Zusammenfassung: Differenzialrechnung 1

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1 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Zusammenfassung: Differenzialrechnung Inhaltsverzeichnis Aufgabenformulierungen Gleichungen Graphen, Trigonometrie und Geraden Ableitung Ableitungsregeln, höhere Ableitungen 3 Kettenregel 4 Produktregel 4 Tangenten und Normalen 5 Berühren und orthogonales Schneiden 6 Monotonie und Krümmung 7 Für Eperten Aufgabenformulierungen Grundsätzlich muss der Lösungsweg nachvollziehbar dokumentiert werden Ausnahme: Bei Nenne, Gib an und Beschreibe genügt die Angabe des Ergebnisses Gleichungen Siehe die Kurzzusammenfassung: Gleichungen Graphen, Trigonometrie und Geraden Siehe die Merkhilfe: Graphen, Trigonometrie und Geraden Ableitung Sekantensteigung und durchschnittliche Änderungsrate: Gegeben ist eine Funktion f, deren Graph durch die Punkte P f und P f verläuft Die Gerade durch die Punkte P und Q, die sog Sekante, hat die Steigung f f Ein solcher Term heißt ein Differenzenquotient Merke: Differenz der Funktionswerte geteilt durch die Differenz der -Werte f f P P Beschreibt die Funktion f die zeitliche Entwicklung eines Bestands, dann ist durchschnittliche Änderungsrate des Bestands im Zeitraum t t ; f t f t t t die zus_differenzialrechnung /

2 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Ableitung, Tangentensteigung und momentane Änderungsrate: Definition: Gegeben ist eine Funktion f und eine Stelle Erste Formulierung (-Methode): Eistiert der Grenzwert der Differenzenquotienten f f für, dann heißt die Funktion f an der Stelle differenzierbar, und der Grenzwert heißt die Ableitung f f f von f an der Stelle, also f f f lim Zweite Formulierung (h-methode): Eistiert der Grenzwert der Differenzenquotienten f h f h für h, dann heißt die Funktion f an der Stelle differenzierbar, und der Grenzwert heißt die Ableitung f von f an der Stelle, also f f h f lim h h f h f h Bedeutung der Ableitung am Graphen: Die Ableitung f ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle : f m f t m f Zum Beispiel bedeutet f 3: Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle hat die Steigung 3; f 4 : Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle 4 verläuft waagrecht Bedeutung der Ableitung als Änderungsrate: Beschreibt die Funktion f die zeitliche Entwicklung eines Bestands, dann ist die Ableitung f t die momentane Änderungsrate des Bestands zum Zeitpunkt t Zum Beispiel bedeutet t ist 3 f 3: Die (momentane) Änderungsrate des Bestands zum Zeitpunkt Zeichnerische Bestimmung der Ableitung: Zeichne nach Augenmaß die Tangente an den Graphen an einer Stelle Zeichne an die Tangente ein Steigungsdreieck und bestimme (näherungsweise) die Steigung der Tangente Diese Steigung ist ein Näherungswert für f zus_differenzialrechnung /

3 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Ableitungsfunktion: Definition: Eine Funktion mit der Definitionsmenge D heißt differenzierbar, wenn sie an allen Stellen D differenzierbar ist Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f mit der Definitionsmenge D Die Funktion, die jeder Stelle D die Ableitung f zuordnet, heißt die Ableitungsfunktion (kurz: die Ableitung) f von f Ableitungsregeln, höhere Ableitungen Potenzregel: Die Funktion f mit ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist f r f r r r r r Merke: Zum Beispiel hat die Wurzelfunktion f: die Ableitung f f Summenregel: Sind die Funktionen u und v differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit f u v differenzierbar, und ihre Ableitung ist f u v Merke: uv u v Faktorregel: Ist die Funktion u differenzierbar und ist c eine Zahl, dann ist auch die Funktion f mit f c u differenzierbar, und ihre Ableitung ist f c u Merke: cu c u Standardaufgabe: Gegeben ist eine Funktion f und eine Zahl m a) An welcher Stelle hat die Tangente an den Graphen von f die Steigung m? b) Die Funktion f beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Bestands Zu welchem Zeitpunkt hat der Bestand die (momentane) Änderungsrate m? Lösung: Leite die Funktion f ab a) Löse die Gleichung f m b) Löse die Gleichung f t m zus_differenzialrechnung 3/

4 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Abwandlung: Gegeben ist eine Funktion f a) An welcher Stelle hat der Graph von f eine waagrechte Tangente? b) An welcher Stelle ist die Tangente an den Graphen von f parallel zu der Geraden m c? c) An welcher Stelle ist die Tangente an den Graphen von f orthogonal zu der Geraden m c? Lösung: Leite die Funktion f ab a) Löse die Gleichung f b) Löse die Gleichung f m c) Löse die Gleichung f m Definition: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f Ist die Ableitung f differenzierbar, dann heißt ihre Ableitung die zweite Ableitung von f Schreibweise: f Ist f differenzierbar, dann heißt ihre Ableitung die dritte Ableitung von f Schreibweise: f Ist f differenzierbar, dann heißt ihre Ableitung die vierte Ableitung von f Schreibweise: usw f 4 Kettenregel Definition: Gegeben sind zwei Funktionen u und v Dann heißt die Funktion u v (lies: u nach v ): u v uv die Verkettung der Funktionen u und v Die Funktion u heißt die äußere und die Funktion v die innere Funktion Kettenregel: Sind die Funktionen u und v differenzierbar, dann ist auch die Funktion f u v: f uv differenzierbar, und ihre Ableitung ist f uv v Merke: uv uv v In Worten: Leite die äußere Funktion ab und lasse die innere Funktion stehen Multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion Produktregel Produktregel: Sind die Funktionen u und v differenzierbar, dann ist auch die Funktion f: f u v differenzierbar, und ihre Ableitung ist f u v u v Merke: uv uvu v In Worten: Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweiten Faktors zus_differenzialrechnung 4/

5 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Fehlerquelle an einem Beispiel: f 3 sin f 5 sin cos Die Ableitung der Tangensfunktion oder sin f tan sin cos ist cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos tan f cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin f cos cos cos cos cos Ergebnis: Die Tangensfunktion hat die Ableitung cos tan tan Rechenvorteile beim Ableiten von Brüchen: Falls möglich: Ziehe den Bruch auseinander und kürze 3 3 Beispiel: f 3 3 f 3 Tangenten und Normalen Die Tangente m an den Graphen einer Funktion f an einer Stelle P f Daraus folgt: den Punkt Die Tangente an den Graphen einer Funktion f an der Stelle P f hat die Gleichung bzw im Punkt f f hat die Steigung m f und verläuft durch t f P f Da die Tangente den Graphen im Punkt P berührt, nennt man den Punkt P den Berührpunkt zus_differenzialrechnung 5/

6 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Die Normale an den Graphen einer Funktion f an einer Stelle ist orthogonal zur Tangente Also hat die Normale die Steigung m f Daraus folgt: Die Normale an den Graphen einer Funktion f an der Stelle bzw im Punkt P f hat im Fall f die Gleichung f f f P f Zur Bestimmung der Tangente bzw Normalen geht man folgendermaßen vor: Leite die Funktion f ab Berechne den Wert der Ableitung an der Stelle, also f 3 Berechne den Funktionswert an der Stelle, also f 4 Setze alles in die Tangentengleichung f f bzw in die Normalengleichung f ein f Berühren und orthogonales Schneiden Merke: Die Graphen zweier Funktionen f und g berühren sich an der Stelle f g schneiden sich an der Stelle bzw im Punkt und f g bzw im Punkt und f g bzw f g P f, wenn gilt: P f orthogonal, wenn gilt: f g Standardaufgabe: Zeige, dass sich die Graphen zweier Funktionen f und g berühren bzw orthogonal schneiden, und bestimme den oder die Berührpunkt(e) bzw den oder die Schnittpunkt(e) Lösung: Leite die Funktionen f und g ab Falls die Stelle bekannt ist: f g Andernfalls: Prüfe, ob gilt: und f g bzw f g n Erste Möglichkeit: Löse die Gleichung f g Ist eine Lösung, dann prüfe, ob gilt: f g bzw f g Zweite Möglichkeit: Löse die Gleichung f g bzw f g eine Lösung, dann prüfe, ob gilt: f g Ist t zus_differenzialrechnung 6/

7 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Monotonie und Krümmung Beispiele für Intervalle: ; 3 3 ; ; ; 3 ; 3 3 ; ; ; 3 ; 3 3 ; ; ; 3 ; 3 3 ; ; ; Definition: Eine Funktion f heißt in einem Intervall streng monoton wachsend, wenn für alle Stellen und aus dem Intervall gilt: Ist, dann ist f f f f f oder f streng monoton fallend, wenn für alle Stellen und aus dem Intervall gilt: Ist, dann ist f f f f f oder f Achtung: In der Definition ist nicht von der Ableitung die Rede! Für Eperten: Gilt nur f f bzw f f monoton fallend, dann heißt f monoton wachsend bzw Monotoniesatz: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f Wenn für alle aus einem Intervall gilt f, f, dann ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend streng monoton fallend zus_differenzialrechnung 7/

8 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Für Eperten: Die Behauptung des Monotoniesatzes ( f ist streng monoton wachsend bzw fallend ) bleibt richtig, wenn die Voraussetzung ( die Ableitung hat einheitliches Vorzeichen ) nur für fast alle aus dem Intervall gilt, d h für alle bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen Zum 3 Beispiel hat die Funktion f mit f die Ableitung f 3, für die gilt: f für alle außer für Die Funktion ist aber für alle reellen Zahlen streng monoton wachsend Die Umkehrung des Monotoniesatzes ist nicht richtig Zum Beispiel ist die Funktion f 3 mit f streng monoton wachsend, aber es gilt f 3 3 Der Monotoniesatz gilt auch in folgender Form: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f Wenn für alle aus einem Intervall gilt f, f, dann ist f in diesem Intervall monoton wachsend monoton fallend Standardaufgabe: Zeige, dass eine Funktion streng monoton wachsend bzw streng monoton fallend ist Lösung: Zeige, dass für alle gilt: f bzw f Definition: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f Wenn die Ableitung f in einem Intervall streng monoton wachsend ist, streng monoton fallend ist, dann heißt der Graph von f in diesem Intervall linksgekrümmt rechtsgekrümmt Achtung: In der Definition ist nicht von der zweiten Ableitung die Rede! Wendet man den Monotoniesatz auf die Ableitung f an, dann erhält man den Krümmungssatz : Gegeben ist eine zweimal differenzierbare Funktion f Wenn für alle aus einem Intervall gilt f, f, dann ist nach dem Monotoniesatz die Ableitung f in diesem Intervall streng monoton wachsend streng monoton fallend Also ist der Graph von f in diesem Intervall linksgekrümmt rechtsgekrümmt Standardaufgabe: Zeige, dass ein Graph linksgekrümmt bzw rechtsgekrümmt ist Lösung: Zeige, dass für alle gilt: f bzw f zus_differenzialrechnung 8/

9 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Ergänzung: Gilt für eine zweimal differenzierbare Funktion f an einer Stelle f, f, dann gilt auch für alle aus einer Umgebung von : f f Also ist der Graph von f in einer Umgebung von linksgekrümmt rechtsgekrümmt Eigenschaften einer Funktion bzw eines Graphen in einem Intervall: Gegeben ist eine Funktion f Gilt für alle aus einem Intervall f bzw f, dann verläuft der Graph in diesem Intervall oberhalb der -Achse bzw unterhalb der -Achse; f bzw f, dann ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton wachsend bzw streng monoton fallend; f bzw f, dann ist der Graph in diesem Intervall linksgekrümmt bzw rechtsgekrümmt zus_differenzialrechnung 9/

10 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Für Eperten Bruchgleichungen: Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung Das sind alle reellen Zahlen, für die kein Nenner ist Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner bzw Hauptnenner 3 Löse die entstehende Gleichung 4 Prüfe, ob die Lösungen in der Definitionsmenge enthalten sind Wurzelgleichungen: Isoliere die Wurzel Quadriere beide Seiten der Gleichung 3 Löse die entstehende Gleichung 4 Mache die Probe in der Ausgangsgleichung Herleitung der Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung: P P m m m m m Bedingung für die Orthogonalität zweier Geraden: Gegeben sind zwei zueinander orthogonale Geraden g und g Die Gerade g hat die Steigung m ; gezeichnet ist ein Steigungsdreieck der Länge Dreht man diese Gerade um 9 um den Schnittpunkt mit der Geraden g, dann geht das Steigungsdreieck von g in ein Steigungsdreieck von g über Daraus ersieht man: Die Gerade g hat die Steigung m Also gilt m m m bzw mm m m g g Quotientenregel Sind die Funktionen u und v differenzierbar und ist v, dann ist auch die Funktion f: u f v differenzierbar, und ihre Ableitung ist f u v u v v zus_differenzialrechnung /

11 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 u uvuv Merke: v v In Worten: Ableitung des Zählers mal Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners geteilt durch Nenner im Quadrat Achtung: An der Stelle des Minuszeichens in der Quotientenregel steht in der Produktregel ein Pluszeichen! Beweis: Aus f uv uv v u f u v folgt v u u v v v v v v v u u v v u v u v v v v u v u v u v u v zus_differenzialrechnung /