Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung BW-WMT-P Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum

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1 Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung Datum 84 BW-WMT-P 48 Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer Lassen Sie bitte auf jeder Seite /3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw Teilaufgabe sich diese bezieht Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen Unleserliches wird nicht bewertet Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet Hilfsmittel : Bearbeitungszeit: Minuten HFH-Taschenrechner Anzahl Aufgaben: 6 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: Vorläufiges Bewertungsschema: Viel Erfolg! Punktzahl von bis einschl Note 95, sehr gut 9 94,5,3 sehr gut 85 89,5,7 gut 8 84,5, gut 75 79,5,3 gut 7 74,5,7 befriedigend 65 69,5 3, befriedigend 6 64,5 3,3 befriedigend 55 59,5 3,7 ausreichend 5 54,5 4, ausreichend 49,5 5, nicht ausreichend Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 48

2 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe insg 8 Punkte Die Grenzkosten einer Unternehmung betragen K ( = 4e Bestimmen sie die Gesamtkostenfunktion (, wobei R, > K, wenn die fien Kosten K f = 4 betragen Aufgabe insg 3 Punkte Gegeben seien die Matrizen 4 49 c d D = 55 6 und F = 5 8 mit c, d R Bestimmen Sie für die Matri F die Elemente c und d so, dass 6 6 G = D + F = Gegeben seien die Matrizen a b A = und B = Bestimmen Sie für die Matri A die Elemente a und b so, dass 57 7 C = A B = Hinweis: Veranschaulichen Sie sich die Matrimultiplikation mit dem Schema von FALK 4 Pkte 9 Pkte BW-WMT-P 48 Seite /4

3 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe 3 insg Punkte Eine Beratungsfirma hat für ein Produkt des Unternehmens ABC folgende Absatz-Preis-Funktion ermittelt: = ( p) = p + 4 Dabei ist der Absatz des Produktes bei einem Preis p 3 Wie lautet die Funktion ε, p der Absatz-Elastizität? 5 Pkte 3 Wie hoch ist die Absatz-Elastizität für p = 6? Pkte 33 Was gibt die Absatz-Elastizität an? Ist die Funktion ε, p an der Stelle p = 6 elastisch? 3 Pkte Aufgabe 4 insg 3 Punkte Eine Farben-Großhandlung führt 3 verschiedene Gebinde A, B und C, die jeweils in unterschiedlichen Mengen weiße Farbe, Grundierung und Spachtelmasse enthalten: Gebinde A: kg weiße Farbe, kg Grundierung,,5 kg Spachtelmasse Gebinde B: 8 kg weiße Farbe, kg Grundierung, kg Spachtelmasse Gebinde C: 8 kg weiße Farbe, kg Grundierung, kg Spachtelmasse Ein Kunde bestellt 88 kg weiße Farbe, 3 kg Grundierung und kg Spachtelmasse Wie viele Gebinde der jeweiligen Art sind erforderlich, um dem Kunden die gewünschten Mengen zu liefern (ohne die Gebinde aufzureißen) Hinweis: Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie es mit dem GAUß-Algorithmus BW-WMT-P 48 Seite /4

4 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe 5 insg 6 Punkte Bei der Herleitung der Formel für die optimale Bestellmenge tritt die Gesamtkostenfunktion K b G( = + h K b auf, die sich aus den Bestellkosten B( = und den Lagerkosten Die einzelnen Größen in der Gesamtkostenfunktion haben dabei folgende Bedeutung L( = h zusammensetzt Größe Interpretation Zahlenwert (bezogen auf Jahr) Beispiel b Bedarf des zu bestellenden Materials (in kg) 5 kg b (konstante) Bestellmenge (in kg) Anzahl der Bestellungen im Jahr K fie Kosten pro Bestellung und Lieferung 4, h Lagerkosten pro kg 4, /kg h Lagerkosten im Jahr, wobei der mittlere Bestand ist Machen Sie sich mit den Mitteln der Kurvendiskussion eine Vorstellung von den Eigenschaften und dem Verlauf der Gesamtkostenfunktion G ( 5 Bestimmen Sie für die Gesamtkostenfunktion G ( : Definitionsbereich Nullstellen Etrema Wendepunkte Verhalten für kleine ( ) Verhalten für große ( ) 5 Skizzieren Sie näherungsweise den Verlauf der Gesamtkostenfunktion G ( Verwenden Sie bitte für die Größen K, b und h die Zahlenwerte aus der obigen Tabelle 53 Welche Größe würden Sie als optimale Bestellmenge bezeichnen und welchen Wert nimmt diese Größe mit den oben gegebenen Zahlenwerten an 8 Pkte 5 Pkte 3 Pkte BW-WMT-P 48 Seite 3/4

5 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe 6 insg Punkte In einem verbundenen Produktionsprozess stellt ein Unternehmen zwei Produkte X und Y her Die Absatzmengen (gemessen in kg) dieser Produkte sind und y Für die Produktion von X und Y wurde folgende Kostenfunktion ermittelt: K (, y) = y y + 35 Weiterhin kennt das Unternehmen die Preis-Absatz-Funktionen beider Produkte: p = p( = 8 4 p = p y) = 4 5y ( Das Unternehmen möchte den Absatz so gestalten, dass der Gewinn G(, y) = p + p y K(, y) maimal wird Ermitteln Sie die Absatzmengen E und y E, die diese Bedingung erfüllen und geben Sie jeweils die Preise an, mit denen die Zielstellung erreicht wird BW-WMT-P 48 Seite 4/4

6 Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 84 Betriebswirtschaft BW-WMT-P 48 Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste) ein Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen: Punktzahl Note von bis einschl 95, sehr gut 9 94,5,3 sehr gut 85 89,5,7 gut 8 84,5, gut 75 79,5,3 gut 7 74,5,7 befriedigend 65 69,5 3, befriedigend 6 64,5 3,3 befriedigend 55 59,5 3,7 ausreichend 5 54,5 4, ausreichend 49,5 5, nicht ausreichend Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 5 Januar 5 in Ihrem Studienzentrum ein Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel 4/ bzw birgithupe@hamburger-fhde) Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 48

7 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösung vgl SB 5, Kap und SB 7, Kap insg 8 Punkte Die Grenzkosten sind die Ableitung der Kostenfunktion, also K( = K ( d + C ( 4e C K = ( ) d 3 K( = 4e C (3 Pkte) Mit K f = K( ) = 4 folgt 4 = K() = 4e + C = 4 + C C = 36 ( Pkte) Somit ist 3 K( = 4e Lösung vgl SB 6, Kap 3 und Kap 6 insg 3 Punkte Matriaddition 4 Pkte 4 49 D = 55 6, 7 8 c d 6 F = 5 8, G = D + F = Die Elemente an gleicher Position werden jeweils addiert: 4 + c = 6 c = 6 4 = d = 6 d = 6 49 = ( Pkte) Matrimultiplikation 9 Pkte 4 a b 4 A =, 3 Schema von Falk: 4 a b B = 7 8, C = A B = ( Pkte) BW-WMT-P 48 Seite /7

8 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aus dem Schema folgt: a 6 + b = a 7 + b = 7 ( Pkte) Umformen liefert Gleichungen mit den Unbekannten a und b: 6 a + 7b = 33 (I) 7 a + 8b = 38 (II) Aus (I) folgt: 33 7b a = 6 Einsetzen in (II) liefert 33 7a 7 + 8b = 38 6 ( 3 49a) + 48a = 8 3 a = 8 b = 3 Somit ist 33 7b 33 a = = = 6 6 ( Pkte) Lösung 3 vgl SB 5, Kap 36 insg Punkte 3 5 Pkte Für die Absatz-Elastizitätsfunktion ε, p gilt (Formelsammlung 7): ( p) ε, p = p ( p) Mit = ( p) = ergibt sich bei Anwendung der Quotientenregel p + 4 ( p + 4) ( p) p ( p) = = ( p + 4) ( p + 4) Somit ist ( p) p ( p + 4) p ε, p = p = p = ( p) ( 4) p + ( p + 4) ( Pkte) ( Pkte) 3 Pkte Mit p = 6 ergibt sich p 7 ε, p = = =,8 ( p 4) ( ) + ( Pkte) BW-WMT-P 48 Seite /7

9 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft 33 3 Pkte Wenn der Preis um % steigt, dann fällt der Absatz (näherungsweise) um,8 % Die Funktion ε, p ist an der Stelle p elastisch, wenn ε, p > gilt Für p = 6 gilt ε, p =,8 und damit ε, p > An der Stelle p = 6 ist die Funktion ε, p somit elastisch ( Pkte) Lösung 4 vgl SB 6, Kap und 3 insg 3 Punkte Es sei Anzahl der Gebinde A Anzahl der Gebinde B 3 Anzahl der Gebinde C Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung lässt sich das folgende Gleichungssystem formulieren: = 88 (kg weiße Farbe) = 3 (kg Grundierung), = (kg Spachtelmasse) Andere Schreibweise: = 3,5 3 Lösung mit dem GAUß-Algorithmus: Hinweis: Hier sind unterschiedliche Vorgehensweisen möglich, die Punkte dann entsprechend verteilen, I : 3, ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte), II I III,5I,,6,, (3 Pkte),,6,, II:, 66,6 / 6, ( Pkte),6 / 6, III,6II / 6 / (3 Pkte) BW-WMT-P 48 Seite 3/7

10 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Mittels der erhaltenen Dreiecksmatri erhält man durch Rückrechnung : 3 = 3 3 = = + 5 = 35 6 = = = 88 = 4 Damit ergibt sich der Lösungsvektor 4 = Lösung 5 vgl SB 5, Kap 5 insg 6 Punkte 5 Kurvendiskussion (8 Pkte) K b G( = + h Definitionsbereich: ist (konstante) Bestellmenge, damit ; (,5 Pkte) K b aus B( = folgt, dass ( B ( ist für = nicht definiert); (,5 Pkte) Damit ist D = { R > } Nullstellen: K b G( = + h K b + h = h K b + = K b = h Diese Gleichung ist im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar, damit hat G ( keine Nullstellen Etrema (Untersuchung der Ableitung auf Nullstellen): K b G( = + h K b h G ( = + ( Pkte) ( Pkte) BW-WMT-P 48 Seite 4/7

11 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft K b h + = h K b + = K b = h E = K b h Zur Entscheidung, ob in E ein Maimum oder Minimum vorliegt, muss die Ableitung untersucht werden: K b G ( = 3 ( Pkte) G ( > für alle >, damit liegt ein Minimum vor Wendepunkte (Untersuchung der Ableitung auf Nullstellen): K b G ( = 3 K b = 3 K b = Hier liegt ein Widerspruch vor, also keine Lösung und damit keine Wendepunkte + Verhalten für kleine ( ): K b lim B( = lim =, Bestellkosten werden immer größer (gehen gegen unendlich) (,5 Pkte) + + lim + L( = lim + h =, Lagerkosten werden immer kleiner (gehen gegen Null) (,5 Pkte) Damit geht die Gesamtkostenfunktion G ( = B( + L( für Verhalten für große ( + ): + gegen unendlich K b lim B( = lim =, Bestellkosten werden immer kleiner (gehen gegen Null) (,5 Pkte) + + lim L( = lim h =, Lagerkosten werden immer größer (gehen gegen unendlich) (,5 Pkte) + + Damit geht die Gesamtkostenfunktion G ( = B( + L( für + gegen unendlich BW-WMT-P 48 Seite 5/7

12 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft 5 Grafische Darstellung (5 Pkte) Mit den Zahlenwerten ergibt sich K b 4 5 G( = + h = + 4 = + G( G( B( L( Optimale Bestellmenge (3 Pkte) Die optimale Bestellmenge ist dort erreicht, wo die Gesamtkosten G ( aus Bestellen und K b Lagern minimal werden, also im Punkt = ( Pkte) E h Mit den Zahlenwerten ergibt sich: K b 4 5 E = = = 77, kg h 4 Lösung 6 vgl SB 9, Kap 4 insg Punkte Die Gewinnfunktion lautet G(, y) = p + p y K(, y) = (8 4 + (4 5y) y (y y + 35) = y 5y y 5 y 35 = y 5y y 35 Bilden der partiellen Ableitungen: G = 3 48 y G y = 3y G = 48 ; G yy = 3 ; G y = G y = (3 Pkte) (3 Pkte) BW-WMT-P 48 Seite 6/7

13 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /4, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Bestimmung der stationären Punkte durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen Ordnung: G = 3 48 y = G y = 3y = Lösen des Gleichungssystems 3 = 48 + y (I) = + 3 y (II) Aus (II) folgt: = 3y Einsetzen in (I) liefert: 3 = 4( 3y) + y 3 = 8 8y 67 y = 6,4 kg 8 Mit (II) ergibt sich: = 3(67 /8) = = =,57 kg 8 96 Anschließend wird untersucht, ob die Bedingung ( Pkte) (3 Pkte) G G yy Gy > für den stationären Punkt (,57; 6,4) erfüllt ist Mit den oben ermittelten partiellen Ableitungen ergibt sich G G yy Gy = ( 48) ( 3) ( ) = 96 > Da die Bedingung erfüllt ist und G = 48 < für den Punkt (,57; 6,4) gilt, liegt im Punkt P ( E, ye ) = (,57; 6,4) ein Maimum vor Die Preise, bei denen das Maimum erreicht wird, sind: p = p( E ) = 8 4E = 8 4,57 = 5,3 p = p ( y E ) = 4 5y = 4 5 6,4 = 369,4 BW-WMT-P 48 Seite 7/7

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