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1 3.4. Eindimensionale Wärmeleitungsgleichung Eindimensionale Wärmeleitungsgleichung Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt die Temperaturverteilung in einem homogenen, wärmeleitenden Medium wie zum Beispiel in einem Kupferdraht oder einer Kupferplatte. Sie lautet u(x,t) = u t (x,t) für alle x Rn, t R, wobei u(x,t)dietemperatur zumzeitpunkt tander Stellex angibt.betrachten wir wieder denfall n = 1 und = [,L] (L > ) genauer, dabei geht es zum Beispiel um die Temperaturverteilung in einem Draht der Länge L. Nehmen wir weiter an, dass die Temperatur in den Drahtenden konstant gehalten wird. Nach Abzug dieser Konstanten erhalten wir folgende Randbedingung: u(,t) = u(l,t) = für alle t R. Analog zum Vorgehen bei der Wellengleichung können wir auch hier Lösungen konstruieren, indem wir zunächst die Produktlösungen bestimmen und dann einen Reihenansatz aufstellen. Durch Superposition dieser Produktlösungen erhält man wiederum sämtliche Lösungen der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung. Der entsprechende Satz lautet hier: Satz Zu jeder beliebig vorgegebenen Funktion f Cs 1 ([,L],R) mit f() = f(l) = gibt es genau eine Lösung u C 2 ([,L] R,R) der Wärmeleitungsgleichung 2 u u x2(x,t) = (x,t) für alle x [,L], t R t zur Randbedingung u(,t) = u(l,t) = für alle t R, die folgende Anfangsbedingung erfüllt: u(x,) = f(x) für alle x [,L]. Diese Lösung hat folgende Gestalt: u(x,t) = c k e (kπ L )2t sin(k π L x), wobei c k = 2 L k=1 L f(x)sin(k π L x)dx. Es reicht hier vorauszusetzen, dass f nur stückweise einmal stetig differenzierbar ist. Die Faktoren e (kπ L )2t sorgen dann dafür, dass die aus den Fourierkoeffizienten vonf konstruierte Funktionuauf(,L) R > sogarbeliebig oftnachxundtpartiell differenzierbar ist. Ausserdem gilt offenbar für alle x lim u(x,t) =. t Die Temperatur klingt also im Laufe der Zeit ab. Die Eindeutigkeit der Lösung schliesslich ist eine Konsequenz des folgenden Maximumprinzips:

2 84 Kapitel 3. Partielle Differentialgleichungen Satz Sei T > vorgegeben und sei := [,L] [,T]. Sei weiter u: R eine stetige Funktion, die auf dem Inneren von die Wärmeleitungsgleichung erfüllt. Dann nimmt u das Maximum und Minimum unter den Werten auf auf der Teilmenge R := {(x,t) x = oder x = L oder t = } von an. Beweis. Zu ǫ > betrachten wir die Funktion v(x,t) := u(x,t) + ǫx 2. Die stetige Funktion v nimmt auf der kompakten Menge ihr Maximum an, etwa im Punkt (x,t ). Nehmen wir nun an, dieser Punkt gehöre nicht zur Teilmenge R, das heisst < x < L und < t T. Weil dann x ein innerer Punkt von [,L] ist, hat v dann an dieser Stelle ein lokales Maximum bezüglich x und daraus folgt Ausserdem muss gelten x v(x,t ) = und x x v(x,t ). t v(x,t ). Denn falls t < T, hat v auch bezüglich t an dieser Stelle ein lokales Maximum und daher ist t v(x,t ) =. Und falls t = T, so haben wir immerhin v(x,t) v(x,t) für t nahe bei T, und daraus folgt zumindest v(x,t) v(x,t) t v(x,t) = lim. t T T t Aus beiden Ungleichungen zusammen erhält man mit der Wärmeleitungsgleichung: t v(x,t ) = t u(x,t ) = x x u(x,t ) = x x v(x,t ) ǫ <. Dies ist ein Widerspruch, und daher muss der Punkt (x,t ) doch zu der Teilmenge R gehören. Ausserdem haben wir für alle (x,t) die folgende Abschätzung: u(x,t) v(x,t) v(x,t ) u(x,t )+ǫl 2. Durch Grenzübergang ǫ folgt nun wie behauptet u(x,t) max{u(x,t ) (x,t ) R}. Für das Minimum argumentiert man analog. q.e.d. Sucht man nach einer Beschreibung der Temperaturverteilung auf einem unendlich langen Draht, dann entfällt die Randbedingung und man braucht Lösungen der Wärmeleitungsgleichung u(x, t), die für alle x R definiert sind. Dafür werden wir jetzt nur positive Zeiten t zulassen und die Anfangsbedingung u(x,) = f(x) (für alle x R) vorgeben, wobei f eine integrierbare Funktion mit kompaktem Träger sein soll. In dieser Situation kann man mithilfe der Fouriertransformation eine Integraldarstellung der Lösung finden. Weil f kompakten Träger hat, ist die Fouriertransformierte von f wohldefiniert: ˆf(p) := 1 f(x)e ipx dx (p R).

3 3.4. Eindimensionale Wärmeleitungsgleichung 85 Wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation, die wir in diesem Zusammenhang verwenden können, sind die folgenden: F[f (x)](p) = p 2 ˆf(p) und F[f(x) g(x)](p) = 1 (ˆf ĝ)(p) für alle p R. Wenn wir auf die Wärmeleitungsgleichung und die Anfangsbedingung 2 u u x2(x,t) = t (x,t) u(x,) = f(x) die Fouriertransformation bezüglich der Variablen x anwenden, erhalten wir die Gleichungen p 2 û(p,t) = und û(p,) = ˆf(p). tû(p,t) Dies ist für festes p jeweils eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit Anfangsbedingung, und wir können die Lösung direkt angeben, nämlich û(p,t) = ˆf(p) e p2t. Durch Anwendung der inversen Fouriertransformation ergibt sich daraus die Lösung der ursprünglichen Gleichung, und zwar u(x,t) = 1 (f g)(x) wobei g(x) = F[e p2t ]( x) = 1 2t e x2 4t. Das Resultat lautet also folgendermassen: u(x,t) = 1 4πt f(y)e (x y)2 /4t dy. Der Exponentialfaktor sorgt für eine Glättung des Integranden, so dass u sogar unendlich oft differenzierbar ist, selbst wenn die Anfangsfunktion f nicht glatt war Beispiel Stellen wir uns vor, wir erhitzen zu Beginn der Beobachtung einen unendlich ausgedehnten Draht auf dem Abschnitt von a bis +a (wobei a > vorgegeben ist) auf den konstanten { Wert c >. Das bedeutet, die Anfangsbedingung lautet hier u(x,) = f(x) =. Dann erhalten wir für die c für a < x < a sonst zugehörige Lösung der Wärmeleitungsgleichung diese Integralformel: u(x,t) = c 4πt a a e (x y)2 /4t dy = c x+a e ξ2 /4t dξ. 4πt Insbesondere ist also u(x,t) > für alle t > und alle x R. Das bedeutet, dass wir eine blitzartige Ausbreitung der Wärme feststellen. Ausserdem ist u(x, t) für t > unendlich oft differenzierbar. x a

4 86 Kapitel 3. Partielle Differentialgleichungen Allgemeiner versteht man unter einer parabolischen Evolutionsgleichung auf einem Gebiet R n eine Differentialgleichung der Form t u(x,t) = L(u(x,t)) x,t, wobei L ein linearer Differentialoperator ist, der nur vom Ort x abhängt. Die Menge der Lösungen einer solchen Evolutionsgleichung hat die Struktur einer Halbgruppe und weist damit eine Ähnlichkeit zu dynamischen Systemen auf. Denn wenn u(x,t) eine Lösung ist, so auch ũ(x,t) := u(x,t+t ) für jedes fest gewählte t >. Bei eindeutiger Lösbarkeit der Differentialgleichung (zu vorgegebenen Randwerten und Anfangsbedingung) kann man nun für t jeweils einen Lösungsoperator Φ t :C () C () definieren, nämlich: Φ t (f)(x) = u(x,t), wobei u die Lösung zur Anfangsbedingung u(x,) = f(x) für alle x ist. Die Schar von Lösungsoperatoren bildet eine Halbgruppe: Φ (f) = f Φ s (Φ t (f)) = Φ s+t (f) s,t Ausserdem tritt ein Glättungseffekt ein, das heisst, Φ t (f) C () t >. Aus diesem Grund ist Zeitumkehr nicht immer möglich. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lösungen im Raum ist unendlich.

5 3.5. Inhomogene partielle Differentialgleichungen Inhomogene partielle Differentialgleichungen Die inhomogene Entsprechung der Laplacegleichung ist die Poissongleichung (u)(x) = ρ(x) (x R n ), wobeiρeinevorgegebenestetigefunktionaufdemgebietist.wennzumbeispielρ die räumliche Verteilung von elektrischer Ladung angibt, dann ist eine Lösung u der Poissongleichung eine Potentialfunktion für das elektrische Feld zu dieser Ladung, das dann durch (u) beschrieben wird. Die Lösung der Poissongleichung ist nicht eindeutig bestimmt, aber die Differenz zweier Lösungen u 1 und u 2 löst die Laplacegleichung, muss also harmonisch sein. Deshalb genügt es, eine Lösung der Poissongleichung zu konstruieren. Alle weiteren ergeben sich daraus durch Addition einer passenden harmonischen Funktion. Eine solche besondere Lösung der inhomogenen Gleichung können wir durch Faltung von ρ mit der sogenannten Elementarlösung konstruieren. Dazu definieren wir das Newtonpotential E:R n \ {} R abhängig von der Dimension n folgendermassen: n = 1: E(x) = 1 x (für x R, x ). 2 n = 2: E(x) = 1 ln( x ) (für x R2, x ). 1 n > 2: E(x) = (für x R n, x ), wobei ω (2 n)ω n x n 2 n das (n 1)- dimensionale Volumen der Einheitssphäre in R n angibt (ω 3 = 4π). Das dazugehörige Gradientenvektorfeld können wir einheitlich angeben: E(x) = 1 ω n x x n (x R n ) Satz DasNewtonpotential ist auf R n \{} harmonisch, das heisst E(x) = für allex R n, x. Ausserdem gilt für jedefunktion f C 2 (R n ) mit kompaktem Träger: (E f)(x) = E(x y) f(y)d n y = f(x). R n Das Integral existiert also, obwohl der Integrand bei x = y eine Singularität hat. Wir können diese Aussage auch so auffassen, dass (E) die Diracsche δ-funktion δ ist. Denn wenn (E) konsistent definiert werden kann, muss gelten: ( (E) f)() = (E f)() = f(), und dies charakterisiert ja bereits die Diracfunktion. Man spricht deshalb auch von der Elementarlösung E des Laplaceoperators Bemerkung Das Newtonpotential E hängt eigentlich nur von x ab. Es handelt sich also um eine harmonische Funktion auf R n \, die nur von der Entfernung vom Nullpunkt abhängt. Durch diese beiden Eigenschaften ist E (bis auf eine Konstante) bereits eindeutig festgelegt.

6 88 Kapitel 3. Partielle Differentialgleichungen Wir erhalten nun eine Lösung der Poissongleichung durch Faltung der zugehörigen Inhomogenität ρ mit der Elementarlösung des Laplaceoperators Folgerung Ist ρ:r n R eine C 2 -Funktion mit kompaktem Träger, so ist u(x) := (E ρ)(x) = E(x y)ρ(y)d n y (x R n ) R n eine Lösung der Poissongleichung u = ρ. Für n = 3 erhalten wir konkret folgende Lösung u(x) = 1 ρ(y) 4π x y d3 y (x R 3 ). R 3 Beweis. Wir setzen ein und verwenden die Substitution ξ = x y für alle x R n : (u)(x) = (E ρ)(x) = E(x y) ρ(y)d n y = E(ξ) ρ(x ξ)d n ξ = ρ(x). R n R n q.e.d. Beweis des Satzes: Man kann direkt nachrechnen, dass die Newtonpotentiale auf ganzr n \{}harmonischsind.diezweitebehauptungistfürn = 1leichteinzusehen. Im Fall n = 2 ist für jede Funktion f C 2 (R 2 ) mit kompaktem Träger zu zeigen: (E f)() = 1 R 2 ln( x ) f(x)d 2 (x) = f(). Dazu schreiben wir das Integral um in Polarkoordinaten und erhalten 1 ( 2 ln(r) 1 r 2f(r,ϕ)+ r r f(r,ϕ)+ 1 ) 2 r 2 ϕ 2f(r,ϕ) rdrdϕ = 1 ( ln(r) r (r r f(r,ϕ))+ ln(r) ) 2 r ϕ 2f(r,ϕ) drdϕ. Der zweite Summand trägt nichts bei zum Integral. Denn weil f(r,ϕ) bezogen auf ϕ periodisch ist mit Periode, liefert Vertauschung der Integrationsreihenfolge: ln(r) r 2 ϕ 2f(r,ϕ)dϕdr = ln(r) ( ϕ f(r,) ϕ f(r,))dr =. r Durch partielle Integration des ersten Summanden bezüglich r wird daraus 1 r f(r,ϕ)drdϕ+ 1 ln(r) r r f(r,ϕ) dϕ.

7 3.5. Inhomogene partielle Differentialgleichungen 89 Weil f kompakten Träger hat, verschwindet r f(r,ϕ) für grosses r, und deshalb fällt der zweite Term weg. Wenn wir wiederum ausnutzen, dass f kompakten Träger hat, erhalten wir (E f)() = 1 r f(r,ϕ)drdϕ = 1 f()dϕ = f(), wie behauptet. ImFalln > 2argumentierenwir folgendermassen. Sei einefunktionf C (R n ) mit kompaktem Träger vorgegeben. Dann ist zu zeigen: f(x) R x n n 2 dn x = (2 n)ω n f(). Weil f kompakten Träger hat, verschwindet f ausserhalb einer genügend grossen Kugel K = K R () von Radius R > um den Nullpunkt. Es reicht daher, wenn wir das Integral über K betrachten. Wegen der Singularität des Integranden im Nullpunkt, schneiden wir ausserdem zunächst eine kleine Kugel K ǫ () um den Nullpunkt aus dem Integrationsgebiet aus und lassen dann später ǫ gegen Null gehen. Wir untersuchen also zunächst das Integral über das Gebiet := K R ()\K ǫ () g(x) f(x)d n x, wobei g(x) := 1 für x. x n 2 Hierfür können wir den Satz von Green verwenden, der eine Konsequenz des Gaussschen Integralsatzes ist, nämlich: (g(x) f(x) f(x) g(x))d n x = (g(x) n(x) f(x) f(x) n(x) g(x))dσ(x), wobei n(x) die Ableitung in Richtung des äusseren Normalenvektors n(x) im Punkt x bezeichnet. Der Rand von besteht hier aus zwei Teilen, dem Rand der grossen Kugel von Radius R und dem Rand der kleinen Kugel von Radius ǫ. Weil g auf harmonisch ist und f und alle seine Ableitungen auf dem Rand von K R () verschwinden, gilt: g(x) f(x)d n x = (g(x) f(x) f(x) g(x))d n x = K ǫ() (g(x) n(x) f(x) f(x) n(x) g(x))dσ(x). Für alle x K ǫ () gilt x = ǫ und daher g(x) = 1. Weil f nach Voraussetzung ǫ n 2 glatt ist, gibt es ausserdem eine Konstante M R mit n(x) f(x) M für alle x ǫ. Das (n 1)-dimensionale Volumen des Randes von K ǫ () beträgt ω n ǫ n 1. Also können wir den ersten Teil des Integrals abschätzen: K ǫ() g(x) n(x) f(x)dσ(x) M ǫ n 2 K ǫ() dσ(x) = M ǫ n 2ǫn 1 ω n = Mω n ǫ.

8 9 Kapitel 3. Partielle Differentialgleichungen Lassen wir nun ǫ gegen Null gehen, verschwindet dieser Anteil. Betrachten wir nun den zweiten Teil des Integrals. Wie schon bemerkt ist g(x) = (2 n) x für x. Der von aus gesehen äussere Normalenvektor n(x) an x n einen Punkt x auf dem Rand von K ǫ () zeigt in Richtung des Nullpunktes, also ist n(x) = x. Daraus folgt x 1 n(x) g(x) = g(x),n(x) = (n 2) x. n 1 Der zweite Teil des Integrals lautet also: ( f(x) n(x) g(x))dσ(x) = (2 n) ǫ n 1 K ǫ() K ǫ() f(x)dσ(x). Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es, weil f stetig ist, eine Stelle x auf dem Rand von K ǫ () mit (2 n) f(x)dσ(x) = (2 n) ω ǫ n 1 ǫ n 1 n ǫ n 1 f(x ). K ǫ() Beim Grenzübergang ǫ geht x gegen, und wir erhalten wie behauptet: g(x) f(x)d n (2 n) x = lim f(x)dσ(x) = (2 n)ω ǫ ǫ n 1 n f(). Damit ist alles gezeigt. q.e.d. K ǫ() Auf entsprechende Art kann man auch für andere inhomogene partielle Differentialgleichungen Lösungen durch Faltung der Inhomogenität mit einer Elementarlösung konstruieren Definition Unter einem linearen Differentialoperator D zweiter Ordnung in n Variablen mit konstanten Koeffizienten versteht man einen Differentialoperator der Form n n D = α kj k j + β k k +γ, k,j=1 wobei α kj,β k,γ festgewählte Zahlen sind. Die entsprechende homogene Differentialgleichung lautet D(u)(x) = (x R n,u C 2 ()). Jede stetige Funktion f C () liefert ausserdem eine inhomogene Differentialgleichung, nämlich D(u)(x) = f(x) (x R n,u C 2 ()) Beispiele Die Wellengleichung ist die homogene Differentialgleichung, definiert durch den Differentialoperator k=1 D = c 2 2 t 2.

9 3.5. Inhomogene partielle Differentialgleichungen 91 Die Wärmeleitungsgleichung ist die homogene Differentialgleichung, definiert durch den Differentialoperator D = t. Die Helmholtzgleichung wird definiert durch den Operator D = +k 2, wobei k > gegeben ist. Der Differentialoperator zur Schrödingergleichung ohne Potential lautet D = +i t Definition Man bezeichnet eine Funktion E:R n \{} als Elementarlösung für den Differentialoperator D, wenn D(E)(x) = ist für alle x und (E D(f))() = f() für alle glatten Funktionen f mit kompaktem Träger. Diese Bedingungen können wir auch so verstehen, dass D(E) = δ. Analog zum Fall des Laplaceoperators gilt auch hier: Folgerung Ist E eine Elementarlösung für den Differentialoperator D und f:r n R eine stetige Funktion mit kompaktem Träger, so ist u(x) := (E f)(x) = E(x y)f(y)d n y (x R n ) R n eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung D(u) = f Beispiel Eine Elementarlösung für den Wärmeleitungsoperator lautet folgendermassen: { E(x,t) = exp( ( x 2 /4t)) falls t > (4πt) n/2 sonst Dazu mehr in den Übungen.

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