Der elektrische Feldvektor eine linear polarisierten Welle schwingt in der Richtung

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1 3.1 Die Polarisationszustände von Licht Wir haben im vorherigen Kapitel gesehen, dass Licht in einem isotropen Medium eine transversale elektromagnetische Welle ist, d.h., k E = 0. Wir wollen im Folgenden ebene Wellen mit zeitlich und räumlich konstanten Amplitudenvektor E 0 untersuchen und klassifizieren Linear polarisierte ebene Wellen Wir betrachten zunächst eine in z-richtung propagierende ebene Welle in einem isotropen Medium: E (r, t = E 0 e ı(kzz ωt = E x e ıφx ê x e ı(kzz ωt + E y e ıφy ê y e ı(kzz ωt. (3.1.1 Sind die x- und die y-komponente des elektrischen Feldes in Phase oder 180 außer Phase ( φ φ x φ y = 0, ±π, so heißt die Welle linear polarisiert. Der elektrische Feldvektor eine linear polarisierten Welle schwingt in der Richtung E 0 = E x ê x ± E y ê y. (3.1.2 Diese Richtung definiert die Polarisationsrichtung der linear polarisierten Welle. Laut Gleichung (3.1.1 kann jede ebene Welle als Überlagerung von zwei orthogonalen, linear polarisierten Wellen aufgefasst werden. Hierbei entscheiden sowohl die Amplituden als auch der Phasenunterschied φ zwischen den beiden linear polarisierten Wellen über den Polarisationszustand der resultierenden ebenen Welle. 3-1

2 E 0 k 0 B 0 Abbildung 3.1: Linear polarisierte ebene Welle in Vakuum Zirkular polarisierte ebene Wellen Wir betrachten jetzt eine in z-richtung propagierende Welle, deren x- und y-komponente des elektrischen Felds den selben Betrag aufweisen aber 90 außer Phase sind: E (r, t = E 0 ( êx + ê y e ı φ e ı(kzz ωt mit φ = ±π/2. (3.1.3 Rechtszirkular polarisierte Welle Als erstes untersuchen wir eine rechtszirkular polarisierte Welle mit φ = π/2: E R (r, t = E 0 ê x cos (k z z ωt + E 0 ê y cos (k z z ωt π/2 = E 0 ê x cos (k z z ωt + E 0 ê y sin (k z z ωt. (3.1.4 Für einen festen aber beliebigen Wert z = z 0 dreht sich die Spitze des elektrischen Feldvektors mit der Winkelgeschwindigkeit ω in der xy-ebene im Kreis. Blickt man in Richtung der Lichtquelle (also entgegen der Propagationsrichtung, so wird der Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen. Zu einem festen aber beliebigen Zeitpunkt t = t 0 beschreibt die Spitze des elektrischen Feldvektors eine rechtshändige Schraubenlinie, wenn man in Propagationsrichtung blickt. Der E-Vektor macht pro Wellenlänge eine vollständige Drehung. 3-2

3 3.1 Die Polarisationszustände von Licht Linkszirkular polarisierte Welle Rechtszirkular polarisierte Welle y x z y z x y y E( t, z = z 0 E( t, z = z 0 E y x E y x E x E x E ( t, z = z = E cos( k z - t x 0 0 z 0 E ( t, z = z =-E sin( k z - t y 0 0 z 0 E ( t, z = z = E cos( k z - t x 0 0 z 0 E ( t, z = z = E sin( k z - t y 0 0 z 0 Abbildung 3.2: Linkszirkular polarisierte Welle und rechtszirkular polarisierte Welle. Linkszirkular polarisierte Welle Für φ = π/2 erhalten wir eine linkszirkular polarisierte Welle: E L (r, t = E 0 ê x cos (k z z ωt + E 0 ê y cos (k z z ωt + π/2 = E 0 ê x cos (k z z ωt E 0 ê y sin (k z z ωt. (3.1.5 Hält man wieder den Ort fest und blickt entgegen der Ausbreitungsrichtung, so dreht sich nun der elektrische Feldvektor im Gegenuhrzeigersinn in der xy-ebene. Blickt man zu einem festen Zeitpunkt t = t 0 in Propagationsrichtung, so beschreibt die Spitze des elektrischen Feldvektors eine linkshändige Schraubenlinie. 3-3

4 Überlagerung zirkular polarisierter Wellen Laut Gleichungen (3.1.4 und (3.1.5 ergeben sich links- und rechtszirkular polarisierte Wellen als Überlagerung von linear polarisierten Wellen mit einer Phasenverschiebung von φ = ±π/2. Umgekehrt erhält man durch die Überlagerung einer links- und einer rechtszirkular polarisierten Welle mit gleicher Amplitude eine linear polarisierte Welle. Beispiel: E R + E L = E 0 ê x cos (k z z ωt + E 0 ê y sin (k z z ωt + E 0 ê x cos (k z z ωt E 0 ê y sin (k z z ωt = 2E 0 ê x cos (k z z ωt. ( Elliptisch polarisierte ebene Wellen Wir untersuchen nun den allgemeinen Fall und nehmen eine beliebige Phasendifferenz φ = φ x φ y zwischen den beiden linear polarisierten ebenen Wellen in Gleichung (3.1.1 an. Betrachten wir die aus der Überlagerung resultierende ebene Welle für einen festen Wert z = z 0, so beschreibt die Spitze des zugehörigen elektrischen Feldvektors eine Ellipse, die mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufen wird. Man spricht daher von einer elliptisch polarisierten ebenen Welle. Die linear polarisierte Welle und die zirkular polarisierte Welle sind Spezialfälle einer elliptisch polarisierten Welle. 3-4

5 3.1 Die Polarisationszustände von Licht Φ=0 Φ=π/8 Φ=π/4 Φ=3π/8 y y y y x x x x Φ=π/2 Φ=5π/8 Φ=3π/4 Φ=7π/8 y y y y x x x x Φ= π Φ= 7π/8 Φ= 3π/4 Φ= 5π/8 y y y y x x x x Φ= π/2 Φ= 3π/8 Φ= π/4 Φ= π/8 y y y y x x x x Abbildung 3.3: Beispiele für elliptisch polarisierte ebene Wellen mit E x = E y. Die Spitze des elektrischen Feldvektors beschreibt an einem festen Ort eine Ellipse. 3-5

6 3.2 Polarisatoren Das Licht einer Glühlampe ist unpolarisiert, genauer, der Polarisationszustand der emittierten Welle ändert sich sehr schnell und statistisch. Ein Polarisator ist ein optisches Element, dass unpolarisiertes Licht nach der Transmission/Reflexion in einen definierten Polarisationszustand überführt. Verschiedene optische Effekte können für die Erzeugung von polarisiertem Licht genutzt werden, z.b.: Reflektion an einer dielektrischen Grenzfläche unter dem Brewsterwinkel [siehe Abschnitt (2.4.2]. Transmission durch ein dichroitisches ( zweifarbiges Medium, das eine selektive Absorption/Reflexion für Wellen mit einem bestimmten Polarisationszustand aufweist. Experiment: Transmission durch einen Turmalin-Kristall. Beispiel: Drahtpolarisatoren für Mikrowellen- und Infrarotstrahlung bestehen aus einer Anordnung parallel ausgerichteter metallischer Drähte, deren Abstände kleiner als die Wellenlänge sind. Eine parallel zu den Drähten polarisierte elektromagnetische Welle erzeugt in diesen einen oszillierenden elektrischen Strom. Dieser Strom ist die Quelle für eine elektromagnetische Welle, die um 180 gegenüber der einfallenden Welle phasenverschoben ist (Grund: Randbedingung für ein Metall. In Vorwärtsrichtung löschen sich die einfallende und die erzeugte Welle aus. Damit bleibt nur die in Rückwärtsrichtung abgestrahlte (reflektierte Welle übrig. Ist die einfallende Welle dagegen senkrecht zu den Drähten polarisiert, so kann kein Strom angeregt werden und die Welle wird transmittiert. Abbildung 3.4: Orginal Gitterpolarisator von Heinrich Hertz. Foto: Michael Kortmann. 3-6

7 3.2 Polarisatoren Doppelbrechung [siehe Abschnitt (3.3.3]. Unpolarisiertes Licht Durchlassrichtung Linear- Polarisator Linear polarisiertes Licht Ausbreitungsrichtung Abbildung 3.5: Erzeugung von linear polarisiertem Licht mit der Hilfe eines Linearpolarisators. In der Praxis spielen vor allem Linearpolarisatoren eine große Rolle, die unpolarisiertes Licht in linear polarisiertes Licht wandeln. Hierbei wird nur Licht, dessen elektrischer Feldvektor in der Richtung der Durchlassachse ê D des Polarisators schwingt, durchgelassen 1. Fällt unpolarisiertes Licht der Intensität I 0 auf einen idealen Linearpolarisator (keine Verluste entlang der Durchlassrichtung, so besitzt die transmittierte linear polarisierte Welle die Intensität 1/2I 0. Experiment: Polarisationsfolien auf OHP. Wir betrachten im Folgenden zwei ideale Linearpolarisatoren, deren Durchlassrichtungen ê D1 und ê D2 um den Winkel θ gegeneinander verdreht sind. Damit gilt: ê D1 ê D2 = cos(θ. (3.2.1 Hinter dem ersten Polarisator besitzt die Welle den Amplitudenvektor: E 1 = E 0 ê D1. (3.2.2 Der zweite Polarisator (Analysator läßt nur die Feldkomponente in der Durchlassrichtung ê D2 passieren. Zerlegen wir nun ê D1 in eine Komponente parallel und senkrecht zu ê D2, 1 Wir nehmen hier an, dass der Polarisator in Transmission betrieben wird. Die im Folgenden abgeleiteten Ergebnisse können aber problemlos auf einen reflektierenden Polarisator übertragen werden. 3-7

8 Unpolarisiertes Licht Polarisator E 0 Analysator E0 cos( ê D1 ê D2 Abbildung 3.6: Kombination von zwei Linearpolarisatoren. so erhalten wir den Amplitudenvektor der Welle hinter dem Analysator: E 2 = (E 1 ê D2 ê D2 = E 0 cos(θ ê D2. (3.2.3 Die Intensität der Welle hinter dem Analysator folgt damit dem Malusschen Gesetz: I(θ = I(0 cos 2 (θ. ( I( = I(0 cos ( Abbildung 3.7: Graphische Darstellung des Malusschen Gesetzes. 3-8

9 3.3 Wellen in anisotropen Medien 3.3 Wellen in anisotropen Medien Experiment: Doppelbrechung an Kalkspat. Bisher haben wir Wellen in isotropen Medien mit D E betrachtet. Wir wollen nun den Fall untersuchen, dass ein elektrisches Feld Dipole induziert, die nicht parallel zum elektrischen Feld orientiert sind, d.h., D E. Dieses Verhalten ergibt sich aus dem Lorentz-Oszillator Modell, wenn in unterschiedlichen Raumrichtungen verschieden starke Federkräfte wirken. - + z y x Dielektrische Funktion Im( z Re( z Im( x Re( x Frequenz Abbildung 3.8: Anisotroper Lorentz-Oszillator. Im Folgenden betrachten wir ein anisotropes Medium mit: D i = j ǫ 0 ǫ ij E j (3.3.1 Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Dielektrizitäts-Tensor ǫ nur Diagonalelemente besitzt: ǫ ǫ = 0 ǫ 22 0 ( ǫ 33 Wir definieren jetzt die elektrische Impermeabilität: η = ǫ 1 (

10 Damit: E = η ǫ 0 D. (3.3.4 Im gewählten Koordinatensystem ist η ebenfalls diagonal: η ii = 1 = 1. ǫ ii n 2 i (3.3.5 η besitzt als symmetrischer Tensor zweiter Stufe die quadratische Repräsentation: η ij x i x j = 1 (3.3.6 ij Im gewählten Koordinatensystem gilt daher: x x2 2 + x2 3 n 2 1 n 2 2 n 2 3 = 1. (3.3.7 Dies ist ein Ellipsoid mit den Hauptachenlängen n 1, n 2 und n 3 Optische Indikatrix Uniaxiale Kristalle Betrachte im Folgenden einen uniaxialen Kristall mit n 1 = n o, n 2 = n o und n 3 = n e. η = n 2 o n 2 e 1 n 2 o (3.3.8 Brechzahlen einiger uniaxialer Kristalle bei λ = 589 nm. Kristall n o n e Kalkspat Quarz Rutil Turmalin Negativ uniaxialer Kristall: n e < n o. Positiver uniaxialer Kristall: n e > n o. 3-10

11 3.3 Wellen in anisotropen Medien x 3 n e x 1 x 2 n o Abbildung 3.9: Optische Indikatrix für einen positiv uniaxialen Kristall. Die Symmetrieachse (hier x 3 -Achse wird als optische Achse bezeichnet. Aus den Maxwellgleichungen folgt für einen ebene Welle mit Wellenvektor k: k D = 0, k H = 0, k E = µ 0 ωh, k H = ωd. Für den Poyntinvektor gilt definitionsgemäß: S E = 0, S H = 0, (3.3.9 ( ( ( ( ( ObdA: k ê 1 = 0 (Propagation in der x 2 x 3 -Ebene. Der Wellenvektor k schließt mit der optischen Achse den Winkel θ ein. Ordentliche Welle Betrachte zunächst den Fall D = (D 1, 0, 0. Mit den Gleichungen (3.3.4 und (3.3.8 folgt: E D. Damit ist S k und k = k 0 n o. ( ( (

12 Außerordentliche Welle Wir untersuchen jetzt den Fall D = (0, D 1, D 2. Hier folgt aus Gleichung (3.3.8: E D. ( Aus S E = 0 und k D = 0 resultiert in dieser Situation: S k! ( D E k B, H S Abbildung 3.10: Relative Orientierung der Feldvektoren, des Wellenvektors und des Poynting Vektors für die außerordentliche Welle in einem anisotropen Medium. Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Phasengeschwindigkeit der außerordentlichen Welle in verschiedenen Richtungen unterschiedlich groß ist. Der Betrag des Wellenvektors der außerordentlichen Welle ist somit von der Propagationsrichtung abhängig: k(θ = k 0 n(θ ( mit 1 n 2 (θ = cos2 (θ n 2 o + sin2 (θ. ( n 2 e Ohne Beweis: Der Poyntingvektor S steht jeweils senkrecht auf der Kurve k(θ. Die Ausbreitungsrichtung einer elektromagnetischen Welle wird durch den Energiefluß, also den Poyntingvektor, bestimmt. Zeigen die Wellenvektoren von ordentlicher und außerordentlicher Welle in die selbe Richtung, so werden die zugehörigen Poyntingvektoren im Allgemeinen nicht parallel zueinander sein. Die beiden Wellen breiten sich damit in unterschiedliche Richtungen aus. 3-12

13 3.3 Wellen in anisotropen Medien Ordentliche Welle Außerordentliche Welle k 3 n o k 0 n k S o 0 k 3 S k D E k= n( k 0 E,D k 2 n k e 0 k 2 Abbildung 3.11: Ordentliche und außerordentliche Welle in einem anisotropen Medium. Der Wellenvektor k schließt einen Winkel θ mit der optischen Achse ein. Der Poyntinvektor steht senkrecht auf der Kurve k(θ Doppelbrechung Im Folgenden untersuchen wir den Übergang einer ebenen Welle von einem isotropen Medium in einen uniaxialen Kristall. Wie wir in Abschnitt gesehen haben, bleibt die Komponente des Wellenvektors parallel zur Grenzfläche k erhalten. Die Normalkomponente des Wellenvektors im uniaxialen Kristall ergibt sich aus der Orientierung der optischen Achse und der Kurve k(θ. Senkrechter Lichteinfall Für senkrechten Lichteinfall (Wellenvektor k i parallel zur Flächennormalen ê n verschwindet die Parallelkomponente des Wellenvektors. Damit gilt für die ordentliche Welle: k o = k 0 n o ê n. ( Für die außerordentliche Welle folgt: k e = k 0 n(θ a ê n. Hierbei ist θ a der Winkel zwischen der optischen Achse und der Flächennormalen. ( Nach der obigen Überlegungen ist der Poyntingvektor (und damit die Ausbreitungsrichtung der außerordentlichen Welle im Allgemeinen nicht parallel zum Wellenvektor. Ein 3-13

14 unpolarisierter Lichtstrahl 2 spaltet deshalb in zwei zueinander orthogonal linear polarisierte Teilstrahlen auf. Der ordentliche Strahl (E senkrecht zur optischen Achse breitet sich senkrecht zur Grenzfläche aus während der außerordentliche Strahl (E besitzt eine Komponente parallel zur optischen Achse schräg durch den Kristall läuft. E Optische Achse Außerordentlicher Strahl E Ordentlicher Strahl Wellenfronten Abbildung 3.12: Doppelbrechung eines unpolarisierten Lichtstrahls für senkrechten Einfall. Schräger Lichteinfall Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass der Wellenvektor der einfallenden Welle k i und die optische Achse in einer Ebene liegen. Wir betrachten nun zuerst den Fall, dass das elektrische Feld senkrecht zur optischen Achse orientiert ist (ordentliche Welle. Der Betrag des Wellenvektors k o im uniaxialen Kristall ist dann unabhängig von der Orientierung und es gilt das übliche Brechungsgesetz: k i sin(θ i = k o sin(θ o = k 0 n o sin(θ o. ( Die Erhaltung der Parallelkomponente des Wellenvektor liefert für die außerordentliche Welle: k i sin(θ i = k 0 n e (θ e + θ a sin(θ e. ( Die in Abbildung (3.13 dargestellte Konstruktion ermöglicht das einfache Auffinden des Winkels θ e. 2 Wir denken uns einen Lichtstrahl als Teil einer ebenen Welle, dessen Querschnitt groß ist im Vergleich zur Wellenlänge. 3-14

15 3.3 Wellen in anisotropen Medien Ordentliche Welle Außerordentliche Welle E O.A. E O.A. k θ i k i θ a k θ i k i θ a k k o θ o k k e θ e E E S S Abbildung 3.13: Doppelbrechung bei schrägem Lichteinfall für die ordentliche Welle (links und die außerordentliche Welle (rechts Doppelbrechende Polarisatoren Doppelbrechung kann genutzt werden, um Polarisatoren für linear polarisiertes Licht zu realisieren. Der Glan-Thompson-Polarisator ist hierbei eine in der Praxis häufig genutzte Bauform. Er besteht aus einem Kalkspatkristall (n o = 1.66, n e = 1.49 der schräg zur optischen Achse gespalten wird. Die beiden Teilstücke werden mit einem durchsichtigen Kleber (z.b. Kanadabalsam, n k = 1.54 wieder zusammengefügt. Die Ein- und Austrittsfläche sind beim Glan-Thompson-Polarisator parallel zur optischen Achse orientiert. O.A. o unpol. O.A. a Abbildung 3.14: Glan-Thompson-Polarisator zur Erzeugnung von linear polarisiertem Licht. 3-15

16 Für senkrechten Lichteinfall breiten sich ordentliche und außerordenliche Welle in Richtung der Flächennormalen aus. Ist der Kristall so geschnitten, dass der Einfallswinkel auf die Spaltfläche größer ist als der Grenzwinkel α g = sin 1 (n k /n o, so wird die ordentliche Welle total reflektiert. Damit kann nur die außerordentliche Welle in das zweite Kalkspat- Stück übertreten und die transmittierte Welle ist entlang der optischen Achse polarisiert Verzögerungsplatten Eine Verzögerungsplatte ist ein optischen Element, dass den Polarisationszustand einer transmittierten elektromagnetischen Welle modifiziert. Verzögerungsplatten werden häufig aus uniaxialen Kristallen (z.b. Kalkspat gefertigt. Wir betrachten nun eine planparallele Platte der Dicke d eines doppelbrechenden Materials, dessen optische Achse parallel zu den Grenzflächen orientiert ist. Eine linear polarisierte ebenen Welle treffe senkrecht auf die Platte: E (r, t = E o ê o e ı(ko r ωt + E e ê e e ı(ke r ωt. ( Aufgrund der verschiedenen Brechungsindizes für die ordentliche und die außerordentliche Welle haben die beiden Komponenten am Ende der Platte unterschiedliche optische Weglängen zurückgelegt. Dies führt zu einer relativen Phasenverschiebung ϕ = k o d k e d = 2π λ 0 d (n o n e. ( Durch die Wahl der Dicke d können unterschiedliche Phasenverschiebungen realisiert werden. In der Praxis spielen vor allem λ/4-platten und λ/2-platten eine große Rolle. Experiment: λ/4-platte und λ/2-platte. λ/4-platte Die Dicke der Platte sei so gewählt, dass eine Phasenverschiebung ϕ = π/2 entsteht. Dies wird gerade für d(n o n e = λ 0 /4 erreicht. Ist die Polarisationsrichtung der einfallenden Welle um 45 gegenüber der optischen Achse gedreht (E o = E e, so ist die Welle aufgrund der Phasenverzögerung ϕ = π/2 zwischen den beiden Komponenten hinter der Verzögerungsplatte zirkular polarisiert (Vergleiche mit Abschnitt

17 3.3 Wellen in anisotropen Medien λ/2-platte Wir betrachten nun eine Platte mit d(n o n e = λ 0 /2. Hierdurch entsteht eine Phasenverschiebung ϕ = π zwischen den beiden Polarisationskomponenten. Die Polarisationsrichtung der einfallenden ebenen Welle schließe mit der optischen Achse den Winkel α ein: E e = E 0 cos(α ( E o = E 0 sin(α ( Aufgrund der Phasenverzögerung von ϕ = π zwischen den beiden Komponenten erhalten wir hinter der λ/2-platte: E e = E 0 cos(αe ıked ( E o = E 0 sin(αe ıkod = E 0 sin(αe ıked ( Die Welle ist hinter der λ/2-platte also immer noch linear polarisiert. Allerdings wird die Polarisationsrichtung um den Winkel 2α gedreht. Optische Achse E( z=d E( z=0 E = E cos( e 0 E =-E sin( o 0 E = E sin( o 0 Abbildung 3.15: Drehung der Polarisationsrichtung durch eine λ/2-platte. 3-17

18 3.3.5 Spannungsdoppelbrechung Optisch isotrope Medien (z.b. Gläser oder Polymere können durch mechanischen Druck oder Zug doppelbrechend werden. Dies kann anhand eines einfachen Experiments gezeigt werden. Das Medium wird hierzu zwischen zwei gekreuzte Polarisatoren gestellt und mit einer Weißlichtlampe beleuchtet. Wirken keine Druck- oder Zugkräfte auf das Medium, so verändert das isotrope Medium den Polarisationszustand der elektromagnetischen Welle nicht. Die transmittierte Lichtwelle wird damit durch den Analysator blockiert. Durch das Einwirken einer mechanischen Kraft wird eine Doppelbrechung im Medium induziert. Das Medium wirkt damit als Verzögerungsplatte und die elektromagnetische Welle wird im Allgemeinen hinter dem Medium eine elliptische Welle sein. Damit erhalten wir eine von Null verschiedene Transmission durch den Analysator. WL P1 M P2 Abbildung 3.16: Experiment zur Demonstration der Spannungsdoppelbrechung. Links: Experimenteller Aufbau. WL: Weißlichtlampe, P1: Polarisator, M: eingespannte Glasplatte, P2: Analysator. Rechts: Intensität hinter dem Analysator. Fotos: Michael Kortmann Anwendungsbeispiel: Flüssigkristall Modulatoren Flüssigkristalle bestehen aus gestreckten Molekülen, die in der flüssigen Phase eine Orientierungsordnung aufweisen. Flüssigkristalle treten in verschiedenen Phasen auf: Nematische Phase: Die Moleküle sind parallel orientiert aber zufällig angeordnet. Smektische Phase: Die Moleküle sind in Schichten angeordnet, in denen sie eine einoder zweidimensional periodische Struktur ausbilden. Cholesterische Phase: Die Moleküle sind in Schichten parallel angeordnet. Die einzelnen Schichten sind helixförmig verdreht. 3-18

19 3.4 Optische Aktivität (a (b (c Abbildung 3.17: Flüssigkristalline Phasen: (a Nematische Phase. (b Smektische Phase. (c Cholesterische Phase. (Quelle: Wikipedia. Für Modulatoren ist insbesondere die nematischen Phase von großem technischem Interesse. Diese hat optische Eigenschaften wie ein uniaxialer Kristall, dessen optische Achse parallel zu den Molekülen orientiert ist. Flüssigkristall-Moleküle können aufgrund ihrer anisotropen dielektrischen Eigenschaften durch ein äußeres elektrisches Feld ausgerichtet werden. Typischerweise orientieren sich die Moleküle mit ihrer langen Achse parallel zum Feld. Eine Nematische Drehzelle besteht aus zwei Glassplatten, die mit einer transparenten Elektrode aus Indium-Zinn-Oxid (ITO und einem dünnen Polymid-Film beschichtet sind. Zwischen den Glasplatten befindet sich ein nematischer Flüssigkristall. Durch Bürsten wird die Polymidschicht mit Rillen versehen. Die Flüssigkristall-Moleküle richten sich ohne angelegte Spannung parallel zu den Rillen aus. Werden die Vorzugsrichtungen der beiden Substrate um 90 zueinander verdreht, so ergibt sich eine kontinuierliche Drehung der Vorzugsrichtung der Flüssigkristall-Moleküle um 90 entlang der Zelle. Die Polarisation einer linear polarisierten optischen Welle folgt der Vorzugsrichtung der Flüssigkristall-Moleküle, so dass die spannungslose Nematische Drehzelle die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90 dreht. Durch das Anlegen einer Spannung werden die Flüssigkristall-Moleküle entlang der Zelle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation der optischen Welle bleibt erhalten. Die Anordnung einer nematischen Drehzelle zwischen zwei gekreuzten Polarisatoren bildet das Grundelement einer Flüssigkristall-Anzeige. 3.4 Optische Aktivität Optische Aktivität bezeichnet die Eigenschaft bestimmter Materialien die Polarisationsrichtung einer linear polarisierten Welle beim Durchgang durch das Medium zu drehen. 3-19

20 (a Polarisator Elektrode mit Rillen Verdrehter nematischer Flüssigkristall Elektrode mit Rillen Polarisator (b V Abbildung 3.18: Nematische Drehzelle: (a Ohne angelegte Spannung wird die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90 gedreht. (c Durch das Anlegen einer Spannung werden die Flüssigkristall-Moleküle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation der optischen Welle bleibt erhalten. Der Drehwinkel ist hierbei unabhängig von der Polarisationsrichtung der einfallenden Welle. Für ein optisch aktives Medium der Dicke d gilt: α = α s d. (3.4.1 α ist der Drehwinkel der Polarisationsrichtung hinter dem Medium und α s das spezifische optische Drehvermögen. Experiment: Optische Aktivität von Zuckerlösung. Wird die Polarisationsrichtung beim Blick in Richtung der Lichtquelle im Uhrzeigersinn gedreht, so spricht man von einer rechtsdrehenden Substanz. Bei Drehung der Polarisationsrichtung im Gegenuhrzeigersinn nennt man die Substanz linksdrehend. 3-20

21 3.4 Optische Aktivität Optische Aktivität tritt nur in chiralen ( händigen Medien auf. Die molekularen Bausteine eines chiralen Mediums können weder durch Rotation noch durch Translation mit ihrem Spiegelbild in Deckung gebracht werden 3. Ohne Beweis: Die Polarisationseigenzustände eines optisch aktiven Medium sind linksund rechtszirkular polarisiertes Licht. Aufgrund der Chiralität der molekularen Bausteine wechselwirken diese unterschiedlich mit den beiden zirkularen Polarisationen. Die zugehörigen Phasengeschwindigkeiten im Medium sind c L = c 0 /n L und c R = c 0 /n RCP. Eine linear polarisierte Welle kann als Überlagerung einer links- und rechtszirkular polarisierten Welle aufgefasst werden: mit E = E 0 ê x e ı(kz ωt = E L + E R (3.4.2 E L = E 0 2 (ê x ıê y e ı(kz ωt (3.4.3 E R = E 0 2 (ê x + ıê y e ı(kz ωt (3.4.4 Nach der Propagation durch ein optisch aktives Medium der Dicke d erhalten wir: mit E = E L e ıϕ L + E R e ıϕ R (3.4.5 ϕ L = 2π λ 0 dn L ϕ R = 2π λ 0 dn R. (3.4.6 (3.4.7 Eine kurze Rechnung liefert: [ ( ( ] E = E 0 e ı( ϕ L +ϕ R 2 ϕ ϕ cos ê x sin ê y e ı(kz ωt ( mit ϕ = ϕ R ϕ L = 2π λ 0 d (n R n L. (3.4.9 Der Vergleich mit Gleichung (3.4.1 liefert 4 : α s = π λ 0 (n L n R. ( Schrauben mit Links- und Rechtsgewinde sind Beispiele für chirale Objekte 4 Vorzeichen beachten! 3-21

22 3.5 Jones Formalismus Die Polarisationseigenschaften eines optischen Bauteils können mit Hilfe des sogenannten Jones-Formalismus beschrieben werden. Dieser ermöglicht die effiziente Berechnung des Polarisationszustands einer beliebigen ebenen Wellen nach der Transmission durch das optische Element. Ebenso lassen sich Verkettung mehrerer optischer Bauteile einfach handhaben. Betrachte beliebige ebene Welle: E (r, t = (E x e ıϕx ê x + E y e ıϕy ê y e ı(kz ωt. (3.5.1 Definiere zugehörigen Jones-Vektor: J = 1 ( Ex e ıϕx E E y e ıϕy (3.5.2 mit E = E 2 x + E2 y. Beispiele: Horizontal linear polarisierte Welle: J = ( 1 0 (3.5.3 Vertikal linear polarisierte Welle: J = ( 0 1 (3.5.4 Rechtszirkular polarisierte Welle: J = 1 ( 1 2 i (3.5.5 Linkszirkular polarisierte Welle: J = 1 2 ( 1 i (

23 3.5 Jones Formalismus Wir betrachten eine ebene Welle mit Jones-Vektor J i. Nach der Propagation durch ein optisches Element ändert sich der Polarisationszustand der ebenen Welle: J i J t. Die Jones-Vektoren der ebenen Welle vor und nach dem optischen Element sind durch eine 2 2-Matrix, die sogenannte Jones-Matrix T, miteinander verknüpft: J t = T J i (3.5.7 mit ( Txx T T = xy T yx T yy (3.5.8 Beispiele: Linearpolarisator mit Durchlassrichtung in x-richtung: T = ( (3.5.9 Linearpolarisator mit Durchlassrichtung in y-richtung: T = ( ( Verzögerungsplatte mit optischer Achse in x-richtung: T = ( e ı ϕ ( mit ϕ = 2π λ 0 d (n o n e. Durchläuft eine ebene Welle mehrere optische Elemente, so ergibt sich die Jones-Matrix des Gesamtsystems aus dem Produkt der einzelnen Jones-Matrizen: T = T n T 2 T 1. ( Hierbei ist T 1 die Jones-Matrix des optischen Elements, das von der Welle zuerst durchlaufen wird. In den angegebenen Beispielen fallen die ausgezeichneten Richtungen der optischen Elemente mit den Koordinatenachsen zusammen. Um die Jones-Matrizen der optischen Elemente für beliebige Orientierungen zu berechnen, führen wir einen Wechsel in ein geeignetes Koordinatensystem durch. 3-23

24 Die Elemente eines Jones-Vektors hängen von der Wahl des Koordinatensystems ab. Mit Hilfe einer Drehmatrix R(θ können wir den Jones-Vektor in einem um den Winkel θ gedrehten Koordinatensystem angeben: mit J = R(θJ R(θ = ( cos(θ sin(θ sin(θ cos(θ ( ( Wir wollen nun als Beispiel die Jones-Matrix T eines Linearpolarisators berechnen, dessen Durchlassrichtung mit der x-achse einen Winkel α einschließt. Hierzu betrachten wir einen beliebigen Jones-Vektor J i und wechseln in das um den Winkel α gedrehte Koordinatensystem: J i = R(α J i ( In diesem Koordinatensystem ist die Jones-Matrix T des Linearpolarisator durch Gleichung (3.5.9 gegeben. Der Jones-Vektor der ebenen Welle hinter dem Polarisator ist J t = T J i. ( Anschliesend wechseln wir wieder in das ursprüngliche Koordinatensystem: J t = R( α J t = R( α T R(α J i. ( Der Linearpolarisator hat im ursprünglichen Koordinatensystem die Jones-Matrix: T = R( α T R(α = = ( ( ( cos(α sin(α 1 0 cos(α sin(α sin(α cos(α 0 0 sin(α cos(α ( cos 2 (α cos(α sin(α cos(α sin(α sin 2 ( (α Analog lassen sich Verzögerungsplatten behandeln, deren optische Achsen mit der x-achse einen Winkel α einschließen. 3-24