Lineare Algebra, Optimierung, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Transkript

1 Siegfried Fuchs Monika Lutz Lineare Algebra, Optimierung, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik VERLAG HARRI DEUTSCH

2 Inhaltsverzeichnis I Lineare Algebra 1 1 Determinanten Einführendes Beispiel Determinanten zweiter Ordnung Definition Eigenschaften Determinanten dritter Ordnung Definition und Wertberechnung Determinanten n-ter Ordnung Definition und Entwicklungssatz Vorteilhafte Berechnung des Wertes einer Determinante Weitere Anwendungen 8 2 Matrizen Einführendes Beispiel Grundbegriffe Definition und Gleichheit von Matrizen Spezielle Matrizen Rang einer Matrix Rechenoperationen für Matrizen Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix Umkehroperation zur Matrizenmultiplikation Eigenwertaufgabe 23 3 Lineare Gleichungssysteme Definitionen und Lösungsmethode Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 28 I

3 ii INHALTSVERZEICHNIS Spezialfälle Allgemeiner Fall Fallunterscheidungen für lösbare lineare Gleichungssysteme 30 4 Aufgaben zum Teil I 39 II Grundlagen der Graphentheorie und Netzplanmodelle 46 5 Graphen Grundlagen Gegenstand Einführendes Beispiel Spezielle Graphen und Begriffe Gerichtete und ungerichtete Graphen Spezielle Strukturen von Graphen Kanten und Bögen Arten des Zusammenhanges von Graphen Bäume und Gerüste Ströme und Spannungen Darstellung von Graphen Darstellung durch eine Adjazenzmatrix Darstellung durch eine Inzidenzmatrix 65 6 Netzplanmodelle Aufstellen von Netzplänen Grundbegriffe Ereignis-und Aktivitätennetzpläne Phasen der Netzplantechnik Methode CPM Zeitplanung Beispiel zur Berechnung des kritischen Weges Methode PERT Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen Zeitplanung 82

4 INHALTSVERZEICHNIS iii Interpretation der Ergebnisse Berechnung eines Netzplanes 86 7 Aufgaben zum Teil II 91 III Einführung in die Linearoptimierung 94 8 Grundlagen Grundbegriffe und Aufgabenstellung Mathematische Modellformulierung 95 9 Graphische Lösung linearer Optimierungsaufgaben Graphische Lösung linearer Ungleichungssysteme Ungleichungen mit zwei Variablen Spezielle Ungleichungen und ihre Lösungsmengen Beispiele Schlußfolgerungen und Ausblick Graphische Lösung von Maximierungsaufgaben Optimale Lösung für Standardbeispiel Mehrere optimale Lösungen Zusammenfassung Analytische Lösung linearer Optimierungsaufgaben Theoretische Grundlagen Normalform eines linearen Optimierungsproblems Einführung grundlegender Begriffe Standardbeispiel Simplextheorem und Simplexkriterium Simplexmethode für den Normalfall der Maximierung Grundlegende Aspekte Numerische Lösung des Standardbeispiels Simplexalgorithmus Rechteckschema zum Standardbeispiel Transportoptimierung 129

5 iv INHALTSVERZEICHNIS 11.1 Grundlagen Einführendes Beispiel Formulierung des klassischen Transportproblems Sätze zur Lösung von Aufgaben der Transportoptimierung Gewinnung einer Anfangslösung Aufsteigende Indexmethode Beispiel Gewinnung einer optimalen Lösung Optimierungskriterium für das Transportproblem Verbesserung einer nichtoptimalen zulässigen Basislösung Aufgaben zum Teil III: Einführung in die Linearoptimierung 141 IV Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufällige Ereignisse Grundlagen Begriffserklärungen Ereignisrelationen und Ereignisoperationen Strukturdarstellung von Ereignissen Ereignisfeld Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Definition und Eigenschaften Relative Häufigkeit eines Ereignisses Axiomatische Definition Berechnungsmethoden Klassische Methode Geometrische Methode Statistische Methode Bedingte Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit eines Produktes von Ereignissen Wahrscheinlichkeit einer Summe von Ereignissen Totale Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und Formel von Bayes. 159

6 INHALTSVERZEICHNIS v 15 Zufallsgrößen und ihre Verteilungen Begriffsbildungen Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Zufallsgrößen Einzelwahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktion Kennwerte Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsgrößen Zweipunktverteilung Gleichmäßige diskrete Verteilung Binomialverteilung Poisson-Verteilung Stetige Zufallsgrößen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion Kennwerte Spezielle Verteilungen stetiger Zufallsgrößen Gleichmäßige stetige Verteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Standardisierte Normalverteilung Weibull-Verteilung Funktionen von Zufallsgrößen Gesetze der großen Zahlen und Grenzwertsätze Einführung Gesetze der großen Zahlen Grenzwertsätze Einführung Grenzwertsatz von Moivre-Laplace Grenzweitsatz von Lindeberg-Levy Grenzwertsatz von Ljapunov Zweidimensionale Zufallsgrößen Verteilung einer zweidimensionalen Zufallsgröße Zweidimensionale diskrete und stetige Zufallsgrößen 220

7 V vi INHALTSVERZEICHNIS Verteilung diskreter Zufallsgrößen Verteilung stetiger Zufallsgrößen Unabhängigkeit von Zufallsgrößen Kennwerte von Zufallsgrößen Zweidimensionale Normal Verteilung Definition Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels standardisierter Normalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Streuungsnetz Aufgaben zum Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung 236 V Grundlagen der mathematischen Statistik Grundbegriffe Merkmale und Merkmalsausprägungen Daten und ihre Klassifikation Grundgesamtheit und Stichprobe Anforderungen an eine Stichprobe Arbeitsstufen einer statistischen Untersuchung Beschreibende Statistik bei einem Merkmal Häufigkeitsverteilung Klassenbildung Summenverteilung Statistische Maßzahlen Mittelwerte Streuungsmaße Beschreibende Statistik bei zwei Merkmalen Häufigkeitsverteilung Empirische Randverteilung Stochastischer Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen Begriffsbildung Arten des stochastischen Zusammenhangs 272

8 INHALTSVERZEICHNIS vii Empirische Kovarianz Regression und Korrelation Gegenstand der Regressions- und Korrelationsanalyse Empirische Regressionsfunktion Allgemeines Lineare Regressionsfunktion Nichtlineare Regressionsfunktionen Empirisches Bestimmtheitsmaß Empirisches Bestimmtheitsmaß Empirischer Korrelationskoeffizient Zeitreihen Begriffsbildung Absoluter und relativer Verlauf einer Zeitreihe Trend einer Zeitreihe Berechnung der Trendfunktion Stichprobenfunktionen und ihre Verteilungen Mathematische Stichprobe und Stichprobenfunktionen Stichproben Stichprobenfunktion Quantile stetiger Zufallsgrößen Verteilungen von Stichprobenfunktionen x 2 - Verteilun g r-verteilung F- Verteilung Statistische Schätzmethoden Punktschätzung Aufgabenstellung und Grundbegriffe Gütekriterien für die Schätzfunktion Konfidenzschätzung Aufgabenstellung und Grundbegriffe Konfidenzintervall für m eines normalverteilten Merkmals 323

9 I viii INHALTSVERZEICHNIS Konfidenzintervall für o 2 eines normalverteilten Merkmals Konfidenzintervall für den Parameter p eines 0-1-verteilten Merkmals Konfidenzintervall für p xy bei normalverteiltem Merkmalspaar Statistische Prüfverfahren Aufgabenstellung und Grundbegriffe Prüfen von Erwartungswerten Prüfen des Erwartungswertes eines normalverteilten Merkmals Gleichheit der Erwartungs werte zweier normal verteilter Merkmale Prüfen von Dispersionen Prüfen der Dispersion eines normalverteilten Merkmals Prüfen der Gleichheit der Dispersion zweier normalverteilter Merkmale Prüfen von Wahrscheinlichkeiten Prüfender Wahrscheinlichkeit eines 0-1-verteilten Merkmals Gleichheit der Wahrscheinlichkeiten zweier 0-1-verteilter Merkmale Prüfen von Verteilungen Prüfen der Verteilung eines Merkmals Prüfen der Unabhängigkeit zweier Merkmale Prüfen der Gleichheit der Verteilungen mehrerer Merkmale Prüfen des Korrelationskoeffizienten Prüfen des Korrelationskoeffizienten gegen Null Prüfen des Korrelationskoeffizienten gegen po ^ Aufgaben zum Teil V: Grundlagen der mathematischen Statistik 356 VI Lösungen zu den Aufgaben Lösungen zum Teil I Lösungen zum Teil II Lösungen zum Teil III Lösungen zum Teil IV Lösungen zum Teil V 377