Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2017 Mathematik 12 Technik - B II - Lösung

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2017 Mathematik 12 Technik - B II - Lösung"

Dirk Weiß
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 7 Mathematik Technik - B II - Lösung Teilaufgabe. Die Abbildung zeigt einen Wintergarten, dessen Boden in der x -x -Ebene eines kartesischen Koorindatensystems liegt. Das rechteckige Glasdach ABCD ist von einer Markise bedeckt. Dabei wird der Abstand zwischen Glasdach und Markise vernachlässigt. Die Ebene, in der die Markise liegt, wird mit M bezeichnet. Folgende Punkte des Wintergartens sind gegeben: A( ), B( ), D( ) und E( ). Alle Koordinaten sind in Metern angegeben. Auf das Mitführen der Einheiten bei den Berechnungen kann verzichtet werden. Teilaufgabe. ( BE) Die Markise lässt sich in Verlängerung des Glasdaches über die untere Dachkante [BC] um, m bis zum Punkt Q (siehe Skizze) ausfahren. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q. [ Ergebnis: Q(, ) ] Gegeben: OA OB AB OB OA AB 3 BQ AB..7 OQ OB BQ Q (. ). AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite von 9

2 Teilaufgabe. ( BE) Geben Sie eine Gleichung der Ebene M in Parameterform an und formen Sie diese in eine Koordinatenform um. [ Mögliches Teilergebnis: M: 3x x 3 ] Ebene M geht durch die Punkte A, B und D: Parameterform von E: x E OA λ OD OA μ OB OA x E λ μ x E λ μ 3 Normalenvektor: n M 3 Normalenvektor vereinfacht: n M n M 3 Normalenform von M: Koordinatenform von M: 3 x x 3x x 3 x 3 Teilaufgabe.3 ( BE) Berechnen Sie das Volumen des Wintergartens in m 3. Seitenfläche Trapez: A mh Volumen des Prismas: V Ah 7 Das Volumen beträgt 7 m 3. AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite von 9

3 Teilaufgabe. (6 BE) Mithilfe zweier Drahtseile, die an den schrägen Dachstreben [AB] und [DC] befestigt werden, soll eine Leuchte im Wintergarten im Punkt U(,,,8 ) aufgehängt werden. Ermitteln Sie die Mindestlänge des Drahtseils, das an der Strebe befestigt wird, welche weiter von U entfernt ist. Runden Sie das Ergebnis auf cm.. Lösungsmöglichkeit (offizielle Lösung, allerdings sehr realitätsfremd): Es wird angenommen, dass ein Seil mit der Strebe einen rechten Winkel einschließt. Aufgrund der Koordinatenwerte ist AB die weiter entfernte Strebe. Strebe AB: x AB OA σ OB OA σ Allgemeiner Geradenpunkt X AB : Ortsvektor zu U: OX σ OU 3σ...8 σ Lotfußpunkt: Verbindungsstrecke allgemeiner Geradenpunkt zu U steht senkrecht zur Strebe AB: 3 OX OUOB OA σ 3σ σ σ σ.6 σ. Ortsvektor Lotfußpunkt: OL x AB σ Verbindungsvektor: UL OL OU Länge des Verbindungsvektors: in m AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 3 von 9

4 . Lösungsmöglichkeit: Die beiden Aufhängeseile bilden zusammen mit dem Aufhängepunkt U der Lampe eine Ebene, die senkrecht auf der Grundfläche steht. Sollen beide Seillängen möglichst kurz sein, so muss die Ebene parallel zur Hauswand sein. Jede Drehung dieser Ebene ergäbe längere Seillängen. Schneidet man die Strebe AB mit dieser Hilfsebene und berechnet den Abstand zwischen Schnittpunkt L und Aufhängepunkt U der Lampe, hat man die gesuchte Mindestseillänge. Die Strebe AB ist die weiter entfernte. Ebene, parallel zur x x 3 -Ebene durch U: x. x. x 3.8 Allgemeiner Geradenpunkt der Strebe AB: x AB OA σ OB OA Schneide beide: σ σ σ. σ. φ Ortsvektor Schnittpunkt: OL.37 Verbindungsvektor: UL OL OU Länge des Verbindungsvektors: in m AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite von 9

5 Teilaufgabe.. Damit sich der Wintergarten bei Sonnenschein nicht zu stark aufheizt, ist die Markise jetzt bis zum Punkt Q ausgefahren. Die Richtung der einfallenden Sonnenstrahlen wird durch den Vektor w.8 beschrieben.. Teilaufgabe.. ( BE) Ohne Markise verliefe der Sonnenstrahl s durch den Punkt E. Geben Sie eine Gleichung für die Gerade s an und beechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts T von s mit der Markisenebene M. [ Ergebnis: T(,8, ) Gerade s der Sonnenstrahlen: x s OE τ w τ.8. M: 3x x 3 s M: 3(.8τ) (.τ) 8τ 8 τ Ortsvektor zum Schnittpunkt OT ( ).8..8 T(,8, ). Teilaufgabe.. ( BE) Erläutern Sie ohne Rechnung, ob der Punkt E bei diesem Sonnenstand im Schatten der ausgefahrenen Markise liegt. T(,8, ) zum Vergleich: Q(, ) Die x - und x -Koordinaten von T sind beide positiv und kleiner als die x - und x -Koordinaten von Q. T als Schnittpunkt liegt auf der Markise, damit liegt E im Schatten. AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite von 9

6 Teilaufgabe.6 (6 BE) Im Punkt K( ) befindet sich eine Lichtquelle. Ihr Strahl wird am Glasdach des Wintergartens im Punkt R( 3, ) reflektiert. Ermitteln Sie durch geeignete Spiegelung eine Gleichung der Geraden, die den reflektierten Lichtstrahl beschreibt. Gegeben: OK OR 7 OK OR 3. Hilfsgerade h durch K senkrecht zu M: x h ρ 3 h M: 3( 3ρ) ( ρ) ρ ρ Ortsvektor Spiegelpunkt: OK' Reflektierter Strahl: x r OR κok' OR 3. κ x r 3. κ.8.9 AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 6 von 9

7 Darstellung AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 7 von 9

8 AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 8 von 9

9 Dynamische Darstellung,. Lösung von. Markise R CDAK AE HBQT F U Sonnenstrahl AP 7, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 9 von 9

Ähnliche Dokumente

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation: