Mathematische Probleme, SS 2016 Dienstag $Id: dreieck.tex,v /04/26 17:29:37 hk Exp $

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1 $Id: dreieck.tex,v /04/6 17:9:37 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.6 Einige spezielle Punkte im Dreieck Nachdem wir in der letzten Sitzung den Schwerpunkt S m eines Dreiecks = als den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, und von eingeführt haben, wollen wir nun kurz auf die eschreibung des Schwerpunkts in Termen der Struktur der Ebene als Vektorraum eingehen. Hier ist es meist etwas unbequem die Formeln bezüglich einer allgemeinen asis hinzuschreiben, da diese sehr ungünstig zum Dreieck liegen kann. Zur Vereinfachung könnte man versuchen den Nullpunkt des Koordinatensystems in eine der Ecken von zu legen, allerdings wird hierdurch künstlich eine Ecke vor den anderen ausgezeichnet was schnell zu krummen Formeln führt. Eine gut lternative ist die Verwendung der sogenannten baryzentrischen Koordinaten bezüglich. Die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes P der Ebene sind das Tupel (x, y, z) R 3 mit x + y + z = 1 und P = x + y + z. Solche Koordinaten sind tatsächlich eindeutig bestimmt. Da die Punkte,, nicht kollinear sind, sind, linear unabhängig also eine asis der Ebene. Damit läßt sich P eindeutig als schreiben und somit ist P = y( ) + z( ) = y + z (y + z) P = (1 y z) + y + z = x + y + z mit x := 1 y z. Zur erechnung der baryzentrischen Koordinaten von S m beachte zunächst das der Mittelpunkt von ist, also = ( + )/. Weiter zerlegt S m die Strecke nach Satz 1 im Verhältnis : 1, also wird S m = + 3 ( ) = ( + ) = 1 ( + + ), 3 d.h. S m hat die baryzentrischen Koordinaten (1/3, 1/3, 1/3). Man kann die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes P geometrisch als gewisse Verhältnisse von mit Vorzeichen versehenen Dreiecksflächen auffassen, dies wollen wir hier aber nicht ausführen. ls nächsten der speziellen Punkte behandeln wir nun den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, und hierzu sollten wir uns erst einmal überlegen welche edeutung die Winkelhalbierende überhaupt hat. Wie sich herausstellt ist der egriff der Winkelhalbierenden in gewissen Sinne dual zum egriff der Mittelsenkrechten, es werden zwei Geraden betrachtet und nach der Menge aller Punkte gefragt die von beiden Geraden denselben bstand haben. 5-1

2 ngenommen wir haben eine Gerade g und einen Punkt P außerhalb von g. Der bstand d(p, g) ist der kleinstmögliche bstand von P zu Punkten auf der Gerade, also formal P g d(p, g) = inf{ XP : P g}, Q wobei in dieser Situation tatsächlich ein Minimum vorliegt. Fällen wir nämlich wie rechts gezeigt das Lot von P auf g und bezeichen den Lotfußpunkt mit Q, so ist Q der eindeutige P am nächsten gelegene X Punkt auf g. Nach einem lick auf das ild sollte das klar sein, formal kann man es etwa mit dem Satz des Pythagoras Satz 1 begründen, ist X ein beliebiger weiterer Punkt auf g, so haben wir ein rechtwinkliges Dreieck XQP und erhalten XP = XQ + QP > QP, also auch XP > QP. Mit dieser eobachtung können wir nun einsehen, dass die Punkte auf der Winkelhalbierenden zweier Geraden tatsächlich genau die Punkte innerhalb des von den beiden Geraden gebildeten Winkels sind die von beiden Geraden denselben bstand haben. Wir formulieren diese ussage als ein kleines Lemma, das aufgrund der hierbei auftretenden Figur gerne als das Drachenlemma bezeichnet wird. Die Einschränkung auf einen speziellen von den beiden Geraden gebildeten Winkel ist dabei wichtig, die Gesamtheit aller Punkte die von zwei verschiedenen, sich schneidenden Geraden denselben bstand haben ist die Vereinigung zweier senkrecht aufeinander stehenden Geraden. Lemma 1.13 (estimmung der Winkelhalbierenden) Seien und zwei Strecken und P ein weiterer Punkt so, dass P senkrecht auf ist und P senkrecht auf ist. ezeichne α den auf derselben Seite wie P liegenden Winkel zwischen und im Punkt. Dann sind die folgenden ussagen äquivalent: (a) Es ist d(p, ) = d(p, ). (b) Es ist P = P. (c) Es ist =. (d) Die Dreiecke P und P sind kongruent. (e) Die Strecke P ist die Winkelhalbierende von α. 5-

3 α P eweis: (a) (b). Wegen P und P sind d(p, ) = P und d(p, ) = P (die Schreibweise ist hier etwas ungenau, gemeint ist der bstand zur jeweiligen Geraden und nicht zur Strecke), also sind (a) und (b) äquivalent. (b) (c). Wenden wir den Satz des Pythagoras Satz 1 in den beiden rechtwinkligen Dreiecken P und P an, so ergibt sich + P = P = + P, und damit ist genau dann = wenn P = P gilt. (a)= (d). Da die Implikationen von (a) nach (b) und (c) bereits gezeigt sind, haben wir = und P = P, d.h. die beiden Dreiecke P und P sind kongruent. (d)= (b). Klar nach Definition der Kongruenz von Dreiecken. (d) (e). Die Dreiecke P und P stimmen in der Seite P überein und haben bei beziehungsweise gleiche, nämlich rechte, Winkel. Nach dem Kongruenzsatz SWW Satz 9 sind die beiden Dreiecke damit genau dann kongruent wenn ihre Winkel in übereinstimmen, wenn also P den Winkel α halbiert. w β α g w 1 h Gleicher bstand zu zwei Geraden Winkelhalbierende im Dreieck 5-3

4 eachte das sich das Drachenlemma auf Punkte P innerhalb des Winkels α bezieht. Haben wir zwei verschiedene Geraden g, h die sich in einem Punkt schneiden, so setzt sich die Menge M := {P R d(p, g) = d(p, h)} aller Punkte die von g und h denselben bstand haben aus zwei Geraden zusammen die senkrecht aufeinander sind. Um dies zu sehen, unterteilen wir die Ebene in einen von g, h gebildeten Winkel α zusammen mit seinem Gegenwinkel und den anderen von g, h gebildeten Winkel β zusammen mit seinem Gegenwinkel. Der Teil von M innerhalb von α ist nach dem Drachenlemma die Winkelhalbierende w 1 von α und diese ist auch gleich der Winkelhalbierenden des Gegenwinkels und der Teil innerhalb von β und dem Gegenwinkel von β ist die Winkelhalbierende w von β. Der Winkel zwischen w 1 und w ist α/ + β/ = (α + β)/ = π/, die beiden stehen also senkrecht aufeinander. Damit haben wir M = w 1 w, wie behauptet. ei zwei beliebigen Geraden gibt es keine Möglichkeit zwischen w 1 und w zu unterscheiden, haben wir dagegen ein Dreieck = so betrachten wir in jedem Eckpunkt den das Dreieck enthaltenden Winkel und nennen seine Winkelhalbierende die Winkelhalbierende von durch die entsprechende Ecke. Die auf der Winkelhalbierenden von durch eine Ecke senkrecht stehende andere Winkelhalbierende nennt man dann die äußere Winkelhalbierende von durch den betrachteten Eckpunkt. Schneiden wir diese paarweise, so erhalten wir wie oben abgebildet ein neues Dreieck, mit dem wir uns in den Übungsaufgaben beschäftigen werden. Nach diesen Vorbereitungen können wir die Existenz des Schnittpunkts der Winkelhalbierenden in einem Dreieck sehr bequem einsehen. Satz 1.14 (Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden) Sei = ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Winkelhalbierenden von in einem Punkt S w und dieser ist der eindeutige Punkt in der von allen drei Seiten des Dreiecks denselben bstand hat. eweis: Die beiden Winkelhalbierenden durch und schneiden sich in einem Punkt S w und nach dem Drachenlemma Lemma 13 angewandt auf diese beiden Winkelhalbierenden gelten d(s w, ) = d(s w, ) und d(s w, ) = d(s w, ), also ist d(s w, ) = d(s w, ) = d(s w, ) und wieder nach dem Drachenlemma liegt S w auch auf der Winkelhalbierenden durch. 5-4

5 r S w Da der Schnittpunkt S w der Winkelhalbierenden von allen drei Seiten des Dreiecks denselben bstand r := d(s w, ) = d(s w, ) = d(s w, ) hat, berührt der Kreis mit Mittelpunkt S w und Radius r alle drei Seiten tangential. Man nennt diesen Kreis dann den Inkreis des Dreiecks und r heißt entsprechend der Inkreisradius von. Winkelhalbierende lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren und damit läßt sich auch der Punkt S w mit Zirkel und Lineal konstruieren. Da wir auch den Lotfußpunkt von S w auf eine Seite von bilden können, läßt sich schließlich auch der Inkreis mit Zirkel und Lineal konstruieren. Neben dem Inkreis gibt es noch drei weitere Kreise die alle, als Geraden aufgefasste, Seiten des Dreiecks berühren, diese haben die schon oben erwähnten Schnittpunkte je zweier äußerer Winkelhalbierenden des Dreiecks als ihre Mittelpunkte. Mit diesen sogenannten nkreisen von werden wir uns in den Übungen beschäftigen. Der Inkreisradius r ist eine weitere numerische Invariante des Dreiecks zusätzlich zu den drei Seiten a, b, c und den drei Winkeln α, β, γ, und wir wollen die Zahl r nun in Termen der drei Seiten berechnen. Es stellt sich als technisch geschickt heraus hierzu eine weitere Größe zu betrachten nämlich die Fläche F unseres Dreiecks. ezeichnen wir die Höhen auf den drei Seiten a, b, c wie schon beim Sinussatz mit h a, h b, h c, so ist die Dreiecksfläche gegeben als F = 1 a h a = 1 b h b = 1 c h c. Im Sinussatz Satz 8 hatten wir diese Höhen zu h a = c sin β = b sin γ, h b = c sin α = a sin γ, h c = b sin α = a sin β berechnet, also wird etwa F = 1 ah a = 1 ab sin γ. Die Dreiecksfläche F ist also gleich dem halben Produkt je zweier Seiten und dem Sinus des von diesen eingeschlossenen Winkels. Das ist bereits eine Flächenformel, allerdings 5-5

6 noch keine die die Fläche ganz in Termen von a, b, c ausdrückt. Um den Sinus zu eliminieren wollen wir den osinussatz verwenden und dazu müssen wir wiederum den Sinus in einen osinus umwandeln. Dies gelingt über die eziehung sin γ + cos γ = 1 indem wir unsere obige Gleichung quadrieren Setzen wir hier den osinussatz Satz 4 als ein, so wird F = 1 4 a b sin γ = a b (1 cos γ). 4 ab cos γ = 1 (a + b c ) a b (1 cos γ) = a b 1 4 (a + b c ) = 1 4 (4a b (a + b c ) ) und insgesamt ist damit F = 4a b (a + b c ). 16 Diese Gleichung ist schon fast unser Ziel, ihr einziger Nachteil ist noch das die Symmetrie in a, b, c in dieser Formel nicht klar zum Vorschein tritt. Schreiben wir diese Formel noch etwas um so ergibt sich: Satz 1.15 (Heronsche Flächenformel) Sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c. Weiter bezeichne s := (a + b + c)/ den halben Umfang des Dreiecks und F seine Fläche. Dann gilt die Heronsche Flächenformel F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a) = s(s a)(s b)(s c). eweis: Wir setzen die obige Rechnung fort und erhalten F = (ab) (a + b c ) 16 = 1 16 (ab (a + b c ))(ab + (a + b c )) = 1 16 (c (a b) )((a + b) c ) = 1 (b + c a)(a + c b)(a + b c)(a + b + c), 16 also F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a). eachten wir noch s a = b + c a, s b = a + c b 5-6 und s c = a + b c,

7 so ergibt sich auch F = s(s a)(s b)(s c). Damit ist die Heronsche Flächenformel bewiesen. Den Zusammenhang zwischen Fläche F und Inkreisradius r eines Dreiecks = können wir der folgenden Skizze entnehmen: r r S w r Der Inkreisradius r war der gemeinsame bstand von S w zu den drei Ecken des Dreiecks, fällen wir also von S w aus Lote auf die drei Seiten, so haben die entstehenden Lotfußpunkte jeweils den bstand r von S w. Hierdurch wird das Dreieck in drei Teildreiecke zerlegt, die jeweils S w und zwei der drei Ecken von als ihre Ecken haben. Weiter tritt der Inkreisradius r in jedem dieser Dreiecke als Höhe auf einer der drei Seiten von auf. Damit wird die Fläche F von zur Summe der drei Flächen dieser Teildreiecke, und diese eobachtung liefert uns einen Zusammenhang zwischen r und F. Korollar 1.16 (erechnung des Inkreisradius) Sei ein Dreieck mit Seiten a, b, c, Fläche F, Inkreisradius r und halbem Umfang s := (a + b + c)/. Dann gelten (s a)(s b)(s c) F = rs und r =. s eweis: Sei = und bezeichne S w den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von. Dann zerlegen wir in die drei Dreiecke S w, S w und S w. In jedem dieser Dreieck ist die Höhe durch S w gleich dem Lot von S w auf die entsprechende Seite von, die Länge dieser Höhe ist also der gemeinsame bstand r von S w zu diesen drei Seiten. Es folgt F = 1 ar + 1 br + 1 cr = r a + b + c = rs. 5-7

8 Mit der Heronschen Flächenformel Satz 15 ergibt sich weiter r = F s = 1 s (s a)(s b)(s c) s(s a)(s b)(s c) =. s Damit kommen wir nun zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, die Existenz dieses Schnittpunkts ist dabei analog zum Fall der Winkelhalbierenden. Erinnern Sie sich dazu daran, dass die Mittelsenkrechte zweier Punkte, nach ufgabe (1) genau aus denjenigen Punkten X besteht die zu und denselben bstand haben, für die also X = X gilt. Satz 1.17 (Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) Sei = ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von in einem Punkt S u und dieser ist der eindeutige Punkt der von allen drei Ecken des Dreiecks denselben bstand hat. eweis: Sei S der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf und auf. Dann gelten S = S und S = S, also auch S = S und S liegt auch auf der Mittelsenkrechten auf. Dass alle drei Ecken von S u denselben bstand R haben, bedeutet das der Kreis mit Radius R und Mittelpunkt S u durch alle drei Ecken des Dreiecks = geht, und da S u der einzige Punkt ist der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist, ist dieser Kreis auch der einzige Kreis der durch,, geht. Man nennt den Kreis durch die Ecken von auch den Umkreis von und der Schnittpunkt S u ist daher der Mittelpunkt des Umkreises. Der Radius R des Umkreises heißt dann der Umkreisradius von. S u S u =Su Spitzwinklig Stumpfwinklig Rechtswinklig Die Lage des Umkreismittelpunkts S u unterscheided sich je nachdem ob das betrachtete Dreieck = spitz-, stumpf- oder rechtwinklig ist. Im spitzwinkligen Fall liegt S u immer im Inneren des Dreiecks während S u im stumpfwinkligen Fall immer außerhalb des Dreiecks liegt, ist der stumpfe Winkel etwa in so liegt S u auf der anderen Seite von als. Im rechtwinkligen Fall liegt S u dagegen auf dem Dreieck, und zwar ist S u der Mittelpunkt der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite. Um dies einzusehen 5-8

9 habe = etwa in einen rechten Winkel. Ist dann der Mittelpunkt von und bezeichnet den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf mit der Seite, so sind und beide senkrecht auf und somit sind und parallel. Damit können wir den Strahlensatz anwenden und erhalten = / = /, d.h. ist der Mittelpunkt von. nalog geht auch die Mittelsenkrechte auf durch diesen Mittelpunkt, d.h. die drei Mittelsenkrechten von schneiden sich in S u. Damit haben wir S u = im rechtwinkligen Fall eingesehen. 5-9