9. Differentialrechnung 133. t t. ist besser bekannt unter dem Namen Geschwindigkeit, abgekürzt mit v. Für die Einheit gilt bekanntlich km. 5.

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1 9. Differentialrecnung 33 9 Von derr Änderrungsrratte zurr Diifffferrenttiiallrrecnung 9.. Gerradensttei igung als Änderrungsrratte Beispiel 9. Das nebensteende Zeit- Weg-Diagramm zeigt eine gleicförmige Bewegung. Die Rate mit der sic der Weg pro Zeit ändert, also s t ist besser bekannt unter dem Namen Gescwindigkeit, abgekürzt mit v. Für die Eineit gilt bekanntlic km. s /km t / Das Zeit Gescwindigkeits Gesetz ist ier eine konstante Funktion. AUUFFGGAABBEE 99.. Berecnen Sie die Gescwindigkeiten in den 5 Bewegungspasen mit s s sl v = = t t t s in m Zeit-Weg-Diagramm. Pase 3. Pase 5. Pase. Pase. Pase t in s Zeicnen Sie im Zeit-Gescwindigkeits-Diagramm die Gescwindigkeiten der 5 Bewegungspasen ein. v /m/s Zeit-Gescwindigkeit-Diagramm t in s Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 33 ( )

2 3 Maurer: Mate mact Spaß Momeenttaanee Ändeerrungssrraatteen Beispiel 9. Änderung des Rindviebestands Die nebensteende Abbildung zeigt die Werte einer Größe y in Abängigkeit von einer Größe t. Nemen wir, an die Kurve zeigt den Bestand einer Rindererde: in Jaren, 0. Jar = 998 y in 000 Tiere Tangente y=70 t= y=900 t=0, Von 999 bis 000 eröt sic der Bestand um 70 Tiere, also y = 70 Tiere, t = Jar. Die järlice Änderungsrate ergibt sic im Zeitraum 999 bis 000 damit zu y Tiere = 70 t Jar Von 000 bis Mitte 00 verringert sic der Bestand um 900 Tiere, also y = -900 Tiere, t = 0,5 Jar. Die järlice Änderungsrate bescreibt im Zeitraum 000 bis Mitte 00 eine Abname des Bestands y 900Tiere Tiere = = 800. t 0,5Jar Jar Die järlice Änderungsrate ergibt sic im Zeitraum 999 bis 000 damit zu y Tiere = 70. t Jar Von 000 bis Mitte 00 verringert sic der Bestand um 900 Tiere, also y = -900 Tiere, t = 0,5 Jar. Die järlice Änderungsrate bescreibt im Zeitraum 000 bis Mitte 00 eine Abname des Bestands y 900Tiere Tiere = = 800. t 0,5Jar Jar Die Tangente an die Kurve im Jare 000 (siee Abbildung) kann man als momentane järlice Änderungsrate auffassen. Sie ist gerade gleic der Ableitung: y 500 Tiere Tiere y = 000. t 0 t 0,5 Jar Jar Das kann man so versteen: Würde sic die momentane Tendenz (linear) fortsetzen, dann würde sic der Bestand in einem Jar um 000 Tiere verringern. Änderungsrate Die Änderungsrate einer Größe y ist der Quotient aus der Änderung y und der zugeörigen Änderung y. Die "momentane" Änderungsrate ist gleic der Tangentensteigung y y 0

3 9. Differentialrecnung 35 AUUFFGGAABBEE 99..:: DI IIVVEERRSSEE ÄNNDDEERRUUNNGGSSRR AATTEENN Füllen Sie die beiden letzten Spalten aus. Bedeutung der Funktion Bedeutung und Eineit des Arguments (-Wert) Bedeutung und Eineit der Funktionswerte (y-wert) Bedeutung der Ableitung Eineit der Änderungsrate Arbeitslosenzal Höe einer Pflanze Inalt eines Wasserreservoirs Zeit in Jaren oder Monaten Zeit in Jaren oder Monaten Zeit in Tagen oder Monaten Anzal von Arbeitslosen Höe der Pflanze in Meter Inalt des Reservoirs in m 3 Entwicklung der Anzal der Lebewesen einer Population Zeit in Jaren oder Monaten Anzal der Lebewesen einer Population Entwicklung des Medikamentenpegels im Körper bei Tropfinfusion Zeit in Minuten Medikamentenpegels im Körper bei Tropfinfusion Radioaktiver Zerfalls Zeit in Jaren oder Monaten Masse Weg-Zeit-Gesetz Zeit in Sekunden Zurückgelegter Weg in Meter Kapitalentwicklung Zeit in Jaren Kapital in DM (Euro) Aktienkurse (Cart) Zeit in Jaren Wert des Pakets in Euro Betriebsergebnis Zeit in Jaren Kapital in DM (Euro) Bemerkungen: Die unabängige Variable, das Argument, ist äufig die Zeit. Bei Klausur- und Abituraufgaben können keine Fackenntnisse aus dem Anwendungsgebiet vorausgesetzt werden, außerdem müssen die matematiscen Mittel, die erangezogen werden, sic nict am Gegenstand, sondern am Lerplan orientieren. Das fürt zuweilen dazu, dass "Anwendungsaufgaben" zustande kommen, bei denen der gesunde Menscenverstand sic früzeitig verabscieden muss. Vielleict kann man sic dann wenigsten noc an der Komik solcer Aufgaben erfreuen. Es ist jedenfalls ilfreic, sic von Anfang an darauf einzustellen. Stelle mic gerade auf parodistisce Anwendungen ein. Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 35 ( )

4 36 Maurer: Mate mact Spaß WEITTERE AUFFGABEN AUUFFGGAABBEE Die folgende Kurve ist eine Universalgrafik, sie stellt die versciedensten Entwicklungen dar: Anzal der an Maul-und-Klauen- Seuce erkrankten Tiere (a), die Bevölkerungsentwicklung von XY- Land (b), die Arbeitslosenzalen (c, f), das Bruttosozialprodukt (d, e) und den Kurs der Aktie VorwärtsindenAbgrund. (g, ). Geben Sie jeweils die Position auf der Kurve an, auf die sic die jeweilige Aussage beziet. Bei mancen Aussagen sind merere Positionen denkbar. a) Die Anzal der MKS- Neufälle in England ist rückläufig. (0..0, BR 5) b) Die Geburtenrate ist in XY rückläufig. () () (6) (8) (0) () () (3) (5) (7) (9) () ZZuuggaabbee: : c) Die Arbeitslosenzal at iren Höepunkt überscritten. d) Das Wirtscaftswacstum flact ab. e) Der Aufscwung gewinnt an Fart. f) Die Arbeitslosigkeit at iren Wendepunkt erreict. g) Die Aktie at sic stark verbilligt. ) Die Aktie at iren Höcstwert erreict.

5 9. Differentialrecnung Ableittungsffunktti ion oderr Wie änderrtt sic die Änderrungsrratte? Beispiel 9. 3 An einigen Stellen sind ier Tangenten (Näerungsgeraden) an die Kurve gezeicnet und die Steigung ungefär abgelesen: m = 0 m m,5 m -,5 m = 0 In diesem Koordinatensystem sind jetzt für die jeweiligen Berürstellen (-Werte) die Steigungen auf der y-acse aufgetragen. Das ist ein Scaubild der Abbl leei ituunnggss- - fuunnkkt f tioonn. Steigung m Deef finni itioonn Man nennt die Tangentensteigung der Kurve kurz Abbl leei ituunngg. Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 37 ( )

6 38 Maurer: Mate mact Spaß AUUFFGGAABBEE 99.. Beantworten Sie zu den beiden obigen Abbildungen folgende Fragen: a) Wenn die Kurve (oberes Scaubild) ansteigt, ist die Ableitung (unteres Scaubild). b) Wenn die Kurve fällt, ist die Ableitung. c) Wenn die Kurve einen Punkt mit waagrecter Tangente at, dann at die Ableitung.... d) Wenn die Kurve besonders steil wäcst, dann at die Ableitung... e) Wenn die Ableitungsfunktion eine Nullstelle at, dann at die Kurve (oberes Scaubild).. AUUFFGGAABBEE Die obere Abbildung zeigt jeweils ein Scaubild K f einer Funktion f. In das untere Koordinatensystem soll die Ableitung von f uunnggeef fäärr eingezeicnet werden (siee Bsp. 9.3, wobei die Kurve dort natürlic nict ungefär gezeicnet ist.).

7 9. Differentialrecnung 39 AUUFFGGAABBEE Die obere Abbildung zeigt jeweils ein Scaubild K f einer Funktion f. In das untere Koordinatensystem soll die Ableitung von f eingezeicnet werden. Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 39 ( )

8 0 Maurer: Mate mact Spaß 9..3 Was istt i eigenttl lic eine Tangentte? Kreistangente Nacdem soviel von Tangente die Rede war, muss man sic vielleict doc mal fragen, was das eigentlic genau ist. B Bei dem Sticwort Tangente werden Sie sicerlic zuerst an eine Kreistangente denken, vielleict auc an eine Parabeltangente. Hier fällt auf - die Tangente at nur einen Punkt gemeinsam mit der Kurve - sie liegt auf einer Seite der Kurve. Mit diesem Verständnis von Tangente tun wir uns bei den näcsten Beispielen scwer: Beispiele von Tangenten Tangente als anscmiegsamste Gerade B Die Gerade und der Kreis sind die einfacsten Kurven. Sie lassen sic am einfacsten zeicnen, nämlic mit Lineal und Zirkel, den Großeltern aller matematiscen Instrumente. Daer kamen die Matematiker scon frü auf die Idee, den Kurvenverlauf durc Geraden und Kreise anzunäern. Die Tangente ist die Gerade, die sic in der Umgebung des Berürpunktes B - auf beiden Seiten - am besten an die Kurve anscmiegt. Die Tangente mact also nur eine lokale Aussage über die Rictung der Kurve beim Berürpunkt. Ob sic Kurve und Tangente später nocmals treffen (Beispiel 9.) oder - wie bei Beispiel die Tangente die Kurve zigmal scneidet, ist belanglos. Uninteressant ist ebenfalls, ob die Tangente sic auf versciedenen Seiten der Kurve befindet wie im Beispiel 9.5. Diese Tangente scmiegt sic sogar besonders gut an die Kurve an. Am Rande bemerkt: Das Gegenstück zur Tangente ist der so genannte Krümmungskreis. Er zeigt die Krümmung der Kurve an einer bestimmten Stelle (siee Abbildung). Zur Krümmung später ein bisscen mer, aber jetzt get es nur um die Tangente und ire Steigung.

9 9. Differentialrecnung 9.. Berrecnung derr Tangenttensttei igung 9... Ideeee I und Zaal leenbeei isspi ieel l Idee Die Idee zur Berecnung der Tangentensteigung: Man kann die Tangente an die Kurve K in einem Punkt B annäern durc eine Sekante, die durc B und einen benacbarten Kurvenpunkt Q get. Die Näerung ist um so besser, je näer Q bei B liegt. Zur Erinnerung: Punkt-Steigungs- Form Gegeben ist eine Gerade durc einen Punkt P( y ) und die Steigung m. Dann erält man eine Gleicung der Geraden durc Punktprobe oder mit der Punkt-Steigungs-Form (PSF) y - y = m ( - ) oder y = m ( - ) + y Beispiel 9. 7 Die Gerade g get durc den Punkt P( ) und at die Steigung m = 3. Bestimme eine Gleicung von g. Lösung: 3 3 PSF von g: y = ( - ) + = g : y = + Zwei Punkte-Form y P P y Gegeben ist eine Gerade durc zwei Punkte P ( y ) und P ( y ). Dann erält man ire Steigung aus dem Steigungsdreieck: y y y m = = Die Geradengleicung ergibt sic wieder aus der Punkt-Steigungs- Form. Beispiel 9. 8 Die Gerade g get durc die Punkte P( ) und Q(3 5). Bestimme eine Gleicung von g. Lösung: yq yp 5 3 Steigung: m = = = Q P Weiter mit PSF von g: y = ( - ) + = g : y = + Maurer: Eponentialfunktionen / Seite ( )

10 Maurer: Mate mact Spaß Q y = f(+)-f() Tangente B = Sekanten TTaannggeennt teenn- - Prroobbl leem Iddeeee: I : Die Grenzlage der Sekante für Q B ist die Tangente. Die "dünnen" Geraden sind Sekanten, die "dicke" Gerade ist die Tangente im Punkt B( ) Bestimme die Steigung der Tangente im Punkt B( ) an die Kurve mit f() =. Lösungsidee: Wir betracten zunäcst eine Sekante (BQ). Sie get also durc B( ) und durc einen zweiten Kurvenpunkt Q( Q y Q ). Q kann rects oder links von B liegen! Wir lassen nun den Punkt Q auf den Berürpunkt B zuwandern, dann dret sic die Sekante auf die Tangente zu. Die Grenzlage der Sekante für Q B ist die Tangente. Q liegt neben B, sein -Wert ist ein bisscen größer oder kleiner als der von B: Q = +, wobei größer oder kleiner als 0. Da Q auf der Kurve liegt, gilt y Q = f( Q ) = f(+) = ( + ). y ( ) Q yb yq + Sekantensteigung m BQ = = = y + ( + + ) = + + = kurz: m BQ = + Q B Q + = = +

11 9. Differentialrecnung 3 Q strebt von links gegen B Q strebt von rects gegen B m BQ m BQ - + =0,5 + =,5 - -0, -0,0 + =0,75 0, + =0,975 0, 0 + =0,9975 0, 0,0 + =,5 0, + =,05 0, 0 + =,005 0 m = 0 m = Für 0 (von links und von rects) gilt Sekantensteigung. Das eißt: Die Steigung der Tangente in B( ) ist m t =. Für den Grenzübergang ätten wir kürzer screiben können: f( + ) f() m t =... + = 0 0 Was wir eben für den Punkt B bei der Funktion f gemact aben, wollen wir nun auf beliebige Punkte auf beliebigen Funktionen übertragen. Dabei müssen wir berücksictigen, dass Grenzwerte nict immer eistieren. Definition y B Q y = y B =f( 0 ) Sekante y Q =f( 0 +) Eine Funktion f sei in der Umgebung von 0 definiert. f eißt differenzierbar bzw. ableitbar an der Stelle 0, wenn der Grenzwert f(0 + ) f(0 ) lim 0 eistiert. Den Grenzwert nennt man Ableitung von f an der Stelle 0 und kürzt in ab mit f ( 0 ). Erläuterung Berürpunkt B( 0 f( 0 )) und Sekantenpunkt Q( 0 + f( 0 +)) y = y Q - y B = f( 0 +) - f( 0 ) Beezzeei iccnnuunnggeenn f(0 + ) f(0 ) Den Ausdruck = Diffeerreennzzeennqquuoot tieennt t. y nennt man auc Geometrisc bedeutet er die Seekkaannt teennsst teei igguunngg. Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 3 ( )

12 Maurer: Mate mact Spaß Von Leibniz stammt die Abkürzung: dy f( = 0 + ) f(0 ) lim. d und dy eißen Differenziale. d 0 So erklärt sic, f(0 + ) f(0 ) dass man den Grenzwert lim Diffeerreennzzi iaal lqquuoot tieennt t 0 nennt und das ganze Gebiet Diffeerreennzzi iaal lrreeccuunngg. Geometrisc bedeutet der Diffeerreennzzi iaal lqquuoot tieennt t ddi iee TTaannggeennt teennsst teei igguunngg. Beispiel 9. Bestimme die Steigung der Tangente im Punkt B( f() ) an die Kurve mit f() =. Lösung: Jetzt bestimmen wir also die Tangentensteigung für einen beliebigen Kurvenpunkt B, den Inde 0 werden wir bei der Recnung weglassen. Wir wissen ja, dass ein bestimmter aber beliebig wälbarer Punkt gemeint ist. f( + ) f() f () 0 ( + ) = 0 = + + lim = 0 Die Steigung der Tangente in einem Kurvenpunkt B( f() ) läßt sic also berecnen durc die Formel m t = f () =. Gelesen: "f Stric von gleic..."

13 9. Differentialrecnung Ableittungsffunktti ion Auf die bescriebene Weise kann an jeder Stelle die Tangentensteigung f () bestimmt werden. Auf diese Weise erält man eine neue Funktion: Definition Die Funktion f ordnet jedem Wert aus ID f einen Wert f () zu: f : f (), ID f. f eißt Ableitungsfunktion. Der Definitionsbereic D f von f ist die Menge aller Stellen, an denen die Kurve eine Tangentensteigung besitzt. Beispiel 9. f() = f () = 9..6 Ableittungen einigerr Grrundffunktti ionen Beispiel 9.3 Konstante Funktion f() = c f( + lim 0 ) - f() c c =0 0 f () = c Beispiel 9. Quadratfunktion f() = f( + ) - f() ( + ) - lim ( + 0 ) = f () = Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 5 ( )

14 6 Maurer: Mate mact Spaß Beispiel 9.5 Kubisce Funktion f() = 3 3 f( + ) - f() ( + ) - lim lim = 3 = ( ) 0 3 f () = 3 Beispiel 9.6 Potenzfunktion f() = n, n \{0} n n f( + ) - f() ( + ) - lim 0 0 n n- n- n + n + an n- n- n- lim n a = n n- + n = ( ) 0 n f () = n n- Beispiel 9.7 Potenzfunktion Bemerkung: Potenzregel - f( + ) - f() lim + f() =, 0 0 f () = - ( + ) ( + ) - ( + ) 0 0 ( + ) = 0 ( + ) 0 ( + ) Nac der Regel aus Beispiel 9. ätte man dasselbe Ergebnis eralten: f() = = und nac der Regel: f ()= = Das ist natürlic kein Beweis, aber Grund genug, um diese Regel allgemein zu formulieren: Die obige Regel gilt auc für negative ganze Zalen ( - ). Sei f() = n,, n \{0}, dann gilt für die Ableitungsfunktion f () = n n- Beispiel 9.8 Quadratwurzelfunktion f() = 0 f( + ) - f() lim ( + - )( + + ) 0 ( + + ) + = 0 ( + + ) lim 0 ( + + ) = ( ) f () = > 0 (!)

15 9. Differentialrecnung 7 Quadratwurzelfunktion (Fortsetzung) f() = 0 Für = 0 eistiert die Ableitung nict, es gibt keine Tangentensteigung. K f at im Ursprung eine senkrecte Tangente, eine senkrecte Gerade at keine Steigung. Oder mit der Potenzregel f() = = und nac der Regel: f ()= = = f () = > 0 (!) Beispiel 9.9 f( + ) - f() + Betragsfunktion f() = lim ( ) < 0 Für = 0 gilt: 0 f (0) 0 0 = < 0 < 0 Für = 0 nict differenzierbar. Die Kurve at dort keine Tangente. Der Differenzialquotient von rects und der von links sind verscieden. f () = > 0 < Vierr einfface Ableittungsrregeln Konssttaanttee Funkktti ion f() = c f () = 0 Potteenzzrreegeel l Summeenrreegeel l Konssttaantteerr Faakkttorr Sei f() = n, ID je nac Hoczal n, n \{0}, dann gilt für die Ableitungsfunktion f () = n n- f() = g () + g (). Sind g und g ableitbar, dann ist auc f ableitbar und es gilt: f () = g () + g () f() = a g(), a. Ist g ableitbar, dann ist auc f ableitbar und es gilt: f () = a g () AUFFGABEN AUUFFGGAABBEE : : Bestimme durc ausfürlicen Grenzübergang die Ableitungen von a) f() =, b) f() =, c) f() = 3 3 Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 7 ( )

16 8 Maurer: Mate mact Spaß AUUFFGGAABBEE :: Bestimme mit den Regeln die Ableitung der Funktionen f a) f() = ; b) f() = ( ) ( 3) (Hinweis: zuerst ausmultiplizieren) c) f() = ( + ) 3 (Hinweis: zuerst ausmultiplizieren) 3 3 d) f() = + + ; 3 3 e) f() = (Hinweis: zuerst als Summe von Teilbrücen screiben) AUUFFGGAABBEE :: Bestimme mit den Regeln die Ableitung der Funktionen f 3 3 a) f() = + 3 b) f() = t + t t c) f() = AUUFFGGAABBEE :: Gegeben ist die Funktion f durc für f() = für < Untersuce f an der Stelle = - auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. AUUFFGGAABBEE 99..:: Gegeben ist die Funktion f durc a + für f a () = 3 für < Bestimme a so, dass die Funktion f stetig ist. Ist f a dann auc differenzierbar? 9..8 Ableittung derr ttrri igonomettrri iscen Funktti ionen AUUFFGGAABBEE 99..:: Lies im Scaubild an einigen markanten Punkten die Steigung der Tangente an die Sinuskurve ab und trage die Werte in das folgende Koordinatensystem ein. Und zeicne damit die Ableitungsfunktion. Welce Gleicung könnte sie aben?

17 9. Differentialrecnung 9 AUUFFGGAABBEE :: Und nun dasselbe für die Cosinuskurve: Ableei ittung vvon yy = ssi in und yy = ccoss f() = sin at die Ableitung f () = cos f() = cos at die Ableitung f () = - sin 9..9 Errstte Anwendung derr Difffferrenzzi ialrrecung.. Tangentten-- und Norrmalenglei icung Die erste Anwendung der Differenzialrecnung ist - angesicts der Herleitung keine Überrascung - die Tangentengleicung. Im Punkt B( 0 f( 0 )) einer Kurve K f solle eine Tangente an die Kurve gelegt werden. Normale Wir aben also mit B scon einen Punkt der Tangente, felt nur noc die Steigung und die wird von der. Ableitung geliefert: m = f ( 0 ). Tangente Definition B Und gleic noc eine Gerade: Die Punkt-Steigungs-Form liefert dann die Gleicung der Tangente an K f in B( 0 f( 0 )): y = f ( 0 ) ( - 0 ) + f( 0 ) Die Gerade n, die im Berürpunkt senkrect auf der Tangente stet eißt Noorrmaal lee. Maurer: Eponentialfunktionen / Seite 9 ( )

18 50 Maurer: Mate mact Spaß Beispiel 9.0 Gegeben ist die Funktion f mit f() = Ir Scaubild sei K. a) Berecnen Sie die Gleicung der Tangenten t und t an K an den Stellen = 0 und =. b) Berecnen Sie bei = 0 und = die Gleicung der Normalen. Lösung: Ableitung von f: f () = 3 - Stelle = 0, y-wert: f(0) = Berürpunkt B (0 ). Steigung: m = f ( ) = 0 Tangentengleicung: t : y = Stelle =, y-wert: f() = Berürpunkt B ( ). Steigung: m = f ( ) = Tangentengleicung: t : y = ( - ) + t : y = - 7 b) Normale in B (0 ). da die Tangente parallel zur -Acse, ist die Normale parallel zur y-acse: Normalengleicung: n : = 0 Normale in B ( ). Steigung m n = = f ( ) Normalengleicung: t : y = t : y = 3 + ( - ) + = + + AUUFFGGAABBEE 99..: : Gegeben ist die Funktion f mit f() = Ir Scaubild sei K. a) In welcen Punkten at die Kurve K waagrecte Tangenten? [B (0 ), B ( -)] b) An welcen Stellen at die Kurve K die Steigung m = 9? [ = 3, = - ] c) Berecnen Sie die Gleicung der Tangenten t und t an K an den Stellen = 0 und = -. [B (0 ), t : y =, B ( - -), t : y = 9 + 7] 5 d) Wo scneiden sic die beiden Tangenten? [S( )] 9 AUUFFGGAABBEE 99..: : Gegeben ist die Funktionenscar f t mit f t () = (t) -, t. Wie muss man t wälen, damit das Scaubild K t von f t an der Stelle = eine waagrecte Tangente at? [t, = ± ] AUUFFGGAABBEE : : Legen Sie von O( 0 0 ) aus die Tangenten an die Kurve K mit f() = - +. Berecnen Sie Tangentengleicung und Berürpunkte.