Statt Turingmaschinen anzugeben, genügt die Angabe eines C++ Programms oder die Angabe eines Pseudocodes.

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1 Turingmaschinen Wir haben Turingmaschinen eingeführt. Bis auf einen polynomiellen Anstieg der Rechenzeit haben Turingmaschinen die Rechenkraft von parallelen Supercomputern! Statt Turingmaschinen anzugeben, genügt die Angabe eines C++ Programms oder die Angabe eines Pseudocodes. Nichtdeterministische Turingmaschinen wählen einen aus möglicherweise vielen Befehlen aus. Das Konzept Nichtdeterminismus formalisiert die Fähigkeit zu raten. P und NP Turingmaschinen 1 / 13

2 Die Klasse P Die Klasse P besteht aus allen Sprachen L für die es eine Turingmaschine M mit L = L(M) und Zeit M (n) = O((n + 1) k ) für eine Konstante k gibt. Wir sagen, dass L effizient berechenbar ist, wenn L P gilt. Die Sprachenversionen der folgenden Probleme liegen in P. Sortieren. Graphprobleme wie: Das Zusammenhangsproblem, kürzeste Wege Probleme, die Berechnung minimaler Spannbäume. die Berechnung von Huffman Codes (durch Greedy Algorithmen). die Berechnung des gewichteten Intervall Scheduling und des paarweise Alignments (durch die dynamische Programmierung). P und N P P 2 / 13

3 Die Definition von N P Eine Sprache L gehört genau dann zu N P, wenn es eine nichtdeterministische Turingmaschine M mit L = L(M) und Zeit M (n) = O ( (n + 1) k) für eine Konstante k gibt. Auch nichtdeterministische Supercomputer können durch nichtdeterministische Nähmaschinen mit nur polynomieller Verzögerung simuliert werden. Um nachzuweisen, dass eine Sprache zu N P gehört, genügt zum Beispiel die Angabe eines nichtdeterministischen C++ Programms, das in polynomieller Zeit läuft. N P enthält alle Probleme mit kurzen, schnell verifizierbaren Lösungen: Übersetze kurz und schnell mit polynomiell. P und N P N P 3 / 13

4 Welche Sprachen liegen in N P? Das Erfüllbarkeitsproblem KNF-SAT: Kann eine aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform erfüllt werden? 3-SAT (wie KNF-SAT mit höchstens drei Literalen pro Klausel). Sind zwei Schaltungen nicht äquivalent? Clique: Besitzt ein Graph eine Menge von k Knoten, die paarweise miteinander verbunden sind? Independent Set, ein eineiiger Zwilling von Clique: Diesmal dürfen die Knoten nicht miteinander verbunden sein. Vertex Cover, ein zweieiiger Zwilling von Independet Set: Besitzt jede Kante mindestens einen Endpunkt in einer Menge von k Knoten? Wegeprobleme wie TSP, längste Wege und Hamiltonsche Kreise. Set Cover: Kann ein Universum von k Mengen überdeckt werden? P und N P N P 4 / 13

5 Welche Sprachen liegen wahrscheinlich nicht in N P? Sind zwei Schaltungen äquivalent? Raten bringt nichts, wir müssen Äquivalenz auf allen Eingaben verifizieren. Das Problem gehört zu co-n P = {L L N P}. Besitzt der ziehende Spieler in einem interessanten Zweipersonenspiel einen Gewinnzug? Wir können zwar den Gewinnzug raten, aber wie sollen wir effizient verifizieren, dass jede gegnerische Strategie verliert? P und N P N P 5 / 13

6 Die polynomielle Reduktion - Wir sagen, dass L 1 auf L 2 polynomiell reduzierbar ist und schreiben L 1 p L 2, wenn es eine effiziente Transformation M gibt, so dass für alle Eingaben w w L 1 M(w) L 2. - Die wesentliche Eigenschaft der polynomiellen Reduktion: Wenn K p L und wenn L P, dann auch K P. Wenn L einen effizienten Algorithmus besitzt, dann auch K. Warum? Die polynomielle Reduktion 6 / 13

7 N P-harte und N P-vollständige Probleme (a) Eine Sprache L ist genau dann N P-hart, wenn K p L für alle Sprachen K N P. (b) L ist genau dann N P-vollständig, wenn L N P und L eine N P-harte Sprache ist. Die polynomielle Reduktion Die N P-Vollständigkeit 7 / 13

8 N P-vollständige Sprachen sind schwer Die Sprache L sei N P-vollständig. Wenn P N P, dann ist L / P. Warum? Und die Konsequenzen: Wahrscheinlich wird kein N P-vollständiges Problem effiziente Algorithmen besitzen, denn deterministische Programme können nicht effizient raten. Die polynomielle Reduktion Die N P-Vollständigkeit 8 / 13

9 Wie zeigt man, dass eine Sprache N P-vollständig ist? - Wenn L 1 N P-hart ist - und wenn L 1 p L 2, - dann ist L 2 eine N P-harte Sprache. Wenn zusätzlich L 2 N P gilt, dann ist L 2 N P-vollständig. Warum ist die Aussage richtig? Zum Beweis benötigt man die folgende Aussage: Wenn L0 p L 1 und L 1 p L 2, dann ist L 0 p L 2. Und warum ist diese Aussage richtig? Die polynomielle Reduktion Die N P-Vollständigkeit 9 / 13

10 Der Satz von Cook startet die Lawine Der Satz von Cook: KNF-SAT ist N P-vollständig. KNF-SAT p 3-SAT. 3-SAT p Clique. Clique p Independent Set. Independent Set p Vertex Cover. Vertex Cover p Set Cover. KNF-SAT, 3-SAT, Clique, Independent Set, Vertex Cover und Set Cover sind N P-vollständig. Die polynomielle Reduktion Die N P-Vollständigkeit 10 / 13

11 Die polynomielle Reduktion: Häufige Fehler K p L sei zu zeigen: In der Konstruktion der Transformation M für Eingabe w wird angenommen, dass bekannt ist, ob w L oder w L. Achtung: Die Transformation M muss effizient sein! Die Transformation M soll die Reduktion K p L nachweisen, aber es wird nur w K M(w) L gezeigt. Eine solche Aussage ist trivial und gilt z.b. für die Sprache L = Σ. L = Σ ist eine simple Sprache, die zur Klasse P gehört. Die polynomielle Reduktion Die N P-Vollständigkeit 11 / 13

12 Die polynomielle Reduktion: Was ist zu tun? Die Reduktion K p L sei zu zeigen. Konstruiere die Transformation M, aber wie? Wieso kann L über K reden? 3-SAT p Clique: Konstruiere G, so dass sich Cliquen bestimmter Größe und erfüllende Belegungen entsprechen. Clique p Independent Set: Eine Clique für G ist eine unabhängige Menge im Komplementgraphen. Independent Set p Vertex Cover: Das Komplement einer unabhängigen Menge ist eine Knotenüberdeckung. Vertex Cover p Set Cover: Wieso kann Set Cover über Vertex Cover reden? Achtung: M muss effizient sein! Zeige für alle Eingaben w: Wenn w K, dann ist M(w) L. Wenn M(w) L, dann ist w K. Die polynomielle Reduktion Die N P-Vollständigkeit 12 / 13

13 Das Halteproblem Entscheide für eine Turingmaschine M und ein Wort w, ob M auf Eingabe w hält. GL2: Das Halteprobem ist unentscheidbar. Es gibt keinen Algorithmus, der das Halteproblem löst und stets hält. Insbesondere liegt das Halteproblem nicht in NP. Zeige: 3-SAT p Halteproblem. Das Halteproblem ist ein N P-hartes Problem, das nicht in N P liegt. Die polynomielle Reduktion Die N P-Vollständigkeit 13 / 13

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