Anleitung zu Blatt 1, Analysis II

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani Anleitung zu Blatt, Analysis II SoSe 0 Banachscher Fixpunktsatz Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Banachscher Fixpunktsatz, Fixpunktverfahren Definition : Sei f : [a,b] R. Jede Lösung ˆx der Fixpunktgleichung x = f(x) heißt Fixpunkt von f. Nullstellenproblem Fixpunktaufgabe g(x) = 0 f(x) := g(x)+x = x Definition : f : [a,b] R heißt kontrahierend mit Kontraktionszahl L <, wenn f(x) f(y) L x y x,y [a,b] Falls f eine C Funktion ist liefert der MWS: f(x) f(y) = f (α) x y mit einem α ]x,y[ max{ f (x) : x [a,b]} x y x,y [a,b] Bei einer auf (a,b) stetig differenzierbaren Funktion kann also L := max{ f (x) : x [a,b]} gewählt werden falls max{ f (x) : x [a,b]} = L < gilt. f : D R heißt selbstabbildend, wenn f(d) D.

3 3 Banachscher Fixpunktsatz in R f : D R, D R D abgeschlossen, f selbstabbildung auf D, f kontrahierend auf D mit Kontraktionszahl L =!x D mit f(x ) = x Iteration x n+ := f(x n ) konvergiert ausgehend von jedem Startwert x 0 D gegen eindeutigen Fixpunkt x. Es gelten die Fehlerabschätzungen: x n x Ln L x x 0 x n x L L x n x n a priori Abschätzung a posteriori Abschätzung BEISPIELE: D = [0,], f(x) = x 3. f ist selbstabbildend auf D aber nicht kontrahierend, denn z.b.: f() f( ) = 7 8 > g(x) := x3 6 ist selbstabbildend und kontrahierend auf D, denn max{ g (x) : x [0,]} = <. Typischer Verlauf von Fixpunktiterationen. Rechts: divergent, links: konvergent Fixpunktverfahren x=cos(x), x 0 =0.5, x*= g(x) =arccos(x),x 0 =

4 4 Überprüfung der Selbstabbildungseigenschaft: f : [a, b] R diffb. Bestimme f (x)..fall) f (x) 0 x [a,b] f ist monoton. Größter und kleinster Funktionswert werden am Rand angenommen. Es genügt zu zeigen: f(a),f(b) [a,b]..fall) f (x) = 0 für ein(ige) x [a,b] f hat möglicherweise Extrema in [a,b]. Bestimme diese Extrema x,, x k Es genügt zu zeigen f(x ),, f(x k ), f(a), f(b) [a,b]. Überprüfung der Kontraktion: f : [a, b] [a, b] stetig diffb. L := max{ f (x) : x [a,b]} <?? Beispiel: (modifizierte Klausuraufgabe a, Struckmeier/Kiani, 06/07) Gesucht sei eine Nullstelle x der Funktion im Intervall I = [,]. f(x) = 6 x3 x 4 x+ 3 4 a) Schreiben Sie das Problem in eine Fixpunktaufgabe g(x) = x um. Überprüfen Sie die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes auf dem Intervall I = [, ]. b) Führen Sie ausgehend von x 0 = einen Schritt des Fixpunktverfahrens x n+ = g(x n ) durch und zeigen Sie, dass der absolute Fehler nach einer Iteration durch 0.5 beschränkt ist. Das heißt: x x 0.5 c) Geben Sie eine obere Schranke für den relativen Fehler x x an. Zusatz: Nach wie vielen Schritten gilt auf jeden Fall x n x < 0.0. Lösung: Jede Nullstelle x von f ist ein Fixpunkt x der Funktion x g(x) = 6 x3 x x+ 3 4 Wir überprüfen daher die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes für g auf I. a) g (x) = x x = ( x x + 3 ) = (x ) + } {{} 4 ( ) + 4 =

5 5 Also g (x) [ 4, 3 ]. Die Funktion g ist auf dem Intervall I kontrahierend mit der Kontaktionszahl L = 3/4. Darüberhinaus folgt aus der obigen Rechnung, dass g monoton 4 steigend ist. g() = [,] g() = = g : [,] [,]. [,] g monoton b) x 0 = = x = g(x 0 ) = 7/6 = x x L L x x 0 =. c) Relativer Fehler = absoluter Fehler Betrag der exkten Lösung absoluter Fehler untere Schranke für den Betrag der exkten Lösung Im konkreten Fall also wegen x : x x x x x =. Zusatz: Es gilt die a priori Abschätzung x n x Ln L x x 0 = (3 4 )n 3 ( ) 6 4 Wir sorgen dafür, dass der Ausdruck rechts kleiner als 0.0 wird. ( 3 4 )n 4 6 < 0.0 (3 4 )n < 00 3 n ln(0.75) < ln(3/00) n > ln(3/00) ln(0.75) = = 4.. Spätestens nach 5 Schritten ist die gewünschte Genauigkeit erreicht. Beispiel ) a) Zeigen Sie, dass die Funktion g(x) = xsin(x)+cos(x) π 4 sin(x) genau einen Fixpunkt x im Intervall I = [0, π ] besitzt. Überprüfen Sie dazu die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes. b) Berechnen Sie x mit einem gesicherten relativen Fehler von 0 3. Lösung: a) Wir überprüfen zunächst die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes (BFS). Selbstabbildung: Zunächst ist g(0) = I, g( π ) = π 4 I..

6 6 Das ist zwar notwendig, reicht aber nur, wenn die Funktion monoton ist. Wir prüfen also das Monotonie Verhalten von g. g (x) = (x π 4 )cos(x). Eine Nullstelle der Ableitung liegt also innerhalb des Intervalls I = [0, π ]. Hier kann ein Minimum oder ein Maximum der Funktion vorliegen. Man rechnet nach g( π 4 ) = I Wegen < π und < liegt hier ein Minimum vor. Weitere Minima oder Maxima 4 können im Intervall I nicht existieren. Nach den obigen Untersuchungen folgt aus g(0), g( π), 4 g(π ) I, dass g das Intervall I in sich abbildet. [3 Punkte] b) Kontraktion: Auf unserem Intervall gilt sicher g (x) = (x π x 4 )cos(x) π π 4 4 < 0.8 =: L g ist also kontrahierend auf I mit der Kontraktionszahl L := 0.8. Die Voraussetzungen des BFS sind also erfüllt. Es gibt daher genau einen Fixpunkt in I. c) Der Startwert x 0 = π 4 liefert x = g(x 0 ) = /. Damit erhalten wir x 0 x < = 0. Weiter führt man die Iteration x n+ = g(x n ) z.b. mit Matlab oder einem Taschenrechner aus: function fixpkt axis([0.6 0.]) hold on format long t=linspace(0,pi/,0); plot(t,t); y=(t-pi/4).*sin(t)+cos(t); plot(t,y, r ) x()=pi/4 for i=::5 x(i)=(x(i-)-pi/4).*sin(x(i-))+cos(x(i-)) end; Ergebnis: x = , , , ,

7 7. Fixpunkt von f(x)=xsin(x)+cos(x) (pi/4)sin(x) Eine a posteriori Abschätzung ergibt: x 4 x L L x 4 x 3. AlsuntereSchrankefür x kannalso x 4 L L x 4 x 3 eingesetzt werden. Inunserem Fall erhält man wegen L = 0.8 als untere Schranke us = = Für den relativen Fehler gilt dann x 4 x x L L x 4 x = x us < Als Ersatz für die am Ostermontag ausfallenden Gruppen findet eine Hörsaalübung im Audimax II, am.4 von 4:5 Uhr bis 5:45 Uhr statt