Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 4: Flüsse

Transkript

1 Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 4: Flüsse Dipl-Math. Wolfgang Kinzner

2 Kapitel 4: Flüsse Flüsse Netzwerk, Fluss, s,t-schnitt, Kapazität MaxFlow-MinCut-Theorem Restnetzwerk und Erhöhen des Flusswertes Ford-Fulkerson-Algorithmus Edmonds-Karp-Algorithmus

3 Definition Netzwerk, Fluss, Wert des Flusses Ein Netzwerk ist ein Tupel N = (V, A, s, t, c), wobei G = (V, A, c) ein gerichteter Graph mit Kapazitätsfunktion c : A R 0 ist und s, t V zwei ausgezeichnetene Knoten sind. Die Knoten s bzw. t werden Quelle bzw. Senke genannt. Eine Abbildung f : A R 0 heisst s-t-fluss (engl. flow) in N, wenn f((y, x)) = f((x, y)) x V \{s, t} [Flusserhaltung], y N (x) y N + (x) f((x, y)) c((x, y)) (x, y) A [Zulässigkeit]. Der Wert von f ist definiert als val(f) := f(s, y) y N + (s) y N (s) f(y, s) Ein Fluss f hat maximalen Wert in N, falls val(f) val(f ) für alle Flüsse f in N gilt.

4 Definition Schnitt, Kapazität Eine Menge X V mit s X und t V \ X heißt s-t-schnitt (engl. cut). Die Kapazität von X ist definiert durch cap(x) := u X,v N + (u)\x c(u, v)

5 Zusammenhang Fluss-Schnitt Wenn f ein Fluss und X ein s-t-schnitt im Netzwerk N sind, dann gilt val(f) cap(x). val(f) = x X,y N + (x)\x f(x, y) x X,y N (x)\x f(y, x) MaxFlow-MinCut-Theorem: max f: Fluss in N val(f) = min X: s-t-schnitt in N cap(x)

6 Übung 15 (MaxFlow-MinCut-Theorem) Bestimmen Sie einen minimalen Schnitt im folgenden Graphen. Wie groß ist der maximale s,t-fluss? Können Sie anhand eines oder mehrerer minimaler Schnitte einen maximalen s,t-fluss bestimmen? s v 1 v v v 4 v t

7 Restnetzwerk Flüsse Sei N = (V, A, s, t, c) ein Netzwerk und f ein Fluss in N. Das Restnetzwerk von N bezüglich f ist definiert als N f := (V, A f, s, t, c f ), wobei wir zunächst die Kapazitätsfunktion c mittels c(x, y) := 0 für (x, y) A auf ganz V V erweitern. Dann setzen wir c f (x, y) := sowie A f := {(x, y) : c f (x, y) > 0}. c(x, y) f(x, y) falls f(x, y) > 0 c(x, y)+f(y, x) falls f(y, x) > 0 c(x, y) sonst

8 Erhöhen des Flusswertes Wenn f ein Fluss in N und W ein gerichteter s-t-kantenzug im Restnetzerk N f ist, dann kann f entlang W zu einem Fluss f erhöht werden mit wobei 0 < δ := min e W c f (e). val(f ) = val(f)+δ, Sei f ein Fluss in N. Wenn es in N f keine s-t-kantenzug mehr gibt, dann hat f maximalen Wert.

9 Algorithmus von Ford-Fulkerson Input: Netzwerk N = (V, A, s, t, c) Output: Fluss f Ford-Fulkerson(N = (V, A, s, t, c)) (1) f := 0 (2) while s-t-kantenzug W in N f (3) erhöhe f entlang von W wie vorher beschrieben.

10 Beispiel zum Ford-Fulkerson-Algorithmus Folie 10

11 Übung 16 (Ford-Fulkerson-Algorithmus)

12 Übung 16 (Ford-Fulkerson-Algorithmus)

13 Laufzeit und Probleme bei Ford-Fulkerson Sei N ein Netzwerk mit Kapazitäten aus N 0. Dann terminiert der Ford-Fulkerson-Algorithmus nach höchstens c(u, v) Schritten mit einem Fluss maximalen Werts. (u,v) A Zwei Probleme können auftreten: Der Algorithmus ist sehr langsam. Im Falle nicht natürlicher Kapazitäten kann er eventuell gar nicht oder gegen einen suboptimalen Fluss konvergieren. Zwei mögliche Abhilfen: Erhöhe in jeder Runde entlang des kürzesten s-t-weges. Algorithmus von Edmonds-Karp Erhöhe in jeder Runde entlang aller kürzesten s-t-wege. Algorithmus von Dinic

14 Algorithmus von Edmonds-Karp Modifikation von Ford-Fulkerson: Edmonds-Karp(N = (V, A, s, t, c)) (1) f := 0 (2) while s-t-kantenzug W in N f (2 ) finde kürzesten s-t-weg in N f via Breitensuche (3) erhöhe f entlang von W um δ := min e W c f (e). Laufzeit: O( V A 2 )

15 Übung 17 (Edmonds-Karp-Algorithmus) Die folgende Abbildung zeigt ein Netzwerk N mit seinen Flusskapazitäten. v 1 4 v s v 3 3 t v 2 Benutzen Sie den Algorithmus von Edmonds-Karp, um einen maximalen Fluss in N zu finden. Skizzieren Sie dazu die entsprechenden Restenetzwerke und skizzieren Sie jeweils darin die Breitensuche zum Finden eines augmentierenden Weges.

16 Übung 18 (Diskrete Tomographie und Edmonds-Karp) Es seien zwei Folgen (a i ) i [n], (b i ) i [n] von natürlichen Zahlen gegeben. Gesucht ist ein gerichteter Graph G = ([n], A), in dem jeder Knoten i den Aus-Grad a i und den Ein-Grad b i hat. Gegen sie ein polynomielles Verfahren an, das eine mögliche Adjazenzmatrix von G berechnet oder feststellt, dass eine solche nicht existiert.