SS 2018 Torsten Schreiber

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1 SS 08 orsten Shreier 8

2 Beim inneren Produkt ) wird komponentenweise multipliziert und die entstehenden Produkte nshließend. Somit hndelt es sih um keine d nur eine Zhl Sklr) ls Lösung heruskommt. Ds Sklrprodukt wird u.. dzu genutzt um die eines Vektors zu erehnen in dem mn die Wurzel drus zieht zw. um den Winkel zwishen zwei Vektoren zu erehnen. Ds äußere Produkt ) zweier Vektoren ildet eine Opertion d.h. ls Lösung muss immer ein Vektor heruskommen. Ds Vektorprodukt ls uh die Differenz von Vektoren sind d.h. ds Ergenis der Rehnung wird mit minus Eins multipliziert. Zwei Vektoren sind qusi gleih wenn diese useinnder erzeugr sind d.h. der eine Vektor ein des nderen Vektor ist. Wenn mn ein Vektorensystem uf linere )Ahängigkeit prüfen möhte dnn ildet mn im ersten Shritt die der zugehörigen Vektoren in dem mn vor jeden Vektor einen Prmeter setzt. Diese Komintion muss den ergeen. Kommt ls Ergenis nur die herus so sind die Vektoren liner unhängig und ilden ddurh eine sogennnte. Kommt zusätzlih zu der rivillösung eine weitere Lösung herus so sind die Vektoren liner. Ist eine Bsis vorhnden so git die Anzhl der Vektoren die des Systems n und der Spn der Vektoren ildet somit den der Dimension. SS 08 orsten Shreier 9

3 hemen die Sie nh dieser Vernstltung kennen sollten: Ws sind die Koordinteneinheitsvektoren? Ws edeutet der Euklidishe Vektorrum? Welhe Klssen von Vektoren eistieren? Wie definieren wir eine Gerde? Wie können Gerden zueinnder verlufen? Wie funktioniert der Entsheidungsum der Lgereltion? Wie erehnet mn den Astnd von Gerde Punkt) zu Gerde? Aufgen und Üungen zu den ennnten hemen. SS 08 orsten Shreier 0

4 Berehnen Sie sofern möglih den Winkel zw. den Astnd der Vektoren und geen die Länge der Vektoren n. ) d Bestimmen Sie jeweils die fehlende Koordinte so dss die jeweiligen Vektoren senkreht ufeinnder stehen. ) X X ) X ) 7 SS 08 orsten Shreier

5 Stellen Sie den Vektor ls Linerkomintion der Vektoren dr. ) Bilden die gegeenen Vektoren eine Bsis? Geen Sie die m. möglihe Dimension n. ) 7 7 d d 8 9 d SS 08 orsten Shreier

6 Als Grundlge für Gerden- und Eenenerehnung im -dimensionlen Rum dient der Euklidishe Vektorrum. RRR R Die Vektoren können niht nur senkreht sondern uh in der wgerehten der sogennnten trnsponierten Form y z) drgestellt werden. Y-Ahse i 00) p y z) j 00) j k k 00) i X-Ahse Koordinteneinheitsvektoren Z-Ahse Betrg: Winkel: p r + y + z y os i p) os j p) os k p) r r z r SS 08 orsten Shreier

7 Für die Vektorrehnung im Bereih von Gerden Eenen und Körper ist es wihtig die eiden möglihen Arten von Vektoren zu untersheiden. Ortsvektor: Stellt die direkte Verindung vom Ursprung zu einem elieigen Punkt im Rum dr. 0A Rihtungsvektor: Werden zwei elieige Punkte im Rum verunden so erhält mn den Rihtungsvektor der sih stets us der Differenz zwishen Endpunkt und Anfngspunkt erehnet. AB Beispiel: Ortsvektor: Rihtungsvektor: Y-Ahse X-Ahse SS 08 orsten Shreier

8 Eine Gerde ist die grphishe Drstellung einer lineren Gleihung estehend us Steigung und Strtpunkt zw. Ahsenshnitt und wird in folgenden zwei Arten drgestellt. Prmeterfreie Form: Ahsenshnitt m Steigung Prmeterform: Ortsvektor Strtpunkt) Rihtungsvektor m y + AB + α 7) ) B A AB Beispiel: Prmeterfreie Form: Prmeterform: 7 m y ) 7 m y + y + + ) ) α α SS 08 orsten Shreier

9 ) ) ) A B Berehnen Sie sowohl die prmeterfreie ls uh die Prmeterform der Gerde durh die folgenden Punkte und fertigen Sie eine Skizze n. ) Geen Sie die Prmeterform der Gerden durh folgende Punkte n. ) ) 6 ) A B ) ) ) ) Prüfen Sie o die folgenden Punkte uf einer Gerden liegen. 6 ) ) z y ) Berehnen Sie ds äußere Produkt der folgenden Vektoren. ) ) ) ) ) ) SS 08 6 orsten Shreier