Kapitel 7 : Lineare Programmierung Die Simplexmethode (G.B.Dantzig, 1947) Beispiel:

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1 Kapitel 7 : Lineare Programmierung Die Simplexmethode (G.B.Dantzig, 1947) Beispiel: Eine Firma produziert die Produkte P 1, P 2,..., P q aus den Rohstoffen R 1, R 2,..., R m. Dabei stehen b j Einheiten des Rohstoffs R j zur Verfügung. Zur Herstellung der Einheit des Produkts P k benötigt man a jk Einheiten des Rohstoffs R j. Man erzielt pro Einheit des Produkts P k einen Gewinn von c k Euro. Aufgabe: Maximiere den Gewinn! Mathematische Formulierung: Wir setzen x k = Stückzahl des Produkts P k Maximiere die Zielfunktion unter den Nebenbedingungen q c k x k k=1 q a jk x k b j, j = 1, 2,..., m, k=1 x k 0, k = 1, 2,..., q. In diesem Beispiel sind die x k eigentlich ganze Zahlen. Aber wir tun so, als ob die x k nichtnegative reelle Zahlen sind. Dies ist bei großen Stückzahlen gerechtfertigt. Zur Lösung dieses linearen Optimierungsproblems müssen wir es umformulieren, und zwar in ein sogenanntes Standardproblem der linearen Optimierung, das auch Lineares Programm genannt wird: Wir führen m nichtnegative Schlupfvariable x q+1, x q+2,..., x q+m ein, um die m Ungleichungen in Gleichungen umzuwandeln. Für den Variablenvektor x = (x 1, x 2,..., x n ) T, mit n := q + m, den Vektor des Gewinns (c 1, c 2,..., c n ) mit c q+1 = = c n = 0, die m n-matrix a 11 a 12 a 13 a 1q a 21 a 22 a 23 a 2q a 31 a 32 a 33 a 3q A = a m1 a m2 a m3 a mq

2 sowie die weitere Variable n z := c k x k, d := 0 k=1 wird das obige lineare Optimierungsproblem übergeführt in das Standardproblem der linearen Optimierung (Lineares Programm) (LP ) unter den NB max z ( ) ( ) ( ) A 0 x b = c 1 z d x 0, wobei der Zeilenvektor c = (c 1, c 2,..., c n ) := ( c 1, c 2,..., c n ) definiert wird. Es bedeutet x 0, daß alle Komponenten x k von x nichtnegativ sein müssen, und NB ist die Abkürzung für Nebenbedingungen. ( ) A Das Lineare Programm (LP ) heißt vollständig, wenn die (m + 1) n-matrix alle c Einheitsvektoren e 1, e 2,..., e m des IR m+1 als Spaltenvektoren enthält. Dann kennzeichnet man die Spaltennummern, die diese Einheitsvektoren enthalten, mit J = ((J 1,..)., J m ). Der Einheitsvektor e m+1 der IR m+1 A 0 steht immer in der letzten Spalte von c 1 Ein vollständiges (LP ) heißt zulässig, wenn b 0 ist, das heißt, wenn alle Komponenten b j von b auf der rechten Seite von (LP ) nichtnegativ sind. Zu einem vollständigen zulässigen Linearen Programm (LP ) können wir sofort einen Vektor x finden, der alle Nebenbedingungen erfüllt, die zu J gehörende Basislösung x = (x 1, x 2,..., x n ) T mit x J = b, das heißt mit x J1 = b 1,..., x Jm = b m x k = 0 sonst. Der zur Basislösung gehörende Wert der Zielfunktion ist z = d. Warum? Unser Beispiel: Wir erkennen sofort, daß unser Beispiel bereits als vollständiges zulässigen Linearen Programm geschrieben ist mit J = (q + 1, q + 2,..., q + m), denn wir haben c q+1 = = c q+m = 0 gesetzt. Wir wollen nun die Simplexmethode zur Lösung von (LP ) beschreiben. Dieses Verfahren heißt Simplexmethode, weil die Nebenbedingungen Ax = b, x 0, einen Simplex des IR n bilden und die Simplexmethode von einer Ecke (= zulässige Basislösung) des Simplexes zu anderen Ecken (= zulässige Basislösungen) springt. 14

3 In der Phase I der Simplexmethode erzeugt man ein vollständiges zulässiges Lineares Programm (LP ). Dies war bei unserem Beispiel sehr leicht. In der Phase II der Simplexmethode setzen wir voraus, daß das Lineare Programm bereits als vollständiges zulässiges Lineares Programm (LP ) vorliegt. Die Phase II besteht aus folgenden Teilen: 1. Bestimme eine Spalte s mit c s = min{c k : 1 k n}. Ist c s 0, dann STOP : Die zu (LP ) gehörende Basislösung ist Optimallösung. Warum? 2. Es sei c s < 0. Dann bestimme eine Zeile r so, daß b r a rs = min { bj a js : für alle j mit a js > 0 (a) Falls alle a js 0, j = 1,..., m, dann STOP, denn es existiert keine endliche Optimallösung; Warum? (b) anderenfalls führe Gauß-Jordan-Transformation aus für die Spalten s mit Pivotelement a rs (siehe unten!). Das neue Lineare Programm (LP ) 1 ist vollständig und zulässig. Der Wert d 1 der zugehörigen Basislösung erfüllt d 1 d. 3. Führe einen nächsten Simplexschritt aus mit StartProgramm (LP ) 1, und so weiter. Im Schritt 2b der Simplexmethode wird durch Gauss-Elimination die Spalte s in die Spalte e r des IR m+1 umgewandelt. Hierbei bleiben die anderen Einheitsvektoren des IR m+1 erhalten. Mit anderen Worten, es ist J (1) j := { Jj für j = 1,..., m, j r s für j = r. }. Wir wollen dieses Verfahren an einem Beispiel einüben: Maximiere 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 unter den NB x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 + 3x 3 40 x 1 + 5x 2 + x x 1 + 3x 2 30 x 1 0, x 2 0, x 3 0. Die Standardform ist dann x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b

4 Schritt 1: Es ist s = 2 und r = 3. Folglich wird (LP ) 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b Schritt 2: Es ist s = 1 und r = 1. Folglich wird (LP ) 2 Dies ist ein optimales Endtableau. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b Ergebnis: Eine optimale Basislösung ist gegeben durch x 1 = 7.50, x 2 = 2.50, x 3 = 0.00, und der maximale Gewinn ist d = Euro. Aus dem optimalen Tableau kann man sogar ablesen, daß es keine weitere Optimallösung gibt, weil bei den Nichtbasisvariablen x 3, x 4, x 6 die Werte in der letzten Zeile positiv sind. Wir wollen eine Begründung für die Phase II der Simplexmethode geben: Durch die Wahl des Spaltenindexes s stellt man sicher, daß der Gewinn d nicht abnimmt, denn es ist d 1 = d c s a rs b r und somit d 1 d, da c s < 0 und b r 0. Im Falle b r > 0 ist sogar d 1 > d. Man nennt das Tableau (LP ) nicht entartet, falls alle Komponenten b 1,..., b m von b positiv sind. Durch die Wahl des Zeilenindexes r stellt man sicher, daß die rechte Seite b (1) von (LP ) 1 nichtnegativ ist, also die zu (LP ) 1 gehörende Basislösung zulässig ist. Wir können leicht verifizieren, daß die Basislösung eines Tableaus eine optimale Lösung ist, falls alle n Zahlen der letzten Zeile (außer d) nichtnegativ sind. 16

5 Satz Sind alle bei der Phase II der Simplexmethode auftretenden Tableaus nicht entartet, so endet das Verfahren nach endlich vielen Schritten mit einem optimalen Tableau. Die Basislösung dieses optimalen Tableaus ist eine Optimallösung. 2. Tritt bei der Phase II der Simplexmethode Entartung auf, so kann man dafür sorgen (zum Beispiel : lexikographisches Simplexmethode), daß keine Basislösung öfter als einmal auftaucht. Dann konvergiert die Phase II der Simplexmethode nach endlich vielen Schritten. Beweis: Es gibt n Variable x 1,..., x n, und jede Basis besteht aus m der n Indizes 1, 2,..., n. Insgesamt gibt es also ( ( n m) verschiedene Basen und höchsten n m) verschiedene zulässige Basen. Da in 1. der Gewinn der Basislösung steigt, kann keine Basislösung zweimal auftreten. Dies ist auch in 2. ausgeschlossen. Anstelle der lexikographischen Simplexmethode kann man viel einfacher vermeiden, daß keine Basislösung öfter als einmal auftaucht: Beim Auftreten eines b j = 0 schreibt man statt der Null eine sehr kleine variierende positive Zahl. Was aber tun wir, wenn uns ein Lineares Programm (LP) vorliegt, (LP ) unter den NB max z ( ) ( ) ( ) A 0 x b = c 1 z d x 0, das kein vollständiges zulässiges Lineares Programm ist? Dann müssen wir die sogenannte Phase I der Simplexmethode vorschalten: Fall 1: Ist b 0 und enthält die m n-matrix A alle m Einheitsvektoren des IR m als Spalten, und zwar in den Spalten J = (J 1,..., J m ), so können wir die zugehörigen c Jj, j = 1,..., m, der letzten Zeile leicht durch Gauß-Elimination zu Null ( machen, ) oder? A 0 b Richtig, subtrahiere von der letzten Zeile der Matrix für alle j = 1, 2,..., m c 1 d das c Jj fache der Zeile j. Fall 2: Im allgemeinen Fall müssen wir härter arbeiten. ( Wenn ) wir irgendwelche m verschieden A Spaltennummern J = (J 1,..., J m ) der Matrix auswählen, so könnte die zugehörige c 17

6 m m-matrix A J singulär sein. Ist aber A J nichtsingulär, ( so könnten ) wir durch Gauß- A 0 b Elimination die Spalten J = (J 1,..., J m ) der Matrix in die Einheitsspalten c 1 d e 1, e 2,..., e m des IR m+1 überführen. Aber die zu J gehörende Basislösung x IR n mit x J = A 1 J b könnte negative Komponenten haben, also nicht zulässig sein. Um Indexvektor J = (J 1,..., J m ) zu finden, dessen Basislösung x IR n mit x J = A 1 J b zulässig ist, also nur nichtnegative Komponenten besitzt, gehen wir wie folgt vor: Wir dürfen annehmen, daß alle b j 0 sind. Ansonsten multiplizieren wir die Zeile j mit 1. Anstelle der m n-matrix A nehmen wir die m (n + m)-matrix (A, I) mit der m m-einheitsmatrix I und führen die m neuen Variablen x n+1, x n+2,..., x n+m ein. Das folgende Lineare Programm (LP ) 0 ist dann vollständiges und zulässig : (LP ) 0. max z unter den NB x 1 a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 a 21 a 22 a 23 a 2n b x n = 2 x n+1 a m1 a m2 a m3 a mn b m x n+m x n+1 + x n x n+m + z = 0 x k 0 für alle k = 1, 2,..., n + m. Unser Starttableau für (LP ) 0 ist also ( ) A 0 b c = 1 d a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 a m1 a m2 a m3 a mn b m Subtrahieren wir von Zeile m + 1 alle Zeilen 1 bis m, so erhalten wir ein vollständiges zulässiges Lineares Programm. Hierauf wenden wir nun die Phase II der Simplexmethode an. Tritt keine Entartung auf oder vermeiden wir Wiederholungen, so endet die Phase II wegen Satz 1 nach endlich vielen Schritten mit einem optimalen Tableau für das Ausgangsproblem (LP ) 0. 18

7 Ist der maximale z-wert dann z = 0, so ist die zugehörige optimale Basislösung eine zulässige Basislösung des ursprünglichen linearen Optimierungsproblems (LP ), und wir können die Phase II für (LP ) mit dieser zulässigen Lösung einläuten. Ist der maximale z-wert aber z < 0, so besitzt (LP ) keine zulässige Lösung, das heißt, es gibt kein x IR n mit den Eigenschaften Ax = b, x 0. 19