c e y c 2 e x Vektorprodukt 7-7
33 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Linearität o.b.d.a. a, b kanonische Basisvektoren a = e x = b: beide Seiten der Identitäten Null a = e x, b = e y : linke Seite der Grassmann-Identität c c 2 ( e x e y ) c = c 2 = c c 3 Übereinstimmung mit rechter Seite c e y c 2 e x Lagrange-Identität im betrachteten Spezialfall c d 2 c 2 d = c d 2 d c 2 Vektorprodukt 7-8
34 Beweis: (i) Antisymmetrie und Linearität: (ii) Grassmann- und Lagrange-Identität: Linearität o.b.d.a. a, b kanonische Basisvektoren a = e x = b: beide Seiten der Identitäten Null a = e x, b = e y : linke Seite der Grassmann-Identität c c 2 ( e x e y ) c = c 2 = c c 3 Übereinstimmung mit rechter Seite c e y c 2 e x Lagrange-Identität im betrachteten Spezialfall c d 2 c 2 d = c d 2 d c 2 analoge Argumentation für andere Kombinationen von Basisvektoren Vektorprodukt 7-9
35 Beispiel: (i) Linearität vorteilhaft bei parallelen Vektoren: Vektorprodukt 8-
36 Beispiel: (i) Linearität vorteilhaft bei parallelen Vektoren: = = (6 ) 2 = 5 2 = 5 Vektorprodukt 8-2
37 (ii) Vektorprodukte einfacher berechenbare Skalarprodukte: Vektorprodukt 8-3
38 (ii) Vektorprodukte einfacher berechenbare Skalarprodukte: Grassmann-Identität: ( a b) c = ( a c) b ( b c) a = = 2 3 Vektorprodukt 8-4
39 (ii) Vektorprodukte einfacher berechenbare Skalarprodukte: Grassmann-Identität: ( a b) c = ( a c) b ( b c) a = = Lagrange-Identität: ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) = 6 2 = 2 Vektorprodukt 8-5
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