Nichtlineare Phänomene und Selbstorganisation

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1 Nichtlineare Phänomene und Selbstorganisation Von Dr. rer i.. ibü: Rein*»i M ce Doz. Dr. rer. nat. nabii. Jürn Schmelzer Prof. Dr. rer. nat. habil. Gerd Röpke Universität Rostock Mit zahlreichen Figuren B.G.Teubner Stuttgart 1992

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort i 1 Einleitung Einführung Unsere Welt ist nichtlinear Chaos und Ordnung Chaotisches Verhalten Fraktale Fraktale Muster in der Natur 23 2 Methoden der Analyse nichtlinearer Phänomene Problemstellung Qualitative Theorie von Differentialgleichungen Qualitative Methoden bei Existenz nur einer unabhängigen Variablen Qualitative Analyse für den Fall zweier unabhängiger Variablen Konservative mechanische Systeme Schlußfolgerungen und Ergänzungen Ljapunovexponenten 40 3 Diskrete dynamische Systeme Diskrete Abbildungen Die logistische Abbildung Das Feigenbaum-Diagramm Schlußfolgerungen aus der logistischen Gleichung Stabilitätsanalyse für die logistische Abbildung Voll entwickeltes Chaos 57

3 VI Inhaltsverzeichnis 4 Klassische mechanische Systeme Nichtlineare mechanische Beispiele Allgemeine Eigenschaften einfacher Systeme Resultate für höherdimensionale Systeme Die Schlögl-Reaktion Das Kettenkarussell 72 5 Grundideen der Synergetik Thermodynamik und Chaos Dämonen als Gegenspieler zum Chaos Nichtgleichgewichtssysteme und Ordnung Benard-Effekt Taylor-Instabilität Belousov-Zhabotinsky-Reaktion Selbstorganisation und Turbulenz in Flüssigkeiten Synergetische Konzepte 86 6 Das Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem (KAM-Theorem) und einige Konsequenzen Einleitung Zwei- und Mehrkörperprobleme Die Keplerschen Gesetze Keplers Ideen zur Struktur des Sonnensystems Die Titius-Bodesche Beziehung Das eingeschränkte Dreikörperproblem Das Kolmogorov - Arnold - Moser- Theorem Rationale und irrationale Zahlen Integrable und nichtintegrable Systeme Das KAM-Theorem Chaos, KAM-Theorem und das Sonnensystem Dichteverteilung im Asteroidengürtel Struktur der Saturnringe Weitere Beispiele Thermodynamik, Bilanzgleichungen und Evolutionskriterien Evolution in Physik und Biologie Grundideen der klassischen Thermodynamik 104

4 Inhaltsverzeichnis VII Die Hauptsätze der Thermodynamik Evolutionskriterien der klassischen Thermodynamik Beispiele und Konsequenzen Bestimmung der Richtung von Wärmeleitungspfozessen Bildung und Wachstum von Tropfen im Dampf Der Wärmetod des Weltalls Thermodynamische Evolutionskriterien Problemstellung Beispiele Stochastische Prozesse und Strukturbildung Gesetzmäßigkeit und Zufall Beispiele für Zufallsprozesse Beschreibung zufälliger Prozesse Brownsche Bewegung Stochastische Prozesse und Irreversibilität Zeit als physikalische Größe Irreversibilität bei stochastischen Gleichungen Evolution des Kosmos Zur Geschichte der Evolution Physikalische Beschaffenheit der Planeten Evolution des Universums Entstehung der Elemente oder Moderne Alchemie Kräfte und Bausteine der Natur Charakterisierung der Elemente Die chemischen Elemente Die Isotope Kernprozesse Element-Synthese Expansion des Universums Elementsynthese im Urknall Elementsynthese in Sternen Endphasen der Sternenentwicklung 150

5 Vill Inhaltsverzeichnis 12 Verteilung und Häufigkeit chemischer Elemente Problemstellung Erklärungsversuche Weiterführende Fragen Evolutionsprozesse in chemischen und biologischen Systemen Einleitung Mathematische Modelle Ableitung der dynamischen Gleichungen: Möglichkeiten und Grenzen Das Flaschenhalsprinzip Strukturbildungsprozesse in chemischen Systemen Chemische Oszillationen Multistabilitäten und kinetische Phasenübergänge Chemische Wellen und Führungszentren Ausbildung stabiler räumlicher Strukturen Selektion und Evolutionsprozesse Ein einfaches Beispiel: Parallele Konkurrenz um Rohstoff Parallele Konkurrenz: Konstanz der Gesamtkonzentration der Sorten Das Modell von Volterra Interpretation: Extremalprinzipien Verallgemeinerung: Das Prinzip von Gauze - Volterra Das Prinzip von Gauze-Volterra und Artenvielfaltl Anwendung physikalischer Methoden in der Modellierung Selbstreproduktion, Clusterbildung und Konkurrenz in übersättigten Systemen Die Hauptsätze der Thermodynamik Konkurrenz und Selektion im Eigen-Modell Konkurrenz zwischen Clustern Molekulardynamik zur Clusterbildung 189

6 Inhaltsverzeichnis IX 15 Zelluläre Automaten Einleitung Deterministische eindimensionale binäre CA Zweidimensionale zelluläre Automaten Stochastische zweidimensionale zelluläre Automaten Universalitätsklassen eindimensionaler CA Spingläser und neuronale Netzwerke Spinsysteme Neuronale Netze 211 Literaturverzeichnis 217 Sachverzeichnis 221