Münchner Volkshochschule. Planung. Tag 05

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1 Planung Tag 05 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 108

2 Lösen von Gleichungen Höhere (algebraische) Polynomgleichungen 0 = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (Ab n 4 [ n: Grad des Polynoms] existieren keine einfachen Lösungsverfahren mehr.) Basiswissen: Aussagen über Gleichungen n-ten Grades: i) a i R, i = 0,, n, die Koeffizienten des Polynoms, mit a n : der Leitkoeffizient, a 0 : das konstante Glied ii) Eine Gleichung n-ten Grades besitzt höchstens n reelle Lösungen. iii) Eine Gleichung ungeraden Grades besitzt immer mindestens eine reelle Lösung Formales Vorgehen zur Lösung von Gleichungen n-ten Grades 1) raten einer Lösung 2) Anwenden des Reduktionssatzes, z.b. via Polynomdivision 3) Wdh. Von 1) und 2), bis das Polynom vollständig in lineare und unzerlegbare quadratische Faktoren zerfallen ist. 4) Aufstellen des Lösungsmenge. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 109

3 Lösen von Gleichungen Höhere (algebraische) Polynomgleichungen 0 = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (Ab n 4 [ n: Grad des Polynoms] existieren keine einfachen Lösungsverfahren mehr.) Basiswissen: Aussagen über Gleichungen n-ten Grades: i) a i R, i = 0,, n, die Koeffizienten des Polynoms, mit a n : der Leitkoeffizient, a 0 : das konstante Glied ii) Eine Gleichung n-ten Grades besitzt höchstens n reelle Lösungen. iii) Eine Gleichung ungeraden Grades besitzt immer mindestens eine reelle Lösung Formales Vorgehen zur Lösung von Gleichungen n-ten Grades 1) Raten einer Lösung 2) Anwenden des Reduktionssatzes, z.b. via Polynomdivision. 3) Wdh. Von 1) und 2), bis das Polynom vollständig in lineare und unzerlegbare quadratische Faktoren zerfallen ist. 4) Aufstellen des Lösungsmenge. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 110

4 Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 111

5 Lösen von Gleichungen Bruchgleichungen 1 16 z.b. x 1 x 0) Definitionsmenge bestimmen D = R 0; 1 1) Mit dem Hauptnenner multiplizieren 1 16 x 1 x x 16( x 1) ( x 1) x 2) Vorläufige Lösungsmenge bestimmen: L 0 = ) Überprüfen, ob L 0 D gilt. L = Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 112

6 Lösen von Gleichungen Wurzelgleichungen 1) Die Wurzeln über Isolieren und Quadrieren eliminieren: 2) Lösungen bestimmen: x 3 2x z.b. 0) Definitionsmenge bestimmen D = R ] ; 3[ x 3 2x x 3 4x 3) Die Probe(n) durchführen und L bestimmen: keine 2 1; Lsg.: x 1 Lsg.: x L = {1} Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 113 (.) 2 0,75-0,75

7 Die Betragsfunktion Def.: Betrag Für alle x R ist deren Betrag (in Zeichen x ) wie folgt definiert: x x x 0 x x < 0 Rechenregeln zum Betrag: i) a a a ii) a b b a b iii) a + b a + b und a b a b iv) a b = a b Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 114

8 Lösen von Gleichungen Betragsgleichungen 2 z.b. x x 6 x 1 0) Definitionsmenge bestimmen D = R 1) Die Einzelfälle der Betragsanteile bestimmen: x 1 = x 1 x 1 1 x x < 1 ; x2 + x 6 = x2 + x 6 x R ] 3; 2[ (x 2 + x 6) x ] 3; 2[ 2) Definitionsmengen der Gleichungsvarianten bestimmen: 1. x 2 + x 6 = (x 1) D =] ; 3] 2. (x 2 + x 6) = (x 1) D =] 3; 1[ 3. (x 2 + x 6) = x 1 D = [1; 2[ 4. x 2 + x 6 = x 1 D = [2; [ 3) Lösen der Einzelfälle und aufstellen der Lösungsmenge L = ; 5 ; 5 ; Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 115

9 Lösen von Ungleichungen Ungleichungen Wesentliche Unterschiede im Vergleich zum Lösen von Gleichungen: 1. Das Ungleichheitszeichen kann sich umkehren. 2. Die Lösungsmengen können Intervalle sein 3. Bei der Multiplikation mit Termen können Fallunterscheidungen notwendig sein. Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen: 1. Die Addition von Termen, die Multiplikation mit positiven Termen und das Anwenden von streng monoton wachsenden Funktionen auf beiden Seiten der Ungleichung ändern die Ausrichtung des Ungleichheitszeichens nicht. 2. Die Multiplikation mit negativen Termen und das Anwenden von streng monoton fallenden Funktionen auf beiden Seiten der Ungleichung kehren die Ausrichtung des Ungleichheitszeichens um. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 116

10 Lösen von Ungleichungen Ungleichungen Wesentliche Unterschiede im Vergleich zum Lösen von Gleichungen: 1. Das Ungleichheitszeichen kann sich umkehren. 2. Die Lösungsmengen können Intervalle sein 3. Bei der Multiplikation mit Termen können Fallunterscheidungen notwendig sein. Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen: 1. Die Addition von Termen, die Multiplikation mit positiven Termen und das Anwenden von streng monoton wachsenden Funktionen auf beiden Seiten der Ungleichung ändern die Ausrichtung des Ungleichheitszeichens nicht. 2. Die Multiplikation mit negativen Termen und das Anwenden von streng monoton fallenden Funktionen auf beiden Seiten der Ungleichung kehren die Ausrichtung des Ungleichheitszeichens um. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 117

11 Lösen von Ungleichungen z.b. Ungleichungen 2 < 2 x 2 0) Definitionsmenge bestimmen D = R 2 1) Die Einzelfälle bei der Multiplikation mit (x 2) aufstellen: 1. : x 2 > 0 x 2 2 < 2 2. x 2 < 0 x 2 2 > 2 2) Lösen der Einzelfälle und Abgleich der Lösungen mit den Voraussetzungen: 1. x > 2 : x < 3 L =]2; 3[ 2. x < 2 : x > 3 L = { } Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 118