Hinweise für Schüler

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Christoph Kurzmann
vor 6 Jahren
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1 Abitur 2007 Mathematik Lk CAS Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenauswahl: Bearbeitungszeit: Die Arbeit besteht aus einem Pflichtteil und einem Wahlteil. Die Pflichtaufgaben P1, P2 und P3 sind vollständig zu bearbeiten. Von den drei Wahlaufgaben W1, W2 und W3 sind zwei auszuwählen und zu lösen. Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl. Hilfsmittel: das an der Schule eingeführte Tafelwerk der an der Schule zugelassene Taschenrechner mit CAS Zeichengeräte Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Hinweise: Sonstiges: Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganten, kreativen und rationellen Lösungen, vollständiger Lösung einer dritten Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Verstößen gegen mathematische Korrektheit und äußere Form abgezogen werden.

2 Abitur 2007 Mathematik Lk CAS Seite 3 P1 Analysis (16 BE) Eine Schar von Funktionen f a ist durch die Gleichung f(x) a = x + 2 a x, x R,a R 3 gegeben. Die Graphen von f a sind K a. 1.1 Weisen Sie nach, dass jeder Graph K a punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. 1.2 Der Graph K a und die x-achse schließen für jeden Wert von a (a > 0) im ersten Quadranten eine Fläche vollständig ein. Ermitteln Sie denjenigen Wert von a, für den der Inhalt dieser Fläche genau 24 Flächeneinheiten beträgt. 1.3 Es gibt eine ganzrationale Funktion g dritten Grades mit den folgenden Eigenschaften: I g(0) = f 2 (0) II Die Wendestelle von g stimmt mit der Wendestelle von f 2 überein. III Die Tangente im Wendepunkt des Graphen von g steht senkrecht auf der Tangente im Wendepunkt von K 2. IV Die positive Extremstelle von f 2 ist eine Extremstelle von g. Geben Sie für die Funktion g eine Gleichung an. P2 Analytische Geometrie und Vektorrechnung (11 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2 1 0), B( 2 4 2), C(1 3 2) und D( 1 2 5) gegeben. 2.1 Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden g AB und h CD. 2.2 Durch die Punkte A, B und C ist eine Ebene ε eindeutig bestimmt. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung für ε. 2.3 Die Punkte A, B, C und D sind Eckpunkte einer Pyramide Zeichnen Sie diese Pyramide Prüfen Sie, ob der Punkt P( 6 7 4) auf der Kante AB liegt.

3 Abitur 2007 Mathematik Lk CAS Seite 4 P3 Stochastik (11 BE) In Autos eines Herstellers werden auf Kundenwunsch komplette Freisprechanlagen mit Mobiltelefon eingebaut. Dabei funktionieren diese Komplettanlagen nur, wenn sowohl Freisprechanlage als auch Mobiltelefon funktionstüchtig sind und der Einbau der Freisprechanlage ordnungsgemäß erfolgte. Zurzeit bezieht der Hersteller die Komplettanlagen von der Firma A. Erfahrungsgemäß sind von den Freisprechanlagen 2 % und von den Mobiltelefonen 0,5 % fehlerhaft. Der Einbau erfolgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ordnungsgemäß. Die Fehler treten unabhängig voneinander auf. 3.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Komplettanlage in einem zufällig ausgewählten Auto funktioniert. 3.2 Der Autohersteller liefert 800 Autos mit Komplettanlagen aus. Berechnen Sie die zu erwartende Anzahl der Reklamationen wegen defekter Komplettanlagen. (Annahme: Jede fehlerhafte Komplettanlage wird auch reklamiert.) 3.3 Jede reklamierte Komplettanlage verursacht für den Autohersteller zusätzliche Kosten von durchschnittlich 400. Von der Firma B werden Freisprechanlagen mit nur 0,1 % und Mobiltelefone mit 0,2 % Fehleranteilen zugesichert. Der Einbau erfolgt zu 5 % fehlerhaft. Dieses Angebot hat für den Autohersteller einen um 15 % höheren Preis für jede Komplettanlage im Vergleich zu Firma A. Bis zu welchem Preis lohnt es sich für den Autohersteller, die Komplettanlage von Firma B zu beziehen? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.

4 Abitur 2007 Mathematik Lk CAS Seite 5 W1 Analysis (21 BE) Ein mineralisches Substrat wird mit Pflanzenerde gemischt, um den Ertrag in Gewächshäusern zu maximieren. Substratzahl 2 bedeutet 20 % Substrat und 80 % Erde. Erprobungen sind kostenintensiv. Die Gewächshausbesitzer möchten mit wenigen Daten den Zusammenhang zwischen Substratzahl und Ertrag möglichst gut modellieren. 1.1 Eine Erprobung in drei Gewächshäusern liefert folgende Tabelle 1 (ME = Mengeneinheiten): Substratzahl x Ertrag y in ME Für Modellierungen eignen sich Exponentialfunktionen h der Form 2 b x + c x y = h(x) = a e mit x, a, b, c R, a > 0, c < 0. Rekonstruieren Sie anhand der gegebenen Daten die zugehörende Exponentialfunktion Geeignet sind auch Funktionen g der Form r y = g(x) = 2 x + p x+ q mit x, r, p, q R, r > 0, p 2 < 4 q. Ihre mathematischen Eigenschaften werden genauer untersucht. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte der Graphen von g. Ermitteln Sie eine Gleichung für den geometrischen Ort der Extrempunkte der Schar in Abhängigkeit von den Parametern r und q. Rekonstruieren Sie diejenige Funktion g, die durch Tabelle 1 eindeutig bestimmt ist. 1.2 Eine Erprobung in 10 Gewächshäusern ergibt Tabelle 2: Substratzahl x , Ertrag y in ME 0,4 0, ,7 1,3 1 0,4 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 12 y = f(x) = mit x R. 2 x 10 x + 28 Es wird vermutet, dass die Funktion f die Daten aus Tabelle 2 mit hinreichender Genauigkeit erzeugt. Stellen Sie die Daten von Tabelle 2 sowie den Graphen G von f im gleichen Koordinatensystem dar. Beurteilen Sie die Brauchbarkeit von f zur Modellierung des Ernteertrages in Abhängigkeit von der Substratzahl. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G. Berechnen Sie den maximalen Ernteertrag. Zeigen Sie, dass der Graph von f axialsymmetrisch zur Geraden x = 5 ist.

5 Abitur 2007 Mathematik Lk CAS Seite 6 W2 Geometrie (21 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte B und C sowie die Gerade g gegeben 3 3 B(1 6 1), C(10 1 0), g : x = 19 + r 6 mit r R Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte A r auf der Geraden g so, dass das Dreieck A r B C bei A r rechtwinklig wird. 2.2 Für r = 2 bestimmt der Punkt A 2 mit B und C ein Dreieck Prüfen Sie, ob dieses Dreieck gleichschenklig ist. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der das Dreieck liegt Das Dreieck A 2 BC ist Grundfläche eines dreiseitigen Prismas A 2 BCDEF. Der Punkt D der Deckfläche hat die Koordinaten (2 4 4). Die Strecke A 2 D ist eine Kante des Körpers. Geben Sie die Koordinaten der Punkte E und F an. Zeichnen Sie das Prisma in ein geeignetes Koordinatensystem. Untersuchen Sie, ob es sich um ein gerades Prisma handelt Im Punkt L(16 4,5 8) befindet sich eine Laserlichtquelle. Durch den von dort ausgehenden Strahl hoher Intensität wird der Körper längs der Seitendiagonalen CD zerschnitten. Dabei entstehen zwei Teilkörper. Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper.

6 Abitur 2007 Mathematik Lk CAS Seite 7 W3 Analysis und Stochastik (21 BE) Gegeben ist eine Schar von Funktionen f k durch die Gleichung k 1 f (x) = ln ; x D, k R, k > 1. k k k x f Ihre Graphen sind G k 3.1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f k. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen im Unendlichen und an den Grenzen des Definitionsbereichs. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen an. 3.2 Begründen Sie, dass jede Funktion f k der Schar umkehrbar ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktionen. 3.3 In einer Glasfabrik stellt ein Produktionsroboter Schalen in verschiedenen Größen und Farben her. Die Form der Schalen kann durch die Rotation des Teilstücks von B bis R des Graphen G 3 um die y-achse beschrieben werden (Wandstärke wird vernachlässigt, siehe Skizze). Der Punkt R liegt auf dem oberen Rand der Schale. B liegt auf dem Rand der ebenen Standfläche und im Koordinatensystem auf der x-achse. (1 LE entspricht 5 cm.) Berechnen Sie das Fassungsvermögen einer Schale, deren oberer Durchmesser 20 cm beträgt Die Schalen werden in acht verschiedenen Farben hergestellt. Schalen gleicher Größe werden im Sechserpack verkauft. Jede Schale in einer Packung besitzt eine andere Farbe. Bestimmen Sie die Anzahl der verschiedenen Sechserpacks Der Anteil der fehlerhaften Schalen beträgt 10 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 200 Schalen mindestens 21 fehlerhaft? Zur Qualitätsverbesserung wurde der Produktionsroboter mit neuer Software ausgerüstet. Das Ziel bestand darin, den Ausschussanteil auf höchstens 6 % zu senken. Bei einer Stichprobe des Umfangs 200 erwiesen sich 15 Schalen als defekt. Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 % davon ausgehen, dass die angestrebte Qualitätsverbesserung erreicht worden ist?

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