Aufgabenblatt 8 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015

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1 Universität Bern Bern, den 23. April 2015 Professur für Quantitative Methoden der BWL Schützenmattstr. 14, 3012 Bern Prof. Dr. Norbert Trautmann, Oliver Strub Aufgabenblatt 8 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015 Aufgabe 28: Simulation mit Excel-Tabellenfunktionen Die Firma ClockStartup steht kurz vor der Lancierung einer Armbanduhr. Als Verkaufspreis wurde CHF 249 festgelegt. Entscheidend für die weitere Entwicklung von ClockStartup wird der Geschäftserfolg im ersten Verkaufsjahr der Uhr sein. In diesem Jahr werden für Administration und Werbung Kosten von insgesamt CHF (Wahrscheinlichkeit 80%) bzw. CHF (Wahrscheinlichkeit 20%) anfallen. Unsicherheit besteht hinsichtlich folgender Faktoren: Arbeitskosten je Uhr: Die Arbeitskosten betragen CHF 43 mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%, CHF 44 (20%), CHF 45 (40%), CHF 46 (20%) oder CHF 47 (10%). Die Materialkosten je Uhr seien dreiecksverteilt mit den Parametern a = 80 (kleinstmöglicher Wert), b = 100 (grösstmöglicher Wert) und c = 87.5 (Wert mit grösster Wahrscheinlichkeit). Die Nachfrage im ersten Verkaufsjahr wird als log-normalverteilt mit Mittelwert 9.5 (= Mittelwert von ln(nachfrage)) und Standardabweichung 0.25 (= Standardabweichung von ln(nachfrage)) angenommen (resultierende Zufallszahlen in ME). Führen Sie mit Hilfe von Microsoft Excel eine Simulation mit 50 Simulationsläufen des Geschäftsverlaufs im ersten Jahr durch. Verwenden Sie zur Generierung der Zufallszahlen die Tabellenfunktionen RAND(), LOGNORM.INV(), VLOOKUP() und IF(). 1

2 Aufgabe 29 (* E): Rebalancing eines Aktien-Portfolios (1.5 Punkte) Eine Ihrer Kundinnen möchte je USD in fünf verschiedene Aktien investieren. Ihr ist es sehr wichtig, dass jede Aktie ein Portfolio-Gewicht von 20% aufweist. Sie machen die Kundin darauf aufmerksam, dass sich die Portfolio-Gewichte aufgrund der unterschiedlichen Wertentwicklungen der Aktien im Laufe der Zeit ändern werden. Sie schlagen deshalb eine Rebalancing-Strategie mit fixen Bandbreiten vor. Dabei werden die Portfolio-Gewichte jeweils wieder auf 20% zurückgesetzt, falls das Portfolio-Gewicht einer (oder mehrerer) Aktie(n) eine vorher definierte Bandbreite (bspw. 19% 21%) verlässt. Die Kundin ist damit einverstanden, eine solche Rebalancing-Strategie umzusetzen. Damit sich die Kundin für eine konkrete Bandbreite entscheiden kann, möchte sie von Ihnen eine Schätzung für die jährlichen Transaktionskosten und die durchschnittlichen absoluten Abweichungen der Portfolio-Gewichte von den gewünschten 20% für verschiedene Bandbreiten. Sie schlagen vor, eine Simulation mit 25 Simulationsläufen (25 simulierte Jahre) durchzuführen, um die gewünschten Werte zu schätzen. Die Kundin gibt Ihnen das OK für dieses Vorgehen. Auf der Homepage zur Übung finden Sie die Datei A29.txt. Diese beinhaltet die simulierten Preise der fünf Aktien in USD für 25 Simulationsläufe à 52 Wochen. Ziel ist es, eine Excel-Datei zu erstellen, die so aufgebaut ist, dass das Budget und die maximale Abweichung bezüglich der Ziel-Gewichte angegeben werden können, und dann mit geeigneten Excel-Funktionen automatisch (ohne weitere Änderungen vorzunehmen) die zwei Kennzahlen für die Kundin ermittelt werden. Zur Berechnung der Transaktionskosten können Sie die folgende Kostenstruktur verwenden: Transaktionsvolumen in USD Transaktionskosten in USD ]0, 500] 9 ]500, 2 000] 20 ]2 000, ] 35 ]10 000, ] 50 Falls Sie bspw. eine Transaktion in der Höhe von USD 500 durchführen, bezahlen Sie USD 9. Bei USD wären es bspw. USD 35. Nachfolgend finden Sie einige Hinweise zum Aufbau der Excel-Datei: Definieren Sie in Ihrer Excel-Datei drei Zellen für das Budget, das Ziel-Gewicht der Aktien und die maximale absolute Abweichung bezüglich des Ziel-Gewichts (bspw. 1%, falls eine Bandbreite von 19% 21% gewählt wird). Alle Excel-Funktionen, die diese Werte verwenden, sollen sich auf diese drei Zellen beziehen. Berechnung der Stückzahlen der Aktien: Die einzelnen Jahre werden unabhängig voneinander betrachtet. Falls ein neuer Simulationslauf startet (ein neues Jahr), müssen die Stückzahlen so gewählt werden, dass der Portfolio-Wert wieder USD beträgt und die einzelnen Aktien ein Portfolio-Gewicht von 20% aufweisen. Falls in der Vorwoche die Bandbreite (bei einer oder mehreren Aktien) nicht eingehalten wurde, dann sollen die Stückzahlen in der aktuellen Woche so gewählt werden, dass alle Aktien in der aktuellen Woche wieder ein Portfolio-Gewicht von 20% aufweisen. Achtung: der Portfolio-Wert wird dabei nicht auf USD zurückgesetzt; diesen müssen Sie basierend auf den Stückzahlen der Vorwoche und den Preisen der aktuellen Woche berechnen. Falls keiner der beiden Fälle eingetroffen ist, bleiben die Stückzahlen gleich wie in der Vorwoche. Falls die Stückzahlen von einer Woche zur nächsten ändern, fallen Transaktionskosten an (Ausnahme beim Anfang eines neuen Simulationslaufs). Berechnen Sie dazu die Transaktionskosten basierend auf der oben angegebenen Kostenstruktur. Hinweise: Sie können bei allen Berechnungen davon ausgehen, dass von den Aktien auch nicht ganzzahlige Stückzahlen gekauft werden können. Zudem können Sie davon ausgehen, dass die Transaktionskosten aus einem externen Budget bezahlt werden. 2

3 Gruppennummer: Punkte für Aufgabe 29: a) Tragen Sie nachfolgend (auf zwei Nachkommastellen gerundet) die Stückzahlen der Aktien ein, so dass der Wert des Portfolios in Woche 1 USD beträgt, und jede Aktie ein Portfolio-Gewicht von 20% aufweist. Prüfen Sie Ihr Vorgehen anhand des angegebenen Werts der Aktie 4. Aktie 1 Aktie 2 Aktie 3 Aktie 4 Aktie 5 PF-Wert Woche b) Tragen Sie nachfolgend die Portfolio-Gewichte der Aktien in Woche 3 (in Prozent und auf zwei Nachkommastellen gerundet) in die Tabelle ein, und prüfen Sie Ihr Vorgehen anhand des angegebenen Werts der Aktie 4. Aktie 1 Aktie 2 Aktie 3 Aktie 4 Aktie 5 PF-Wert Woche % c) Mit einer Bandbreite von 19% 21% liegt damit in der Woche 3 zum ersten Mal eine Verletzung der Bandbreiten vor. Deshalb sollen in der Woche 4 die Stückzahlen der Aktien so angepasst werden, dass jede Aktie wieder ein Gewicht von 20% aufweist (Achtung: Portfolio-Wert wird nicht auf USD zurückgesetzt). Tragen Sie die neuen Stückzahlen der Woche 4 auf zwei Nachkommastellen gerundet in der folgenden Tabelle ein, und prüfen Sie Ihr Vorgehen anhand des angegebenen Werts der Aktie 4. Aktie 1 Aktie 2 Aktie 3 Aktie 4 Aktie 5 PF-Wert Woche d) Um die Gewichte zurückzusetzen, müssen Sie Transaktionskosten in Kauf nehmen. Bspw. müssen Sie Stück der Aktie 4 zu einem Preis von USD dazukaufen; dies entspricht einem Transaktionsvolumen von USD (mit ungerundeten Werten gerechnet). Gemäss den Angaben oben, müssen Sie für diese Transaktion USD 20 bezahlen. Tragen Sie die Transaktionskosten für die restlichen Aktien in die folgende Tabelle ein. Aktie 1 Aktie 2 Aktie 3 Aktie 4 Aktie 5 Woche 4 20 e) Berechnen Sie die durchschnittlichen Transaktionskosten über die 25 Simulationsläufe sowie die durchschnittliche absolute Abweichung der Portfolo-Gewichte zum Ziel-Gewicht von 20% für die in der Tabelle angegebenen Bandbreiten. Führen Sie die Berechnungen für die folgenden zwei Budgets durch: USD multipliziert mit Ihrer Gruppennummer sowie USD multipliziert mit der Gruppennummer. Die Excel-Datei muss so aufgebaut sein, dass ausser dem Budget und der maximalen Abweichung für die Bandbreite nichts angepasst werden muss, um das Resultat zu erhalten. Tragen Sie die Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet in folgende Tabelle ein. Budget 1: Gruppennummer * USD Budget 2: Gruppennummer * USD Bandbreite Transaktionskosten Abweichungen Transaktionskosten Abweichung 19% 21% 15% 25% 10% 30% 3

4 Aufgabe 30: Simulation Die Gründer des Startup-Unternehmens RiskInvent haben ihr Startkapital vollständig in das notwendige Equipment zur Realisierung zukünftiger Projekte investiert; die Gründer arbeiten zunächst ohne Lohn, daher fallen noch keine Personalkosten an. Im ersten Jahr haben sie sich entschieden, die Projekte A, B und C durchzuführen. Im Erfolgsfall können Patente verkauft werden. In der folgenden Tabelle sind je nach Projekt die Wahrscheinlichkeiten [in %] für die resultierenden, einmaligen Einnahmen [in CHF] aufgeführt. Projekt A Projekt B Projekt C W keit Einnahmen W keit Einnahmen W keit Einnahmen a) Simulieren Sie mit Hilfe geeigneter Excel-Funktionen (z.b. RAND()) das Kapital am Ende des ersten Jahres. Führen Sie 100 Simulationsläufe durch. Wie hoch ist das Kapital am Ende des ersten Jahres im Durchschnitt? b) Im zweiten Jahr stehen zwei mögliche Folgeprojekte D und E zur Auswahl. Projekt D kann nur dann ausgeführt werden, wenn eines der Projekte A oder B erfolgreich waren; Projekt E kann nur dann ausgeführt werden, wenn Projekt C erfolgreich war. Ein Projekt gilt als erfolgreich, wenn positive Einnahmen erzielt wurden. Die Einnahmen aus dem Patentverkauf von D und E folgen einer Gleichverteilung zwischen CHF und CHF Aber nur, wenn das jeweilige Projekt erfolgreich abgeschlossen wurde. Die Erfolgswahrscheinlichkeit von Projekt D ist 50% und die von Projekt E ist 40%. Simulieren Sie mit geeigneten Excel-Funktionen (z.b. RAND()) das Kapital am Ende des zweiten Jahres. Führen Sie 100 Simulationsläufe durch. Wie hoch ist das gesamte Kapital am Ende des zweiten Jahres im Durchschnitt? Hinweis: Verwenden Sie für die Simulation der Erfolgswahrscheinlichkeiten der Projekte D und E die Binomial-Verteilung. Aufgabe 31: Simulation In einem Wettbewerb haben sie überraschend Spielchips im Wert von CHF für das Casino Royale gewonnen. Sie überlegen sich, die Chips gemäss der umstrittenen Roulette Verdoppelungsstrategie (vgl. Abbildung 1) einzusetzen. a) Modellieren Sie diese Strategie mit Hilfe geeigneter Excel-Funktionen. Verwenden Sie dabei folgende Parameter: Parameter Bedeutung Wert E MIN Mindesteinsatz (von Casino vorgegeben) 10 CHF E MAX Maximaleinsatz (von Casino vorgegeben) 1200 CHF T Maximale Anzahl Runden 300 B 0 Startkapital

5 START Einsatz gesetzt Verloren (Schwarz oder Null) Wenn maximale Anzahl Runden erreicht, abbrechen; ansonsten, wenn möglich, Einsatz verdoppeln; ansonsten, wenn möglich, Mindesteinsatz setzen; ansonsten abbrechen ENDE Gewonnen (Rot) Wenn maximale Anzahl Runden erreicht, abbrechen; ansonsten Minimaleinsatz setzen Abbildung 1: Roulette Verdoppelungsstrategie Verwenden Sie für die Modellierung folgende Variablen: Variable E t G t B t Bedeutung Einsatz in CHF in Runde t Gewinn bzw. Verlust in CHF in Runde t Budget nach Runde t b) Verwenden Sie zur Simulation die Excel-Funktion RAND(). c) Wie gross ist das Budget nach Spielabbruch? d) Geben Sie die Anzahl Runden der längsten Siegesserie an. e) Geben Sie die Anzahl Runden der längsten Verlustserie an. f) Simulieren Sie den Ausgang der Strategie zehn Mal (i = 1,..., 10) mit unterschiedlichen Zufallszahlen. Tragen Sie die Resultate in folgende Tabelle ein: Durchlauf (i) Budget nach Spielabbruch 5

6 Hinweise zur Bewertung: Wenn Sie an einer Bewertung Ihres Lösungsvorschlags für die mit * markierte Aufgabe interessiert sind, so bearbeiten Sie diese Aufgabe bitte in der gleichen Gruppe wie bei Aufgabenblatt 7. Sofern Sie noch keiner Gruppe angehören, so schliessen Sie sich bitte einer Gruppe von drei Personen an. Die Zusammensetzung der Gruppen kann im Laufe des Semesters nicht geändert werden. Bitte tragen Sie den Lösungsvorschlag handschriftlich in die vorgesehenen Freiräume ein und werfen Sie die ausgefüllten Blätter im Original bis spätestens Freitag, den 17. April 2015, 17:00 Uhr in den Briefkasten vor Büro 008 in der Schützenmattstrasse 14 (Öffnungszeiten des Gebäudes: Montag bis Freitag 7:30 bis 17:00 Uhr) oder am Montag, den 20. April 2015, zwischen 8 und 8:15 Uhr in die Box am Eingang von Hörsaal A003 Nicht handschriftlich erstellte Lösungsvorschläge werden nicht gewertet. Bitte senden Sie für die mit E markierte Aufgabe zusätzlich die von Ihrer Gruppe erstellte.xlsx-datei bis spätestens Montag, den 20. April 2015, 8 Uhr per an die Adresse lehre@pqm.unibe.ch und geben dabei a) im Feld CC (Carbon Copy) die -Adressen aller Gruppenmitglieder b) im Betreff der QMI Ü8 Gruppennummer c) im Text der die Namen und Matrikelnummern aller Mitglieder Ihrer Gruppe an. Benennen Sie die.xlsx-datei wie folgt: A29 GruppeX.xlsx (X=Gruppennummer). Werden von einer Gruppe mehrere Lösungsvorschläge eingereicht, so wird nur der zuerst eingetroffene gewertet; mit den Excel-Dateien wird gleich verfahren. Eine verspätete Abgabe des Lösungsvorschlags führt zu Punktabzug (bis zu 1h Verspätung: 50%; mehr als 1h Verspätung: 100%). Der Lösungsweg und das Ergebnis müssen eindeutig ersichtlich und nachvollziehbar sein. Mit Hilfe von Software (z.b. Microsoft Excel) erstellte Lösungsvorschläge werden nur gewertet, wenn die Verwendung der Software in der Aufgabenstellung explizit angegeben ist. Eine gruppenübergreifende Zusammenarbeit ist nicht gestattet und führt zum Ausschluss vom Bewertungsverfahren. Die Punkte aus den Übungen werden nur an Klausuren zu dieser Lehrveranstaltung im Zeitraum Juni 2015 bis September 2015 angerechnet. Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden am Donnerstag, den 23. April 2015 von 8:15 bis 10 Uhr in Raum A003 (UniS) besprochen. 6