Zusammenfassung PVK Statistik

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1 Zusammenfassung PVK Statistik (Diese Zusammenfassung wurde von Carlos Mora erstellt. Die Richtigkeit der Formeln ist ohne Gewähr.) Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen Beschreibung Binomialverteilung Poissonverteilung Allgemeine Formeln X = Anzahl Erfolge/Treffer in n unabhängigen X = Anzahl Erfolge pro Intervall (Zeit, Fläche usw.), Versuchen (p = Erfolgswahrscheinlichkeit) Darstellung Werte, die X annehmen abzählbare, endliche Anzahl Ereignisse abzählbare, unendliche Anzahl Ereignisse kann (diskret -> abzählbar) 0, 1, 2, 3, 4, n 0, 1, 2, 3, abzählbar,-2, -1, 0, 1, 2, Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) Kumulative Verteilungsfunktion F(x) Selber herausfinden, ohne Formel z.b. bei Jasskarten: P[König]=P[X=4]= Wichtig: Erwartungswert E(X) Varianz Var(X) ( ) Standardabweichung (X) Approximatives zweiseitiges 95% Vertrauensintervall Approx. einseitiges 95% Vertrauensintervall Vertrauensintervall für die Erfolgswahr keit p. ] ] für [ [ für Vertrauensintervall für. WICHTIG: Bernoulliverteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1 (d.h. ). Es wird nur ein einziger Versuch beschrieben, die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist gleich p und die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist gleich 1-p. WICHTIG: APPROXIMATIONEN: Für n = gross ist es mühsam, ohne Computer die kumulative Wahrscheinlichkeit berechnen. Deshalb wird meistens mit anderen Verteilungen approximiert: der Binomialverteilung zu 1. Normalapproximation (für n =gross, sehr häufig verwendet): ; ; [ ] z-tabelle 2. Poissonapproximation (für n=gross und p=klein): ; PVK Statistik Carlos Mora

2 Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen (Teil 1) Beschreibung Darstellung Allgemeine stetige Verteilung Exponentialverteilung Uniforme Verteilung X = meistens Zeitdauer für etwas, z.b. Wartezeiten Alle Werte sind gleich wahrscheinlich zwischen a auf Ausfälle, radioaktiver Zerfall und b. Werte, die X annehmen Je nach Verteilung, allg. Alles von 0 bis undendlich, alle Werte zwischen a und b, kann Wahrscheinlichkeitsfunktion = DICHTE allg.: allg.: allg.: WICHTIG: { } { } Kumulative Verteilungsfunktion { } { } Erwartungswert und Median Varianz WICHTIG:, da Median Median Median nach m auflösen nach m auflösen nach m auflösen. ( ) Standardabweichung (X) PVK Statistik Carlos Mora

3 Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen (Teil 2) Beschreibung Normalverteilung Am häufigsten für Messdaten verwendete Verteilung und geeignet, um andere diskrete und stetige Verteilungen anzunähern (für grosses n) -> Zentraler Grenzwertsatz, Normalapproximation. Standard-Normalverteilung Spezialfall der Normalverteilung. Nur für diese Normalverteilung sind die Werte berechnet und tabelliert (z-tabelle). Darstellung Werte, die X annehmen kann Wahrscheinlichkeitsfunktion = DICHTE allg.: allg.: Kumulative Verteilungsfunktion WICHTIG: F(x) kann nicht explizit dargestellt werden. Deshalb STANDARDISIEREN (Umformung in Standardnormalverteilung): [ ] = W keit aus Z-Tabelle z = Zahl mit 2 Nachkommastellen; dazugehörige kumulat. W keit in z-tabelle ablesen WICHTIG: Falls z.b. z = -2 (da Verteilung symmetrisch um 0) Erwartungswert und (Normalvert. sind symmetrisch) (Normalvert. sind symmetrisch) Median Varianz Standardabweichung (X) Geschätzte empirische Standardabweichung: Zweiseitiges 95 % Vertrauensintervall für Einseitiges 95% Vertrauensintervall ] [ ( ) ] für [ für PVK Statistik Carlos Mora

4 Vorgehen für Statistische Tests Diskrete (abzählbar) oder stetige (z.b. Messdaten) Zufallsvariable? Binomialtest diskret Binomialverteilung? (Anzahl Treffer, n gegeben) JA NEIN Poissonverteilung? (Anzahl Treffer ohne def. n) Poissontest stetig Normalverteilung? Normal-Q-Q plot JA NEIN Ein-Stichproben-Analyse Zwei-Stichproben-Analyse Vorzeichen-Test Wilcoxon-Test Normalapproximation für n gross Poissonapprox. für n gross und p klein gepaart t-test der Paardifferenz ungepaart Zwei-Stichproben t-test mit gemeinsamer Varianz s pool σ bekannt z-test σ unbekannt, nur geschätzt ( σ ) t-test PVK Statistik Carlos Mora

5 Binomialtest (Poissontest fast gleich, einfach anstatt p wird mit ersetzt und wird mit der Poissonverteilung berechnet). 1. Modell: ; Beobachtung x A) OHNE Normalapproximation 3. Testresultat: a. P-Wert = berechnen falls P-Wert <, verwerfen b. Verwerfungsbereich: c u so wählen, dass 3. Testresultat: a. P-Wert = = berechnen falls P-Wert <, verwerfen b. Verwerfungsbereich: c o so wählen, dass (zweiseitig) 3. Testresultat: a. P-Wert = berechnen falls P-Wert <, verwerfen b. Verwerfungsbereich: c u und c o so wählen, dass B) MIT Normalapproximation (für grosse n) z-test 3. Approximation: ; 4. z-test (für Normalapproximation) Berechne 3. Approximation: ; 4. z-test (für Normalapproximation) Berechne (zweiseitig) 3. Approximation: ; 4. z-test (für Normalapproximation) Berechne Falls, Falls, Falls, Wichtigste Werte von für z-test aus z-tabelle: ; ; ; WICHTIG: Es ist auch möglich, den Verwerfungsbereich K wie bei A) zu berechnen mit abrunden auf ganze Zahl (Falls zweiseitiger Test, mit rechnen.) aufrunden auf ganze Zahl PVK Statistik Carlos Mora

6 Der z-test für independent, identically distributed (i.i.d) und normalverteilte Messdaten bekannt (nicht geschätzt) 1. Modell: mit n i.i.d. Stichproben (Messungen) mit dem arithmetischen Mittel 3. Für die Teststatistik nehmen wir an, dass (-> Zentraler Berechne ( ) 3. Für die Teststatistik nehmen wir an, dass (-> Zentraler Berechne ( ) (zweiseitig) 3. Für die Teststatistik nehmen wir an, dass (-> Zentraler Berechne ( ) 4. Testentscheid (einfach): Falls, 4. Testentscheid (einfach): Falls, 4. Testentscheid (einfach): Falls, ] ] [ [ Wichtigste Werte von für z-test aus z-tabelle: ; ; ; PVK Statistik Carlos Mora

7 Der t-test für independent, identically distributed (i.i.d) und normalverteilte Messdaten nicht bekannt (nur geschätzt, d.h. ) 1. Modell: mit n unabhängigen Stichproben (Messungen) mit dem arithmetischen Mittel 3. Für die Teststatistik nehmen wir an, dass ( ) (-> Zentraler Berechne Falls, ] ] 3. Für die Teststatistik nehmen wir an, dass ( ) (-> Zentraler Berechne Falls, [ [ (zweiseitig) 3. Für die Teststatistik nehmen wir an, dass ( ) (-> Zentraler Berechne Falls, ] ] [ [ t-werte können in der t-tabelle nachgeschaut werden! WICHTIG: Bei einem t-test ist der Verwerfungsbereich und die Macht kleiner als bei einem entsprechenden z-test (Grund: Durch die Verwendung einer bloss geschätzten Standardabweichung erhöht sich die Unsicherheit!) PVK Statistik Carlos Mora

8 Statistische Tests für nicht-normalverteilte i.i.d. Messdaten Der Vorzeichentest 1. Modell: mit n unabhängigen Stichproben (Messungen) Annahme: 50% der Daten liegen jeweils über- und unterhalb des Medians! Bemerkung: Für unser Wissensniveau nehmen wir der Einfachheit halber immer an, dass die beliebige Verteilung symmetrisch ist (wie auch die Normalverteilung), das heisst: (zweiseitig) 3. Teststatistik: Treffer (Messungen grösser als ) werden gezählt V ist binomialverteilt!!! 3. Teststatistik: Treffer (Messungen grösser als ) werden gezählt V ist binomialverteilt!!! 3. Teststatistik: Treffer (Messungen grösser als ) werden gezählt V ist binomialverteilt!!! 4. Testresultat: a. P-Wert = berechnen falls P-Wert <, verwerfen 4. Testresultat: a. P-Wert = berechnen falls P-Wert <, verwerfen 4. Testresultat: a. P-Wert = berechnen falls P-Wert <, verwerfen b. Verwerfungsbereich: c u so wählen, dass b. Verwerfungsbereich: c o so wählen, dass WICHTIG: Auch beim Vorzeichentest ist eine Normalapproximation möglich! b. Verwerfungsbereich: c u und c o so wählen, dass Wilcoxon-Test Der Wilcoxon-Test ist in den allermeisten Fällen vorzuziehen: er hat in vielen Situationen oftmals wesentlich grössere Macht als der t- und als der Vorzeichen- Test, und selbst in den ungünstigsten Fällen ist er nie viel schlechter. (Skript, S. 70, M.Kalisch 2011) Bemerkung: Dieser Test muss nicht von Hand berechnet werden können. Es wird nur der P-Wert angegeben. PVK Statistik Carlos Mora

9 Zwei Stichproben t-test für gepaarte Stichproben (t-test der Paardifferenzen) 1. Zwei gepaarte Stichproben mit ( ) und mit ( ) Für den Test verwenden wir nur die Paardifferenz mit ( ) : Erwartungswert der Paardifferenzen geschätzte Varianz der Paardifferenzen arithmetischer Durchschnitt der Differenzen 3. Als Teststatistik nehmen wir ( ) (-> Zentraler Berechne Falls, ] ] 3. Als Teststatistik nehmen wir ( ) (-> Zentraler Berechne Falls, [ [ 3. Als Teststatistik nehmen wir ( ) (-> Zentraler Berechne Falls, ] ] [ [ t-werte können in der t-tabelle nachgeschaut werden! PVK Statistik Carlos Mora

10 Zwei-Stichproben t-test für ungepaarte Stichproben (gilt auch für unterschiedliche Varianzen!) 1. Zwei ungepaarte Stichproben mit ( ) und mit ( ) (Gruppengrösse muss nicht gleich sein, wie bei gepaarten Stichproben) und sind die Durchschnitte der Daten der jeweiligen Gruppen. ( ) 3. Berechne 3. Berechne 3. Berechne Falls, Falls, Falls, ] ] [ [ ] ] [ [ WICHTIG: Zweiseitiges 95% Vertrauensintervall für die Gruppendifferenz von ungepaarten Stichproben: ( ) PVK Statistik Carlos Mora

11 Fehler 1. Art Definition: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise verworfen, obwohl sie zutrifft. Da man dies unbedingt vermeiden will, wurde die Wahrscheinlichkeit dafür willkürlich bei höchstens 5% festgelegt (manchmal auch 1%). Die W keit für den Fehler 1. Art ist somit gleich gross wie das gewählte Signifikanzniveau. Fehler 2. Art Definition: Die Nullhypothese wird nicht verworfen, obwohl die Alternativhypothese zutrifft. Das heisst, eigentlich stimmt die Alternativhypothese, trotzdem zeigt uns das der Test nicht an, weil er z.b. zu ungenau ist (zu wenig Stichproben genommen etc.). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art wird immer für ein bestimmtes als tatsächlich wahr angenommenes (oder ) berechnet. Dabei verwendet man die entsprechenden Verteilungen bzw.. Je nach Alternativhypothese wird der Fehler 2. Art unterschiedlich bestimmt: Macht Definition: Die Nullhypotheses wird verworfen, wenn die Alternativhypothese zutrifft. Dies ist der erwünschte Fall. Auch die Macht wird immer für ein bestimmtes als tatsächlich wahr angenommenes (oder ) berechnet. Bei den exakten Wissenschaften ist es üblich, dass die W keit für die Macht eines Tests mindestens 80% beträgt. PVK Statistik Carlos Mora

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