Nicht-Euklidische Geometrie (Weiss) WS Vorlesungsnotizen, Woche 4
|
|
- Elmar Bösch
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Nicht-Euklidische Geometrie (Weiss) WS Vorlesungsnotizen, Woche Die hyperbolische Ebene ls metrischer Rum Definition Die hyperbolische Ebene ist H {x R 2 x 2 > 0} mit der Metrik d Φ bestimmt (wie in Vorl.notizen Woche 3) durch die Kostenoder Gewichtsfunktion Φ, wobei Φ(x) 1/x 2 für x H. Also ist für Elemente x und y von H der Abstnd d Φ (x, y) ds Infimum der Zhlen L Φ (γ), genommen über lle stückweise gltten Kurven γ: [, b] H mit γ() x und γ(b) y. Zur Erinnerung: im Fll von gltter Kurve γ ist L Φ (γ) Φ(γ(t)) γ (t) dt γ (t) γ 2 (t) bei dieser Kostenfunktion, Φ(x) 1/x 2. (Dbei bezeichnet γ 2 (t) die zweite Koordinte von γ(t).) Wenn γ stückweise gltt ist, muss mn eine etws kompliziertere Formel mit Summenzeichen hinschreiben. Diese Definition ist sehr lngwierig, und wir hben schon gesehen, dss die explizite Bestimmung der Abstände d Φ (x, y) mnchml schwierig ist. Wir werden ber uch noch sehen, dss diese lngwierige Definition einen Vorteil ht: sie mcht es uns leicht, viele Isometrien von H nch H zu konstruieren. Dmit können wir die Berechnung von Abständen d Φ (x, y) für beliebige x und y uf einfche Spezilfälle zurückführen. Diese Spezilfälle kommen jetzt drn. Lemm Für x und y us H mit x 1 y 1 ist d Φ (x, y) ln y 2 ln x 2. Beweis. OBdA ist y 2 x 2. Sei β: [, b] H irgendeine stückweise gltte Kurve von x nch y. Wir sollten erstml zeigen, dss L φ (β) ln y 2 ln x 2. Ich tue ds unter der Annhme, dss β gltt ist; der llgemeine Fll ist ähnlich. Dnn hben wir L Φ (β) β (t) dt ln() tb t 1 β 2 (t) dt ln y 2 ln x 2. dt β 2 (t) dt
2 2 Gut. Wenn jetzt β 1 (t) immer Null ist und β 2 (t) immer 0, dnn werden die Zeichen in diesen Abschätzungen zu Gleichheitszeichen, und wir sehen L Φ (β) ln y 2 ln x 2. (Wir können zb definieren β: [0, 1] H mit β(t) (x 1, x 2 + t(y 2 x 2 )), um ll ds zu erreichen.) Korollr Für festes R ist die Abbildung f: R H definiert durch f(t) (, exp(t)) bstndserhltend (mit der Stndrdmetrik uf R). Also ist ihr Bild {x H x 1 } eine Gerde in H (gemäss Definition von Gerde in metrischem Rum gegeben in Vorl.notizen Woche 2). Beweis. d Φ (f(t), f(s)) ln(exp(t)) ln(exp(s)) t s. Bemerkung Der Beweis von Lemm beweist noch etws mehr, ls behuptet wurde. Wir hben gesehen: es gibt (unter den Vorussetzungen des Lemms) eine gltte Kurve β von x nch y in H, für die L Φ (β) d Φ (x, y) gilt. (Ds heisst, obwohl wir d Φ (x, y) ls Infimum von gewissen gewichteten Kurvenlängen definiert htten, wissen wir jetzt: ds Infimum ist ein Minimum.) Ausserdem: wenn β eine gltte Kurve von x nch y ist, bei der β 1 nicht konstnt ist, die lso nicht β 1 (t) 0 erfüllt für lle t, dnn ist L Φ (β) > d Φ (x, y) (strikte Ungleichung). Denn dnn ist eine der Ungleichungen in unseren Abschätzungen strikt: β (t) dt > β 2 (t) Diese Bemerkung, L Φ (β) > d Φ (x, y) flls β 1 nicht konstnt, gilt uch wieder im stückweise gltten Fll Selbst-Isometrien der hyperbolischen Ebene Um einige interessnte Isometrien von H nch H zu beschreiben, benutzen wir komplexe Zhlen. Insbesondere werden dbei die Elemente (x 1, x 2 ) von H ls komplexe Zhlen z x 1 + x 2 i mit positivem Imginärteil x 2 ufgefsst. Die Abbildungen f von H nch H, die wir betrchten wollen, hben die Gestlt f(z) z + b cz + d für z H, wobei, b, c, d feste reelle Zhlen sind mit d bc 1. Die Division muss in C usgeführt werden! Zur Erinnerung oder Belehrung, flls nötig: - Eine komplexe Zhl w k + li ht einen Relteil k Re w R und einen Imginärteil l Im w R. Wrnung: Der Imginärteil von w k + li ist eine reelle Zhl, nämlich l. dt.
3 - Der Betrg von w ist w k 2 + l 2 R. - Addition von komplexen Zhlen wird koordintenweise durchgeführt. Beispiel: (3 + 5i) + (2 7i) 5 2i. Anlog dzu: Subtrktion koordintenweise. - Bei der Multipliktion von komplexen Zhlen benutzen Sie bitte ds Distributivgesetz und denken Sie drn, dss i 2 1 sein soll, genuer gesgt, (0 + 1i) i. Beispiel: (3 + 5i)(2 + 7i) i i + 21i i. - Der Betrg von einem Produkt ist ds Produkt der Beträge; lso uv u v. Beweis: Nchrechnen. - Die Konjugierte von w k + li ist w k li. Die Konjugierte von einem Produkt ist ds Produkt der Konjugierten; die Konjugierte von einer Summe ist die Summe der Konjugierten. - Wenn eine komplexe Zhl w nicht Null ist, dnn erhebt sich die Frge, wie mn w 1 bestimmt. Mn findet w 1 meist m leichtesten in der Form w 1 1 w w w w w w. 2 Und Teilen durch w ist dsselbe wie Multiplizieren mit 1/w. - Wie schon ngedeutet: sttt k + 0i schreiben wir gerne k. Auf diese Weise wird R mit einer Teilmenge von C gleichgesetzt (d.h. eine reelle Zhl ist eine komplexe Zhl w mit Im w 0). Sttt 0 + li schreiben wir gerne li. Sttt 0 + 1i schreiben wir gerne i. Undsoweiter. Beispiel i 3 2i (1 + 5i)(3 + 2i) (3 2i)(3 + 2i) (3 10) + (15 + 2)i i. Beispiel , b, c, d 1, 2, 3, 5 und z 2 + i 2 + 1i. Dnn ist z + b cz + d 1(2 + i) 2 3(2 + i) 5 i 1 + 3i i(1 3i) 10 Bemerkung Für eine Mtrix mit reellen Einträgen [ ] b M c d mit det(m) 1 und ein z H definieren wir versuchsweise i. f M (z) : z + b cz + d. Dnn stellt sich herus: (i) f M ist eine wohldefinierte und stetige Abbildung von H nch H; 3
4 4 (ii) f M f N f MN, wobei MN ds Mtrixprodukt bezeichnet; (iii) f I2 id für die Identitätsmtrix I 2. Aus (ii) folgt, dss jedes f M eine invertierbre stetige Abbildung von H nch H definiert; ls Inverse bietet sich nämlich f N n, wobei N M 1. Erklärung von (i). (Jetzt vereinfcht im Vgl zur Vorlesung.) Sei z H und w f M (z). Wir bemerken erstml, dss cz + d 0, denn sonst 0 Im (cz + d) c Im z, dmit c 0, und dnn d 0. Weiter: Die Konjugierte von cz + d ist c z + d, dher w z + b cz + d (z + b)(c z + d) cz + d 2 c z 2 + dz + bc z + bd cz + d 2, so dss (d bc)im z Im (z) Im w cz + d 2 cz + d. 2 Also ist Im w > 0, weil Im z > 0. Die Aussgen (ii) und (iii) können durch Nchrechnen bestätigt werden. Theorem Jedes f M wie in Bemerkung ist eine Isometrie von H nch H, wobei H mit der Metrik d Φ usgestttet ist wie in Definition Beweis. Wegen Bemerkung ist f M eine Bijektion von H nch H, denn eine inverse Abbildung dzu ist f N mit N M 1. Die erste Ableitung von f M ist f M(z) (cz + d) (z + b)c (cz + d) 2 d bc (cz + d) 1 2 (cz + d) 2 nch der Quotientenregel. Mn drf die Quotientenregel hier etw so benutzen, wie mn sie us der reellen Anlysis kennt, weil die Abbildungen z z + b und z cz + d komplex differenzierbr sind 1. Andererseits hben wir schon herusgefunden (in Bemerkung 4.2.7): Im (f M (z)) Im z cz + d 2. 1 Dbei sollte f M (z) ls linere Abbildung von R2 nch R 2 ufgefsst werden, oder, wenn eine weniger gesunde Sichtweise vorgezogen wird, ls 2 2-Mtrix mit reellen Einträgen die Mtrix der ersten prtiellen Ableitungen, uch Jcobi-Mtrix gennnt. Die rechte Seite (cz + d) 2 muss demnch uch ls linere Abbildung von R 2 nch R 2 ufgefsst werden, und ds geht. Denn Multipliktion mit einer komplexen Zhl k + li ist ttsächlich eine linere Abbildung von R 2 nch R 2. Ihre Mtrix ist [ ] k l. l k
5 (Diese beiden Formeln, für f M (z) und für Im (f M(z)), sind ungeheuer nützlich.) Sei jetzt γ: [p, q] H eine gltte Kurve. Dnn ist uch f M γ eine gltte Kurve. Die Kettenregel ergibt (f M γ) (t) f M(γ(t)) γ (t) wobei die rechte Seite ls Produkt von komplexen Zhlen gelesen werden drf und uch muss. Mit den Rechnungen oben erhlten wir für die gewichteten Geschwindigkeiten (f M γ) (t) Im (f M (γ(t))) f M (γ(t)) γ (t) Im (f M (γ(t))) cγ(t) + d 2 f M (γ(t)) γ (t) Im (γ(t)) γ (t) Im (γ(t)). (Es ist gnz lustig, dss ich hier... sttt... schreiben durfte. Der Betrg tut für Elemente von C dsselbe wie die Norm... für Elemente von R 2.) Wenn wir q dvorschreiben und dt dhinter, ergibt sich für die gewichteten p Kurvenlängen L Φ (f M γ) L Φ (γ). Dieselbe Beziehung ergibt sich für stückweise gltte Kurven γ (mit mehr Schreibrbeit wegen Summenzeichen). D Zusmmensetzung mit f M eine Bijektion von der Menge der stückweise gltten Kurven γ in H von u nch w in die Menge der stückweise gltten Kurven in H von f M (u) nch f M (v) ergibt, dürfen wir schliessen d Φ (f M (u), f M (w)) d Φ (u, w) Bestimmung von Abständen in der hyperbolischen Ebene Lemm Sei z, u H (komplexe Bezeichnungen, H C) und [ ] b M c d eine Mtrix mit reellen Einträgen, det(m) 1 wie in Bemerkung Dnn ist z u (Im z) 1/2 (Im u) 1/2 f M (z) f M (u) (Im f M (z)) 1/2 (Im f M (u)) 1/2. 5 Beweis. Übungsufgbe.
6 6 Lemm Für beliebige z, u H existiert eine Mtrix M wie in Bemerkung derrt, dss Re (f M (z)) 0 und Re (f M (u)) 0 (für diese speziellen z und u). Beweis. Wieder Übungsufgbe. Diese Aufgbe lässt sich llerdings in folgende Schritte zerlegen (unter Benutzung der Formel f XY f X f Y in Bemerkung ) 1. Finde Mtrix P derrt, dss Re (f P (z)) 0 für ds gegebene z. Ds ist leicht, denn wir können P von der Form [ ] 1 b P 0 1 nehmen. Dnn ist f P (y) y + b für lle y H. Wenn wir lso b Re z wählen (für unser spezielles z), dnn ist Re (f P (z)) Schreibe f P (z) ri für ein positives reelles r. Konstruiere Mtrix Q derrt, dss f Q (i) ri. Dnn ist f Q 1 P(z) (f Q ) 1 (f P (z)) f Q 1(ri) i. 3. Setze w f Q 1 P(u). Finde Mtrix N derrt, dss f N (i) i und Re (f N (w)) 0. Dnn ist f NQ 1 P(z) f N (i) i, Re (f NQ 1 P(u)) Re (f N (f Q 1 P(u)) Re (f N (w)) 0. Also ist M NQ 1 P eine Lösung. Korollr Für den Abstnd d Φ (u, z) von u, z H gilt: cosh ( d Φ (u, z) ) 1 + z u 2 2(Im z)(im u). Beweis. Erstml in Erinnerung rufen, dss cosh(t) (exp(t)+exp( t))/2 für t R. Die cosh-funktion (Cosinus Hyperbolicus) ist injektiv nch Einschränkung uf die nicht-negtiven reellen Zhlen. Wir suchen uns dnn eine Mtrix M wie in Lemm , so dss Re (f M (u)) 0 Re (f M (z)). Weil f M eine Isometrie ist, Theorem 4.2.8, hben wir Aber wegen Lemm gilt uch 1 + d Φ (f M (u), f M (z)) d Φ (u, z). f M (z) f M (u) 2 2(Im f M (z))(im f M (u)) 1 + z u 2 2(Im z)(im u). Ds heisst, es genügt uns jetzt, zu zeigen, dss cosh ( d Φ (f M (z), f M (u)) ) 1 + f M (z) f M (u) 2 2(Im f M (z))(im f M (u)).
7 Sieht so us wie vorher, nur mit f M (u) und f M (z) nstelle von u und z. Wir können jetzt sgen: f M (z) ist ds neue z und f M (u) ist ds neue u. Fortschritt: wir hben dmit uf den Spezilfll reduziert, dss (die neuen) z und u Relteil gleich Null hben. Unter dieser zusätzlichen Vorussetzung, lso Re u 0 Re z, hben wir ber schon eine usgezeichnete Formel für d Φ (u, z). Angenommen u pi und z qi für gewisse positive reelle p, q, und obda ist p q. Die Formel ist dnn d Φ (u, z) ln p ln q ln(p/q). Ds ist (ein Spezilfll von) Lemm in komplexer Schreibweise. Jetzt muss lso nur noch gezeigt werden Aber ds ist leicht. cosh (ln(p/q)) 1 + (p q)2 2pq. Beispiel Wir htten den Fll u i 0 + 1i und z i betrchtet. Eine erste grobe Abschätzung ergb d Φ (u, z) 1000 und eine zweite weniger grobe Abschätzung ergb d Φ (u, z) (ln 2). Wir htten dzu Kurven γ von u nch z konstruiert und ihre gewichtete Kurvenlänge L Φ (γ) bestimmt, wussten ber nicht recht, ob wir dmit dem Infimum solcher gewichteten Kurvenlängen einigermssen nhegekommen wren. (Mn hätte es bestimmt besser mchen können mit derselben Strtegie.) Jetzt stellt sich jedenflls herus: dieses Infimum, gennnt d Φ (u, z), erfüllt cosh(d Φ (u, z)) 1 + Mein Rechner sgt dzu, dss z u 2 2(Im z)(im u) d Φ (u, z) 13,
11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Mehr- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit
MehrUngleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
Mehr2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt
2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,
Mehr1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen
MehrDas Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
MehrMultiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
MehrVorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
MehrKurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)
Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art
Mehr1 Ergänzungen zur Differentialrechnung
$Id: nlytisch.te,v 1.3 2011/04/13 11:01:11 hk Ep $ 1 Ergänzungen zur Differentilrechnung Dieses einleitende Kpitel wollen wir verwenden um den Anschluss n ds vorige Semester herzustellen. Eine direkte
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
MehrMathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen
Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern
Mehr2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
Mehr1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
MehrThema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n
Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1
MehrMathematik PM Rechenarten
Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz
MehrEs soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise
MehrKapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b
Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende
MehrLineare DGL zweiter Ordnung
Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x
MehrKomplexe Kurvenintegrale
Komplexe Kurvenintegrle nlog zu Kurvenintegrlen: Sei : [, b] D R n ein stükweiser C Weg, f : D R und F : D R n gegeben. Dnn htten wir in Anlysis II/III die beiden Kurvenintegrle. und 2. Art f (x)ds = b
Mehr1.2 Der goldene Schnitt
Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert
MehrKapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen. 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen
Kpitel 4 Differentilrechnung in mehreren Vriblen 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen Gegenstnd dieses Kpitels sind Funktionen in mehreren Vriblen. Wir können die Definitionsbereiche solcher
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00)
MehrÜbungen zur Analysis 2
Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren
Mehr1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele............................................ Repetition............................................3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I.......................
MehrMathe Warm-Up, Teil 1 1 2
Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des
Mehr2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der
Mehr4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
MehrMathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007
Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis 2 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit........... 2 1.1.1 Stetigkeit..................... 2 1.1.2 Differenzierbrkeit................
Mehr2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3
2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................
MehrA.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )
A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrBRÜCKENKURS MATHEMATIK
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig
MehrGrundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS
Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten,
MehrNumerische Integration durch Extrapolation
Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
Mehrv P Vektorrechnung k 1
Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrCanon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30
15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft
MehrDer Gauß - Algorithmus
R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
MehrÜbungen zu Wurzeln III
A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner
MehrDefinition: Eine Folge, bei welcher der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich gross ist, heisst geometrische Folge (GF).
7. Geometrische Folgen (exponentielles Wchstum) Beispiele: 2, 6, 8, 54, 62,... = 6= 2 8 8, -4, 2, -,,,... =, ds Vorzeichen wechselt b (lternierende Folge), -,, -,... = Definition: Eine Folge, bei welcher
MehrMatrizen und Determinanten
Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion
MehrLogarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus:
0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Logrithmen Die Gleichung vom Typ b wird mit Hilfe des Logrithmus gelöst Der Logrithmus von zur Bsis b ist die Zhl,
Mehr10.2 Kurven und Bogenlänge
10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene
Mehr4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle
4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich
MehrWurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu
MehrAnalysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns
Skript zur Vorlesung Anlysis I/II 9/ Peter Junghnns Hinweis: Ds vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhlten der Vorlesung dr. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende Erläuterungen, Beweise
MehrQuadratische Gleichungen und Funktionen
Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter
MehrGebrochenrationale Funktionen (Einführung)
Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle
Mehr1 Integralsätze - Motivation
Wolfrm Liebermeister 28.10.2013 Einführung: Integrle HU-Berlin - Institut für Theoretische Biophysik nlehnung n die Vorlesung Höhere Mthemtik 3 von Michel Eisermnn, www.igt.uni-stuttgrt.de/eiserm Tutoren:
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
Mehr3. Ganzrationale Funktionen
3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
Mehr8 Die rationalen Zahlen
8 Die rtionlen Zhlen Die Konstruktion der rtionlen Zhlen ist eine Umbu, der Anlogien zur Umbu- Konstruktion von Z ht. Wir werden sehen, dss Brüche Äquivlenzklssen von Pren gnzer Zhlen sind. Es gelte die
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Mehrt 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.
Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die
MehrFernUniversität Gesamthochschule in Hagen
FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
MehrAnalysis I. Inhaltsverzeichnis. Martin Brokate. 1 Aussagen, Mengen, Abbildungen 1. 2 Das Prinzip der vollständigen Induktion 14
Anlysis I Mrtin Brokte Inhltsverzeichnis Aussgen, Mengen, Abbildungen 2 Ds Prinzip der vollständigen Induktion 4 3 Die reellen Zhlen 8 4 Folgen 29 5 Die komplexen Zhlen 40 6 Reihen 44 7 Unendliche Mengen
MehrFalls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X
MehrEinführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21
Einführung in die Festkörperphsik I Prof. Peter Böni, E21 Lösung zum 2. Übungsbltt (Besprechung: 0. - 1. Oktober 2006) P. Niklowitz, E21 Aufgbe 2.1: Zweidimensionle Wigner-Seitz-Zellen Vernschulichen Sie,
MehrThema 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven
Them 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven Definition 1 Eine Kurve in R n ist eine stetige Abbildung uf einem Intervll I mit Werten in R n. Wir verwenden den Buchstben c für Kurven und schreiben c = (c 1,...,c
MehrARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt
MehrElemente der Funktionentheorie. Wolfgang Arendt
Elemente der Funktionentheorie Wolfgng Arendt Skript zur Vorlesung im Sommersemester 24 Inhltsverzeichnis Der Körper der komplexen Zhlen 3 2 Komplexe Differenzierbrkeit 7 3 Die Cuchy-Riemnnschen Differenzilgleichungen
Mehr5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
MehrAnalysis I. Gunther H. Peichl. Institut für Mathematik Karl Franzens Universität Graz. Skriptum zur Vorlesung im SS 2011
Anlysis I Gunther H. Peichl Skriptum zur Vorlesung im SS 20 Institut für Mthemtik Krl Frnzens Universität Grz Inhltsverzeichnis Kpitel I. Reelle und komplexe Zhlen. Axiomtische Beschreibung der reellen
MehrARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit
MehrQuadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung
MehrAbiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02
M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite
MehrBlatt 9. Bewegung starrer Körper- Lösungsvorschlag
Fkultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhnov Übungen zu Klssischer Mechnik (T) im SoSe 0 Bltt 9. Bewegung strrer Körper- Lösungsvorschlg Aufgbe 9.. Trägheitstensor
Mehrx usw., wie oben unter 1.) behauptet.]
[Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.
MehrVorbereitung auf die Mathematik Schularbeit
Vorbereitung uf die Mthemtik Schulrbeit 7. März 0 Alles Gute ll deinen Bemühungen, KL, KV Viel Erfolg! . Schulrbeit: MATHEMATIK KL.: M3b/I. - S. Mi, 7.03.0 ) Zeichne ds Prllelogrmm us den Bestimmungsstücken
MehrTag der Mathematik 2011
Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.
Mehr2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken
Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,
MehrDr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenbereiche... Die rtionlen Zhlen... Definition Die Definition der rtionlen Zhlen erfolgt hier innermthemtisch ebenflls wie diejenige der gnzen Zhlen
MehrAnalysis 1 und 2. Ernst Albrecht
Anlysis 1 und 2 Ernst Albrecht Vorlesungen im Wintersemester 2005/06 und Sommersemester 2006 Universität des Srlndes Srbrücken Stnd: 20. Juli 2006 Inhltsverzeichnis Kpitel 0. Zur Vorbereitung 1 1. Grundbegriffe
MehrAnalysis I im SS 2011 Kurzskript
Anlysis I im SS 2011 Kurzskript Prof. Dr. C. Löh Sommersemester 2011 Inhltsverzeichnis -2 Literturhinweise 2-1 Einführung 4 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre 5 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper 14 2
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:
Mehr1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
MehrEinführung in die Analysis. Prof. Dr. René Grothmann
Einführung in die Anlysis Prof. Dr. René Grothmnn 2011 2 Vorwort Es hndelt sich bei diesem Skript nur um eine Zusmmenfssung der Vorlesung. Beweise und Beispiele wurden uf ein Minimum reduziert. Auch eine
MehrWie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?
ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch
MehrAnalysis. 1. April 2003
Anlysis Jürgen Elstrodt. April 003 Teil I Die reellen Zhlen Grundlgen N := {,, 3,...} Menge der ntürlichen Zhlen N 0 := {0,,,...} Menge der gnzen Zhlen 0 Z := {0, ±, ±,...} Menge der gnzen Zhlen Q :=
MehrKurven und Bogenlänge
Kpitel 3 Kurven und Bogenlänge 3.1 Motivtion Der Begriff der Kurve in der Ebene oder im Rum spielt in den Nturwissenschften, insbesondere der Physik, Technik (Robotik) und der Informtik (Computergrphik)
MehrÜbungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3
Übungen zur Vorlesung Physiklische Chemie I Lösungsvorschlg zu Bltt 3 Prof. Dr. Norbert Hmpp 1. Aufgbe ) Die gegebene Verteilung besteht nur us diskreten Werten! Die durchgezogene Linie würde nur bei einer
MehrBerechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
MehrAnalysis mit dem Voyage 1
Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich
Mehr4 Die Integralfunktion*
Übungsmteril 1 Die Integrlfuntion* In den vorigen Kpiteln hben wir bereits ds unbestimmte und ds bestimmte Integrl und deren Eigenschften ennengelernt. Ersteres liefert die Menge der Stmmfuntionen einer
MehrBrückenkurs Mathematik
Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..
MehrGrundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik
Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur
MehrKomplexe Zahlen und konforme Abbildungen
Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy
Mehr