Vektoranalysis Teil 1

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1 Skiptum zu Volesung Mathematik 2 fü Ingenieue Vektoanalysis Teil Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) Fachhochschule Pfozheim FB2-Ingenieuwissenschaften, Elektotechnik/Infomationstechnik

2 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Inhalt 3. Vektoanalysis 3. Einfühung 3.. Vektoen 3..2 Felde 3..3 Multiplikation von Vektoen 3.2 Diffeentiation und Integation von Vektoen 3.2. Diffeentiation Integation 3.3 Raumkuven 3.3. Paametefom von Raumkuven Diffeentialgeometie 3.4 Ebenen in R Divegenz, Rotation, Gadient 3.5. Nabla-Opeato Gadient Divegenz Rotation Potential Laplace-Opeato Rechenegeln 3.6 Integale mit Vektoen 3.6. Kuven-, Weg- bzw. Linienintegale Wegintegal übe Skalafeld Wegintegal übe Vektofeld Obeflächenintegale Obeflächenintegal übe Skalafeld Obeflächenintegal übe Vektofeld Integalsätze de Vektoanalysis Gaußsche Integalsatz Stokesche Integalsatz Egänzungsaufgaben zu Vektoanalysis / Lösungen Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 2

3 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Anwendungsgebiete: 3. Vektoanalysis Maschinenbau E-Technik : Analyse von Stömungen, Tempeatuveteilung : Felde, Wellen, Maxwell-Gleichungen 3. Einfühung 3.. Vektoen Vekto: Betag (Länge) + Richtung Einheitsvekto: Betag Scheibweisen (kath. Kod.): z y a ax a = ay a z Länge a = a = a + a + a ( VA ) x y z k j Einheitsvektoen i, j, k : 0 i x 0 0 i = 0 ; j = ; k = Beispiel: Positionsvekto vomuspung aus zum Punkt P( x, y, z): = xi + yj + zk a =,2 i + j + 2,5 k Bsp. i : nu x elevant, da y und z hie Null egeben wüden! Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 3

4 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil 3..2 Felde Skalafeld Jedem Punkt P(x,y,z) ist eine Zahl ode Skala Φ(x,y,z) zugeodnet Beispiel: - Stömungsgeschwindigkeit - Tempeatu an einem Ot zu Zeit T - Φ(x,y,z) = x²y - z Vektofeld Ist jedem Punkt P(x,y,z) ein Vekto A (x,y,z) zugeodnet, so ist A ein Vektofeld Beispiel: - Ist die Geschwindigkeit in jedem Punkt eine Stömung bekannt, so ist daduch ein (Geschwindigkeits-)Vektofeld definiet. - z.b. A (x,y,z) = xy i - 2z j + xyz k Anmekung: Felde, die zeitunabhängig sind, heißen stationä. Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 4

5 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Beispiel: x² v = y² z² P(x/y/z) v v // i + j + k 3 2// 4 i + j + k 3 2 0/0/0 0 0 /0/0 i Skizze: bitte üben! 3..3 Multiplikation von Vektoen Vektoen a = a x i + ay j + az k b = b x i + by j + bz k c = c x i + cy j + cz k a) Skalapodukt ("Innees Podukt") Zahl (Skala) Pojektion eines Vektos a auf einen Vekto b z.b.: mechanische Abeit A = Pojektion de Kaft F auf den Weg : A = F cosϕ (ϕ = Winkel zwischen Kaftvekto und Wegichtung) andee Scheibweise mit Skalapodukt: A = F Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 5

6 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil a b = a x b x + a y b y + a z b z = a b cosα (VA - 2) b) Keuz- bzw. Vektopodukt Vekto a b = ax ay a z bx by = b z a b a b a b a b y z z y a b z x x z a b x y y x i j k = a a a (VA - 3) x y z b b b x y z = (a y b z - a z b y ) i + (a z b x - a x b z ) j + (a x b y - a y b x ) k steht senkecht auf a und b (bilden Rechtssystem) a b a b = sinϕ (ϕ = Winkel zwischen a und b ); a b = ( b a) Beispiel: Dehmoment M = F sinϕ Richtung: senkecht zu und F M = F Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 6

7 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil c) Deifachpodukt (Spatpodukt) egibt Volumen, des von den dei Vektoen a, b, c aufgespannten Paallelepipeds ("Spates") ax ay az a ( b c ) = b b b = Vol. Paallelepiped x y z c c c x y z (VA - 4) a h c V = A h A b Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 7

8 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil 3.2 Diffeentiation und Integation von Vektoen 3.2. Diffeentiation Vekto (t), hänge von Skala t ab (Paamete, z.b. Zeit): ( t) ( ) ( ) ( ) x t = y t z t Ableitung: d d t = lim t 0 t (VA - 5) Tangente t an Raumkuve in P(x,y,z): d dx dy dz = & = i + j + k = x& i + y& j + z& k x& = y& z& Tangente t : t = + τ & mit - < τ < (Paamete) p Physik: & = v : Geschwindigkeit && & = v = a : Beschleunigung Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 8

9 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Rechenegeln: d a) ( a b) d b) ( a b) d c) ( ) d d) ( ϕ a) da + = + db a db b da = + db da a b = a + b dϕ = a + ϕ da Beispiel : Diffeenzieen Sie. d d = x + y + z = 2 & x x + 2 & y y + 2 & & z z x x + y & y + z & z = = & x y z Beispiel 2: Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Massepunktes längs de Kuve c = 2sin3t i + 2cos3t j + 8t k bzgl. Richtung und Betag, zeichne die Kuve (Schaubenlinie). v = & = 6cos 3t i 6 sin 3t j + 8 k ( ) ( ) a = v & = 8 sin 3t i 8cos 3 t j ( ) ( ) v = = 0 a = 324 = 8! Betag von Geschwindigkeit und Beschleunigung unabhängig vom Paamete t Übung: "Rutsche": c = 2sin3t i + 2cos3t j + 5t² k (aus s = ½ g t²) Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 9

10 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Integation ( t) = x i + y j + z k Integal: ( t) = x i + y j + z k (VA - 7) Beispiel: Bestimme Geschwindigkeit und Otsvekto eines Massepunktes mit de Beschleunigung a = 2cos2t i - 8sin2t j + 6t k. Geschwindigkeit und Otsvekto fü t = 0 seien Null. v = i 2cos2t - j 8sin2t + k 6t = 6sin2t i + 4cos2t j + 8t² k + C Anfangsbedingung: v (t=0) = 0 = 0 i + 4 j + 0k + C C = - 4 j v = 6sin2t i + (4cos2t - 4) j + 8t² k = i 6sin2t + j (4cos2t - 4) + k 8t² = -3cos2t i + (2sin2t - 4t) j + 8/3t³ k + C 2 Anfangsbedingung: (t=0) = 0 = -3 i + 0 j + 0k + C 2 C 2 = 3 i = (3-3cos2t) i + (2sin2t - 4t) j + 8/3t³ k Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 0

11 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil 3.3 Raumkuven 3.3. Paametefom von Raumkuven Paamete-Laufindex Einfachste Fall: Geade in Ebene y t a = mit t t 0 a x Beispiel: Zykloide y (Abollen eines Rades) x(t) = * (t sin t) y(t) = * ( cos t) x Beispiel: Schaubenlinie z x( t) a cost das ist = y( t) = a sint ein Keis ( ) z t ht Gewindesteigung konstant y 2 h Ganghöhe 2πh (einmal im Keis gelaufen) z = h t z& = const. a x Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

12 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Diffeentialgeometie Bogenlänge = = t + t t = x + y + z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Pythagoas) Fü t 0 geht in s übe: ds = lim = lim t 0 t t x y z + t + t t = & Gesamte Bogenlänge de Kuve C zwischen C(t ) und C(t 2 ): s = t t dx dy dz + + Beispiel: Beechnen Sie die Bogenlänge de Kuve C mit 2π 2 2 s = ( a sint) + ( a cost) + 0 = a 2π 0 a cost = a sin t ; 0 t < 2π b (Keisumfang) Begleitendes Deibein t : Tangenteneinheitsvekto n : Hauptnomale b : Binomale n = b t bzw. b = t n Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 2

13 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Tangenteneinheitsvekto d & d t = = = = d & ds d ds Hauptnomale n = κ ds mit κ = Kümmung (ρ = /κ = Kümmungsadius) steht senkecht auf t, zeigt nach "innen" t & n = = ds mit κ = κ κ & & && 3 & ; & 0 n = ( ) 2 & && & && & & && & bzw. n = b t Binomale steht senkecht auf t und n. b = t n bzw. b = & && & && Tosion τ: Maß fü Richtungsändeung de Binomalen mit s db ds = τ n ( ) τ = & && &&& & && ; & && 2 0 Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 3

14 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Beispiel: Raumkuve = 3cos t 3sin t 4 t Beechne: a) Radius + Ganghöhe b) t, b, n, κ, ρ, τ c) Skizze (Übung) Lösung: a) Radius = 3, Ganghöhe 8π ("einmal um") b) zuest Ableitungen, Betäge und Podukte & = 3 sin t i + 3 cos t j + 4 k ( ) ( ) & = = 5 && = 3 cos t i 3 sin t j ( ) ( ) &&& = 3 sin t i 3 cos t j ( ) ( ) 3sint 3cos t 2sint 2sin t & && = cos t sint cos t cos t = sin ² t + = cos ² t 9 = 2sin t i - 2cos t j + 9 k & && = = 5 ( ) & && &&& = 3sint 3cost 4 3cost 3sint 0 3sint 3cos t 0 3sint 3cost 3cost 3sint 3sint 3cost Egänzung diagonal ausechnen = cos²t + 36sin²t = 36 Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 4

15 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil hiemit: 3 sin t 5 & t = = 3 cos t & = sin t i + cos t j + k = 4 5 b = & && & && 4 3 sin t i cos t j + k 5 5 n = b t = sin t 4 cos t sin t cos t cos t cos t cos t 9 6 = sin t sin t = sin t sin t cos t sin t cos t Kümmung Kümmungsadius Tosion κ = & && 5 = = & ρ = /κ = 25/3 & (&& &&& ) τ = 36 = = & && c) Skizzieen Sie bitte die Vektoen ( t = 0) und ( t = 0 ), π, den Kuvenvelauf fü diese Zeitspanne und das dazugehöige begleitende Deibein, d.h. an den Stellen t = 0 und t = 0,π zu Übung! Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 5

16 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil 3.4 Ebenen in R3 Ebene duch 3 Punkte eindeutig bestimmt (Gleichungssystem). Ausgehend 2D 3D y = 2 - P2 n P3 P P P 2-2 x z y 3 2 P2 x 3 Punkte P, P 2, P 3 in eine Ebene, wenn P(x/y/z) ebenfalls in Ebene gilt: = 0 { } ( ) ( ) ( ) 2 3 x x y y z z x x y y z z x x y y z z = 0 Ebenengleichung Beispiel: Ebene duch P (2,-,), P 2 (3,2,-), P 3 (-,3,2) x 2 y + z = 0 (diagonal unteechnen) = (x-2) (y+) (-2) (-3) + (z-) (z-) 3 (-3) - (y+).. - (x-2) (-2) 4 = 3x y z z x y - = x + 5y + 3z -30 = 0 = Ax + By + Cz + D Ebenengleichung! Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 6

17 Volesungsskipt "Mathematik 2: Vektoanalysis, Teil Gleichungsfomen von Ebenen Bezeichnung Dastellung Eläuteung + Bsp. allgemein Ax + By + Cz + D = 0 Beispiel s.o. Achsenabschnitt x y a + z b + c = z y c b. x + y + z = a, b, c : Duchstoßpunkte an den Achsen a x R + D = 0 Anwendung: Bestimme Senkechte auf Ebene = (x,y,z) R = (A,B,C) R auf Ebene einsetzen egibt allgemeine Fom übe Skalapodukt Vekto n ( - ) = 0 n auf Ebene (nomiet ode nicht nom.) : Punkt auf Ebene (bel. auswählba) Anwendung: Bestimme Ebenengleichung aus Punkt und Richtung P (0,-3,2), n = 2 i + j + 5k 2 x 0 3 y + 5 z 2 = 2(x-0) + (y+3) + 5(z-2) = 0 Paametedastellung = + λ + µ ( ) ( ) 2 3 Anfahen jedes Punktes analog Schaubenlinie Beispiel: Bohen äquidistante Punkte weitee: z.b. Hesse-Nomalfom Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nach eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 7