Teil A hilfsmittelfreier Teil

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Carin Schneider
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1 Klassenarbeit GYM Klasse 10 Seite 1 Datum: Thema: Ableitungen Name: Zeit: Erreichte Punkte: Note: Hilfsmittel: keine Teil A hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1: (6 Punkte) Bestimme jeweils mithilfe geeigneter Ableitungsregeln die Ableitungsfunktion. a. f x = 1 2 x4 3x³ + 1 x² 2 4 b. g z = 3 z + 3 z c. x = a sin x 2 3x² Aufgabe 2: (4 Punkte) Du siehst hier jeweils den Graphen einer Funktion. Skizziere im gleichen Koordinatensystem den qualitativen Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion.

2 Klassenarbeit GYM Klasse 10 Seite 2 Datum: Thema: Ableitungen (Zu Aufgabe 2) Aufgabe 3: (3 Punkte) Gegeben ist die Funktion f mit f x = 1 2 x² 3x Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0. Aufgabe 4: (2 Punkte) Du siehst zwei Graphen, die zu einer Funktion und ihrer Ableitung gehören. Ordne zu und begründe deine Zuordnung mit einem eindeutigen Argument.

3 Klassenarbeit GYM Klasse 10 Seite 3 Datum: Thema: Ableitungen Teil B mit Hilfsmittel Aufgabe 5: (5 Punkte) Gegeben ist die Funktion f mit f x = 1 x² a. Gib die Gleichungen der Tangenten in den Nullstellen von f an. b. Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Normalen an den Graphen von f an der Stelle x = 2 exakt. 1 Aufgabe 6: (6 Punkte) Für das Volumen eines Zylinders mit Höhe und Radius r gilt V = π r². a. Nimm an, der Radius r bleibe konstant. Das Volumen V() hängt dann nur noch von der variablen Höhe ab. Bestimme V () und deute diese Ableitung anschaulich. b. Nimm nun an, die Höhe bleibe konstant. Das Volumen V(r) hängt dann vom Grundkreisradius r ab. Bestimme V (r) und deute auch diese Ableitung anschaulich. 1 Bildquelle: vom / 12:40 Uhr

4 Klassenarbeit GYM Klasse 10 Seite 4 Datum: Thema: Ableitungen Aufgabe 7: (7 Punkte) Gegeben sind die Funktionen f mit f x = 2x³ 3x² + 1 und g mit g x = 9 x 3. 2 Ausschnitte der Graphen der beiden Funktionen sind im Bild links zu sehen. a. Bestimme die Gleichung einer Tangente an den Graphen von f, die parallel zur Geraden g ist. b. Skizziere im Koordinatensystem den Graphen einer Funktion h, die f als Ableitungsfunktion besitzt. Gesamt: 33 Punkte Viel Glück!!!

Aufgabe 1: (6 Punkte) (je 2P) a.) f x = 1 2 x4 3x 3 + 1 4 x2 2 f x = 2x³ 9x² + 1 x 2 Lösungsvorschlag b.) g z = 3 z + 3 z g z = 3z 1 2 + 3z 1 g z = 3 2 z 1 2 3z 2 g z = 3 2 z 3 z² c.

5 Aufgabe 1: (6 Punkte) (je 2P) a.) f x = 1 2 x4 3x x2 2 f x = 2x³ 9x² + 1 x 2 Lösungsvorschlag b.) g z = 3 z + 3 z g z = 3z z 1 g z = 3 2 z 1 2 3z 2 g z = 3 2 z 3 z² c.) x = a sin x 2 3x 2 x = a sin x 2 3 x 2 x = a cos x x 3 x = a cos x x³ Aufgabe 2: (4 Punkte) Der grobe Verlauf der Funktion sollte stimmen, eine Skizze reicht. Die wichtigsten Punkte sollten gut erkennbar sein.

Lösungsvorschlag Aufgabe 4: (2 Punkte) Es gibt mehrere Möglichkeiten wie man Begründen kann: Die dicker gezeichnete Funktionsgraph ist vom Grad 4. Das erkennt man an den 4 Nullstellen.

6 Lösungsvorschlag Aufgabe 4: (2 Punkte) Es gibt mehrere Möglichkeiten wie man Begründen kann: Die dicker gezeichnete Funktionsgraph ist vom Grad 4. Das erkennt man an den 4 Nullstellen. Der dünner gezeichnete Funktionsgraph ist vom Grad 3, erkennbar durch 3 Nullstellen. Beim ableiten reduziert sich der Grad der Funktion um 1, daher ist der dicker gezeichnete Graph die Funktion und der dünner gezeichnete Graph die Ableitung. Die Extremstelle bei x = 1 wird in der Ableitung zur Nullstelle. Die Extremstelle bei x = 1 wird in der Ableitung zur Nullstelle. Die Extremstelle bei x = 3 wird in der Ableitung zur Nullstelle. Die Wendestelle bei x 0,2 wird in der Ableitung zum Hochpunkt. Die Wendestelle bei x 2,1 wird in der Ableitung zum Tiefpunkt. Einer der Gründe reicht aus. Aufgabe 5: (5 Punkte) a.) Lass dir zunächst die Funktion mit dem GTR zeichnen und bestimme die Nullstellen. Die Nullstellen sind x 1 = 3 und x 2 = 3. Mit der GTR-Funktion dy/dx kann man die Steigung an der jeweiligen Stelle bestimmen: bei x 1 = 3 ist m 1 = 2 und bei x 2 = 3 ist m 2 = 2. Da es sich um Nullstellen handelt ist der y-wert der beiden Punkte jeweils 0.

7 Lösungsvorschlag Punkt und Steigung in die allgemeine Geradengleichung y = m x + c einsetzen und c ausrechnen: 0 = c c 1 = 6 t 1 x = 2x = c c 2 = 6 t 2 x = 2x + 6 Bemerkung: t x steht für Tangente, n(x) für Normale. Falls der GTR eine Funktion zum Anlegen von Tangenten hat kommt man direkt auf das Ergebnis. (z.b. bei CASIO fx-9860gii) b.) f x = 1 x² f x = 2 x 3 f 2 = 1 3 2² + 3 = 5 3 P(2 5 3 ) f (2) = = 4 3 m t = 4 3 m n = 1 m t (Negativer Kehrwert für die Normalensteigung) m n = 3 4 m n = 3 und P(2 5 ) in die allgemeine Geradengleichung einsetzen: = c 5 3 = c c = 1 6 n x = 3 4 x Da in der Aufgabe nach einer exakten Lösung verlangt wird darf man keine gerundeten Ergebnisse verwenden. Aufgabe 6: (6 Punkte) a.) V = π r² Die Ableitung V ist nicht Abhängig von, da in der Ableitung nicht vorkommt. Die Änderungsrate beträgt π r², wobei r konstant ist. Dadurch ist

8 Lösungsvorschlag die Änderungsrate ebenfalls konstant. Das Volumen wächst proportional zur Höhe. b.) V r = 2 π r Dieses Mal ist die Änderungsrate abhängig von dem Radius r. Wenn die Höhe konstant bleibt ändert sich die Änderungsrate proportional zum Radius. Zwischen dem Volumen und dem Radius besteht ein quadratischer Zusammenhang. Verdoppelt man den Radius, so verdoppelt sich auch die Änderungsrate und das Volumen vervierfacht sich. Verdreifacht man den Radius, so verdreifacht sich auch die Änderungsrate und das Volumen wird verneunfacht. (Die Änderungsrate entspricht betragsmäßig übrigens dem Mantelflächeninhalt) Aufgabe 7: (7 Punkte) a.) Die Gerade g hat die Steigung m = 9. Um die Berührstellen zu bestimmen 2 setzt man f x = 4,5. f x = 6x² 6x 6x² 6x = 4,5 4,5 6x² 6x 4,5 = 0 : 6 x² x 0,75 = 0 x 1/2 = 1 2 ± ( 1 2 )2 + 0,75 x 1/2 = 1 2 ± 1 x 1 = = 1,5 x 2 = = 0,5 Da in der Aufgabe nach einer Lösung gefragt ist kann man sich auf eine Berührstelle beschränken. f 1,5 = 1 f( 0,5) = 0 Mit P(1,5 1) und m = 4,5 ergibt sich t x = 4,5x 5,75 Mit Q( 0,5 0) und m = 4,5 ergibt sich t x = 4,5x + 2,25 (4P)

9 Lösungsvorschlag b.) Skizze von h in grün: Die Nullstelle wird bei h zum Tiefpunkt. Die Extremstelle wird zur Wendestelle mit positiver Steigung. Der Tiefpunkt wird zum Sattelpunkt. Der grobe Verlauf sowie die markanten Punkte sollten übereinstimmen. (3P)

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