MATHEMATIK K1. Aufgabe F Punkte (max) Punkte. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte
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- Jobst Lichtenberg
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1 MATHEMATIK K Aufgabe F Punkte (max Punkte Gesamtpunktzahl /0 Notenpunkte Für vorbildliche Darstellung wird ein Extrapunkt vergeben. (1 Bestimmen sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion f(x = e x ( Berechnen Sie das Integral 0 x + 1 dx ( Lösen Sie die Gleichung x = + 0 x ( Bestimmen Sie k so, dass der Punkt P k (5k k auf der Ebene E : x 1 x + 7x = 11 liegt; (5 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x 1 x + x = 0 x 1 x x = 7 x 1 x + x =
2 ( 7 (6 Gegeben ist die Gerade g : x = M(. + t ( und der Punkt (a (VP Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene E 1, die g und M enthält? (b (VP Bestimmen Sie den Lotfußpunkt L von M auf g und den Abstand d von M und L. (c (VP Bestimmen Sie diejenigen Punkte A und B auf g, welche von L den Abstand d haben, und skizzieren Sie diesen Sachverhalt. (Lösung: A(5 1, B( (VP Bestimmen Sie weiter Punkte C und D so, dass ABCD ein Quadrat mit Mittelpunkt M bildet. (Hinweis: Spiegeln! (d (VP Über dem Quadrat ABCD wird eine senkrechte Pyramide errichtet. Eine Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene E : x 1 + 5x x =. Berechnen Sie die Koordinate der Pyramidenspitze S und die Höhe h der Pyramide. (7 Geben Sie eine Gleichung an (a der x 1 x -Ebene; (b der Schnittgeraden der x 1 x - und der x x -Ebene; (c einer zur x -Achse orthogonalen Ebene. (8 Die Punkte A( 1, B( 0 und C(0 1 haben alle denselben Abstand von der Ebene E und liegen auf derselben Seite von E. Bestimmen Sie den Normalenvektor von E. (9 Gegeben sind die Vektoren AB = Bestimmen Sie CB. ( 0 (10 Lösen Sie die Gleichung 1 + ( + 5x = 6. und AC = ( 6.
3 MATHEMATIK K1 Lösungen (1 Bestimmen sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion f(x = e x f (x = 6xe x, f (x = 6e x + 1x e x. ( Berechnen Sie das Integral 0 x + 1 dx 0 ( Lösen Sie die Gleichung x dx = 5 x = 5. x = + 0 x x = x + 0 ergibt x x + 15 = 0. Vieta: (x 5(x + = 0, also x 1, = ± 5. ( Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD mit A( 0 1, B(5, C(9 6 1 und D(7 5 ein Quadrat ist. Bestimmen Sie den Abstand von O(0 0 0 zur Ebene durch A, B, C und D, sowie das Volumen der Pyramide ABCDO. Es ist AB ( = = DC, BC ( = = AD, AB = BC = 6 und AB BC = 0. Also ist ABCD ein Quadrat mit Flächeninhalt 6. Die Ebene E durch ABC ist E : x = OA + t AB + u BC = ( 0 Es ist AB BC = 1 ( 1 + t( + u(., also E : x 1 x +x = 5. Abstand mit HNF: x 1 x +x = 0, also d(o, E = 5. Damit V = 1 Gh = = 0.
4 (5 Bestimmen Sie den ( Abstand des Punktes P (10 1 von der 0 1 Geraden g : x = + t( und geben Sie einen weiteren 1 Punkt an, der von g denselben Abstand hat. Lotebene E : x 1 + x x = 7. Schneiden mit Gerade: (t + ( + t (1 t = 0, also 6t = 5 (6 Bestimmen Sie k so, dass der Punkt P k (5k k auf der Ebene E : x 1 x + 7x = 11 liegt Einsetzen: (5k ( + 7(1 + k = 11 liefert k = 0. (7 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x 1 x + x = 0 x 1 x x = 7 x 1 x + x = (8 Gegeben ist die Gerade g : x = M(. ( 7 + t ( und der Punkt (a Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene E 1, die g und M enthält? (b Bestimmen Sie den Lotfußpunkt L von M auf g und den Abstand d von M und L. (c Bestimmen Sie diejenigen Punkte A und B auf g, welche von L den Abstand d haben. Bestimmen Sie weiter Punkte C und D so, dass ABCD ein Quadrat mit Mittelpunkt M bildet. (d Über dem Quadrat ABCD wird eine senkrechte Pyramide errichtet. Eine Seitenfläche der Pyramide liegt in der Ebene E, welche die Gerade g und den Punkt P (5 6 enthält. Berechne die Koordinate der Pyramidenspitze S und die Höhe h der Pyramide. a x = ( 7 ( + t ( 5 = ( + u ( 6 ( 5 ; 1 = 6( ; n = E 1 : x 1 + x + x = d; Einsetzen des Stützpunkts (7 ergibt d = 1, also E 1 : x 1 + x + x = 1. ;
5 MATHEMATIK K1 5 b Lotebene F : x 1 x x = 6; Schneiden mit Gerade (7 t (+t ( +t = 6 ergibt t = 1, also L( 6 0 und damit d(l, M =. Da der Richtungsvektor von g Länge 6 hat und L dem Parameter t = 1 entspricht, gehören die beiden andern Punkte zu t = 1 und t = ; das ergibt A(5 1 und B( Spiegeln von A an M ergibt C: OC = OA + AM ( 5 = + Spiegeln von B an M ergibt D: OD = OB + BM ( 18 = + 1 ( 0 1 = ( 7 d Ursprüngliche Frage: Gleichung von E : x = ( u ; 6 ( ( ( 5 =. 1 E : x 1 + 5x x =. (, also C( 5. 5 ( 0 =, also D( 0. +t Jetzt nur noch: Lotgerade l durch M auf E 1 : l : x =. t ( ( + + Schneiden von E mit Lotgerade ergibt t =, also S( Höhe SM = + + = 6. (9 Geben Sie eine Gleichung an (a der x 1 x -Ebene; (b der Schnittgeraden der x 1 x - und der x x -Ebene; (c einer zur x -Achse orthogonalen Ebene. (10 Die Punkte A( 1, B( 0 und C(0 1 haben alle denselben Abstand von der Ebene E und liegen auf derselben Seite von E. Bestimmen Sie den Normalenvektor von E. (11 Gegeben sind die Vektoren AB = Bestimmen Sie CB. ( 0 (1 Lösen Sie die Gleichung 1 + ( + 5x = 6. und AC = ( 6.
6 Nachtermin (1 Bestimmen Sie eine Stammfunktion: f(t = 5t + 6 ( Zeigen Sie, dass die Punkte ABCD mit A( 6 8, B(8 10 7, C(6, D(0 5 7 ein Parallelogramm bilden und berechnen Sie seinen Umfang. ( Bestimmen Sie mit Hilfe der Formel cos α = a b a den Kosinus b des Winkels, der von den Vektoren a = ( ( und b = 1 aufgespannt wird. ( Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD mit A( 0 1, B(5, C(9 6 1 und D(7 5 ein Quadrat ist. Bestimmen Sie den Abstand von O(0 0 0 zur Ebene durch A, B, C und D, sowie das Volumen der Pyramide ABCDO. (5 Bestimmen Sie den ( Abstand des Punktes P (10 1 von der 0 1 Geraden g : x = + t( und geben Sie einen weiteren 1 Punkt an, der von g denselben Abstand hat. (6 Bestimmen Sie k so, dass der Punkt P k (5k k den Abstand zu E besitzt. (7 Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen E : x 1 x = 1 und F : x 1 + x x =. ( ( (8 Gegeben ist die Gerade g : x = + t. (a Bestimmen Sie zwei Punkte, die auf der Geraden g liegen. (b Bestimmen Sie einen Punkt auf g, dessen x -Koordinate 0 ist. (c Bestimmen Sie einen Punkt auf g, der in der x 1 x -Ebene liegt. (9 Bestimmen Sie mit Hilfe der Formel cos α = a b a den Kosinus b des Winkels, der von den Vektoren a = ( ( und b = 1 aufgespannt wird.
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