ÜBUNG 4: ENTWURFSMETHODEN

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1 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung ÜBUNG : ENTWURFSMETHODEN 5. AUFGABE: TIEFPASS-BANDPASS-TRANSFORMATION Entwerfen Sie ein nichtrekursives digitales Filter mit Bandpasscharakteristik! Der Durchlassbereich des Filters soll zwischen und liegen. Berechnen Sie die h n für n 5 und geben Sie die entsprechende Systemfunktion H(z) und die lineare Differenzengleichung an! Nutzen Sie dazu die gegebenen Koeffizienten für Tiefpässe mit den Grenzfrequenzen und! TP TP D() D() k 3 5 b k,tp b k,tp AUFGABE: IMPULSINVARIANZMETHODE Berechnen Sie die Systemfunktion H(z) eines diskreten Filters mit Hilfe der Impulsinvarianzmethode, wenn von einem kontinuierlichen Filter mit der Systemfunktion H(p) ausgegangen wird! Welches der vier Standardfilter liegt hier vor? 7. AUFGABE: BILINEARTRANSFORMATION (p + )(p + )(p + 3) Gegeben sei ein kontinuierliches Filter mit der Systemfunktion H(p) (p + )(p + p + ) Verwenden Sie die Bilineartransformation zur Approximation dieses Filters durch ein Digitalfilter dritten Grades! Die Tastperiode sei T.

2 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung LÖSUNGEN ZUR. ÜBUNG 5. AUFGABE: TIEFPASS-BANDPASS-TRANSFORMATION Gesucht ist ein Bandpass mit folgendem Amplitudengang: D() Die Idee ist, den Bandpass aus der Differenz der beiden Tiefpässe zu bilden: D() D() D() H BP () : H T P () H T P () H T P () e jϕ T P () H T P () e jϕ T P () An dieser Stelle ist wichtig, dass die Systeme den gleichen Phasengang aufweisen, damit sich der e jϕ ausklamern und kürzen lässt. Daher nimmt man an (Beweis folgt unten), dass Damit gilt weiter: wie in der obigen Zeichnung. ϕ T P () ϕ T P () : ϕ() H BP () e jϕ() ( H T P () H T P () ) H BP () H T P () H T P () Betrachtung des Phasengangs Nun muss noch bewiesen werden, dass die beiden Systeme tatsächlich den gleichen Phasengang aufweisen. Es gilt ϕ T P () arctan Im H T P () Re H T P ()

3 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung Zuerst muss der Frequenzgang H T P () bestimmt werden (der Index T P ist aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen) H(z) H() k N k N k N k N b k z k b k e jk b k (cos( k) + j sin( k) b k cos(k) j k N b k sin(k) Im folgenden wird der Imaginärteil betrachtet. Da sin(k) antisymmetrisch zu k und die gegebenen b k symmetrisch zu k sind, wird in der Summe jeder Wert an einer beliebigen Stelle k von dem Wert an der Stelle k kompensiert: sin(k) sin( k) b k b k (aus geg. Tabelle) b k sin(k) b k sin( k) b k sin(k) N Damit ist Im H() und ϕ() arctan Im H() Re H() arctan Diese Rechnung lässt sich analog für TP und TP durchführen. Damit haben beide Tiefpässe den gleichen Phasengang, nämlich die Nullphase ϕ const.. Anmerkung: Hätten die beiden Tiefpässe nicht den gleichen Phasengang, könnte die Methode der Differenzbildung der Amplitudengänge nicht angewendet werden, da das Ausklammern des gemeinsamen Exponentialterms in obiger Formel nicht möglich ist! Berechnung der Koeffizienzen des Bandpass von TP und TP gebildet: Es wir nun die Differenz der Amplitudengänge H BP () H T P () H T P () Es sollen die Koeffizienten b k des resultierenden Bandpasses berechnet werden. Da die Fourier- Transformation, und auch die z-transformation, lineare Transformationen sind, können die Impulsantworten ebenso voneinander abgezogen werden: b k,bp b k,tp b k,tp 3

4 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung Damit lautet die Übertragungsfunktion k 3 5 b k,tp b k,tp b k,bp H BP (z).z 5.9z 3.6z +.z + bzw. in der realisierbaren, kausalen Variante Die lineare Differenzengleichung lautet +.z.6z.9z 3 +.z 5 H BP (z)..9z.6z 3 +.z + z 5 +.z 6.6z 7.9z 8 +.z y[n].x(n).9x(n ).6x(n 3) +.zx(n ) + x(n 5) +.x(n 6).6x(n 7).9x(n 8) +.x(n ) Im Folgenden sind die Amplitudengänge der beiden Tiefpässe und des resultierenden Bandpass gezeigt H() TP TP 3.5 H() 3 BP TP - TP

5 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung 6. AUFGABE: IMPULSINVARIANZMETHODE Mit der Impulsinvarianzmethode kann ein analoges Filter durch ein digitales IIR-Filter approximiert werden. Man führt dazu eine Abtastung der kontinuierlichen Impulsantwort durch und konstruiert ein Filter, dessen Impulsantwort zu den Abtastzeitpunkten mit der des analogen Filters übereinstimmt. Die Schritte dafür sind Bestimmung der Impulsantwort des kontinuierlichen Systems Diskretisierung der kontinuierlichen Impulsantwort z-transformation der diskreten Impulsantwort Partialbruchzerlegung der Systemfunktion Zur Bestimmung der kontinuierlichen Impulsantwort (Laplace-Rücktransformation in den Zeitbereich), ist es zweckmäßig, zuerst eine Partialbruchzerlegung vorzunehmen. (p + )(p + )(p + 3) A p + + B p + + C p + 3 A(p + )(p + 3) + B(p + )(p + 3) + C(p + )(p + ) p (A + B + C) + p(5a + B + 3C) + 6A + 3B + C Koeffizientenvergleich: A 5 3 B 6 3 C A B C Die partialbruchzerlegte Systemfunkiton lautet H(p) p + + p + + p + 3 Laplace-Rücktransformation zur Impulsantwort Transformation p a die kontinuierliche Impulsantwort bestimmt werden: Nun kann mit Hilfe der Identität der Laplace- e at H(p) p + + p + + p + 3 h(t) e t e t + e 3t Impulsantwort diskretisieren darstellt: Abtastung durch Substitution t nt, wobei T die Abtastperiode h[n] h(t nt ) e nt e nt + e 3nT 5

6 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung z-transformation der diskreten Impulsantwort durch die Identität der Z-Transformation e an z z e a bzw. e ant z z e at erhält man aus der diskretisierten Impulsantwort die Systemfunktion des diskreten Systems: H(z) z z e T z z e T + z z e 3T Optional: Überführung in gebrochenrationale Darstellung zum leichten Ablesen der Koeffizienten a k, b k des digitalen Filters z(z e T )(z e 3T ) z(z e T )(z e 3T ) + z(z e T )(z e T ) (z e T )(z e T )(z e 3T ) β 3 z 3 + β z + β z α 3 z 3 + α z + α z + α mit den Konstanten (durch Koeffizientenvergleich ermittelt) β 3 + β e T e 3T + e T + e 3T e T e T β e T 3T e T 3T T T + e α 3 α e T e T e 3T α e T T + e T 3T T 3T + e T T 3T α e Kürzen mit z 3, um die übliche Form mit negativen Potenzen zu erhalten: H(z) b + b z + b z a + a z + a z + a 3 z 3 mit den Koeffizienten a k, b k des Filters b β 3 b β e T e 3T + e T + e 3T e T e T b β e T 3T e T 3T T T + e a α 3 a α e T e T e 3T a α e T T + e T 3T T 3T + e T T 3T a 3 α e 6

7 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung. Abgetastete Impulsantworten mit verschiedenen Abtastperioden:. h(t) h(t) h(nt ) mit T s h(nt ) mit T s t in s n t in s n Frequenzgänge (normiert): H() H max analog diskret (T s) diskret (T s) 3 3 Zwischen der roten und der blauen Kurve ist deutlich das durch die Abtastung verursachte Aliasing zu sehen. Bei ± stimmen die Kurven nicht überein. diskret, T s: kontinuierlich: H(±) H max.33 H(±) H max.7 Bestimmung des Frequenzgangs des diskreten Systems Zur Bestimmung des Filterverhaltens schätzt man im einfachsten Fall einige Grenzwerte des kontinuierlichen Frequenzgangs H(p jω) ab. Man stellt fest: lim H(jω) lim ω ω (jω + )(jω + )(jω + 3) lim H(jω) lim ω ω 3 3 Das deutet auf eine Tiefpasscharakteristik hin. 7

8 Dr. Emil Matus - Digitale Signalverarbeitungssysteme I/II - Übung 7. AUFGABE: BILINEARTRANSFORMATION Die Bilineartransformation ist ebenfalls eine Methode, um ein analoges Filter durch ein digitales IIR-Filter zu approximieren. Man nutzt dabei die Substitution p T z + z Angewendet auf die gegebene kontinuierliche Systemfunktion erhält man mit T : H(z) H (p ) z + z ( z + z + ) ( ( z ) ( + z ) + z + z + ) ( + z ) 3 ( ( z ) + ( + z ) )( ( z ) ( )( + z + z ) + ( + z ) ) + 3z + 3z + z 3 8 ( z ) ( z ) ( + z ) + ( z )( + z ) + ( + z ) 3 + 3z + 3z + z 3 5z + 5z 3z 3 Normiert man die nun Koeffizienten, sodass wie üblich a (hier durch Kürzen mit ), erhält man für die Koeffizienten des approximierenden digitalen Filters: b b 3 a a 5 b 3 a 5 b 3 a 3 3 8