Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik"

Transkript

1 8. Vorlesung

2 Bemerkung: Sei X = (X 1,..., X n ) Zufallsvektor. Der n dimensionale Vektor ( ) E(X ) = E(X 1 ),..., E(X n ) ist der Erwartungswert des Zufallsvektors X. Beispiel: Seien X, Y N (0, 1). (X, Y ) sind die Koordinaten eines zufälligen Punktes in der Ebene. Sei K ein zufälliger Kreis, so dass (X, Y ) K und (0, 0) ist der Mittelpunkt des Kreises K. Man bestimme den Erwartungswert für den Flächeninhalt des Kreises K!

3 Mittelwert E(X ) und Varianz V (X ) in Matlab Werte der ZG X seien x = [x 1,..., x n ] mean(x) = 1 n (x x n ) mean(x) E(X ) wenn n groß ist var(x, 1) = 1 n n (x i mean(x)) 2 i=1 var(x, 1) V (X ) wenn n groß ist

4 Definition 19 ( ) cov(x, Y ) = E (X E(X )) (Y E(Y )) ist die Kovarianz der Zufallsgrößen X und Y. Kovarianz cov(x, Y ) in Matlab: Werte der ZG X, Y seien x = [x 1,..., x n ] bzw. y = [y 1,..., y n ] man bezeichne: CV := 1 n n (x i mean(x))(y i mean(y)) i=1 in Matlab: cov(x, y, 1) = ( var(x, 1) CV CV var(y, 1) )

5 Satz 17 Sind X, Y ZG (diskret oder stetig), dann gilt: (1) V (X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. (2) V (ax + b) = a 2 V (X ) a, b R. (3) X und Y unabhängig E(X Y ) = E(X ) E(Y ); V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ). (4) cov(x, X ) = V (X ). (5) cov(x, Y ) = E(X Y ) E(X )E(Y ). (6) V (ax + by ) = a 2 V (X ) + b 2 V (Y ) + 2ab cov(x, Y ) a, b R.

6 Verteilung Erwartungswert Varianz Bin(n, p) np np(1 p) Poisson(λ) λ λ Unif [a, b] a+b 2 (b a) 2 12 N (µ, σ 2 ) µ σ 2 Gamma(α, β) αβ αβ 2 Exp(λ) 1 λ 1 λ 2

7 Definition 18 (X n ) n ist eine Folge von unabhängigen ZG, wenn {i 1,..., i k } N die ZG X i1,..., X ik sind unabhängig, d.h. P(X i1 x i1,..., X ik x ik ) = P(X i1 x i1 ) P(X ik x ik ) x i1,..., x ik R. Zum Beispiel: ZG X n = die angezeigte Zahl im n-ten Wurf eines Würfels (X n ) n ist eine Folge von unabhängigen ZG

8 Definition 19 Die Folge (X n ) n von ZG konvergiert fast sicher zur ZG X, wenn Bezeichnung: X n f.s. X P({ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)}) = Beispiel: ( 1 1 X n n n ) X n f.s.???

9 2. Beispiel: Ω := [0, 1] Grundraum, K := B([0, 1]) Borel-σ-Algebra auf [0, 1]; sei P das Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0, 1], d.h. für alle α < β aus [0, 1] berechnet man P ( [α, β] ) = P ( [α, β) ) ( ) ( ) = P (α, β] = P (α, β) := β α P entspricht dem Lebesgue Maß auf [0,1] (siehe 2. Vorlesung) X n (ω) = ω + ω n, ω [0, 1], n 1 X n Sei X (ω) = ω für alle ω Ω { ω für ω [0, 1) lim X n(ω) = n 2 für ω = 1 f.s.??? {ω Ω : lim n X n(ω) = ω} = [0, 1) P({ω Ω : lim n X n(ω) = ω}) = P([0, 1)) = 1 X f.s. Wahrscheinlichkeitsrechnung X und Statistik

10 Relative und absolute Häufigkeit Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal (unter denselben gegebenen Bedingungen); man bezeichnen mit k n (A) wie oft das Ereignis A auftaucht; die relative Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl h n (A) = k n(a) ; die absolute Häufigkeit des Ereignisses A ist die n Zahl k n (A). Experiment: Man wirft n mal eine Münze; A: man erhält Zahl n Anzahl absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Durchführungen Exp. k n (A) h n (A) h n (A) f.s. 1 2 (siehe Satz 20) Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

11 Das Starke Gesetz der großen Zahlen (SGGZ) Definition 20 Die Folge von ZG (X n ) n mit E X n < für alle n N erfüllt das starke Gesetz der großen Zahlen (SGGZ) wenn 1 n n k=1 ( ) f.s. X k E(X k ) 0.

12 Das Starke Gesetz der großen Zahlen (SGGZ) Satz 18 Sei (X n ) n Folge von unabhängigen ZG mit E X n < für alle 1 n N und n 2 V (X n) < (X n ) n erfüllt das SGGZ. Satz 19 n=1 Sei (X n ) n Folge von unabhängigen ZG mit der gleichen Verteilung wie die ZG X (d.h. E(X n ) = E(X ), V (X n ) = V (X ) für alle n N) (X n ) n erfüllt das SGGZ, d.h. 1 n (X X n ) f.s. E(X ).

13 Würfeln: Matlab Simulation Gesetz der großen Zahlen clear all clf hold on n=350; x=unidrnd(6,1,n); for i=1:n s(i)=sum(x(1:i))/i; y(i)=i; plot(y(i),s(i), b. ) plot(y(i),3.5, g- ) end plot(y,s, r- ) xlabel( Anzahl Würfe ) ylabel( Durchschnittliche Summe der Zahlen ) x(1:7)=[1, 4, 6, 6, 2, 1,1] s(1:7)=[1, 2.5, , 4.25, 3.8, , 3]

14 Gesetz der großen Zahlen

15 Satz 20 Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal (unter denselben gegebenen Bedingungen). Das Gesetz der großen Zahlen: je öfter man das Zufallsexperiment durchführt (also je größer n), desto besser approximiert die relative Häufigkeit h n (A) des Ereignisses A seine echte Wahrscheinlichkeit P(A): h n (A) f.s. P(A), wenn n. In der Praxis: h n (A) P(A), wenn n hinreichend groß ist! Beweis: Man benutzt Satz 19.

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 8. Vorlesung Pseudozufallszahlen sind, wie der Name schon sagt, keine echten Zufallszahlen, sondern werden durch Generatoren erzeugt. Als Pseudozufallszahlen bezeichnet man Zahlenfolgen die durch einen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik PD Dr. U. Ludwig Vorlesung 7 1 / 19 2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Fortsetzung) 2 / 19 Bedingter Erwartungswert

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. und 2. Vorlesung - 2017 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen

13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen 13 Grenzwertsätze 13.1 Das Gesetz der großen Zahlen Der Erwartungswert einer zufälligen Variablen X ist in der Praxis meist nicht bekannt. Um ihn zu bestimmen, sammelt man Beobachtungen X 1,X 2,...,X n

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer

Mehr

Woche 2: Zufallsvariablen

Woche 2: Zufallsvariablen Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Unabhängige Zufallsvariablen

Unabhängige Zufallsvariablen Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere: a) durchschnittlicher Wert Erwartungswert, z.b.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5. Vorlesung Verteilungsfunktion (VF) Definition 9 Die Verteilungsfunktion (VF) einer Zufallsgröße X ist F : R R definiert als F (x) := P({ω Ω : X (ω) x}) = P( X x ) für jedes x R. Satz 9 - Eigenschaften

Mehr

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Thema: Wahrscheinlichkeit. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Thema: Wahrscheinlichkeit. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression 1. Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Zufallsexperiment zu? a) Ein Zufallsexperiment ist ein empirisches Phänomen, das in stochastischen Modellen

Mehr

Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Mehrdimensionale Zufallsvariablen Mehrdimensionale Zufallsvariablen Im Folgenden Beschränkung auf den diskreten Fall und zweidimensionale Zufallsvariablen. Vorstellung: Auswerten eines mehrdimensionalen Merkmals ( ) X Ỹ also z.b. ω Ω,

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen (Bildbereich also reelle Zahlen, metrische Skala) durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere:

Mehr

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Priv.-Doz. Dr. H. Steinacker Wintersemester 2013/2014 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachte Wiederholungen eines Experimentes, gleicher Vorbereitung (z.b. Würfeln, Dart werfen, Doppelspaltexperiment,...)

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen David Geier und Sven Middelberg RWTH Aachen, Sommersemester 27 Inhaltsverzeichnis Information 2 Aufgabe 4 Aufgabe 2 6 4 Aufgabe

Mehr

Satz von Borel-Cantelli. Limes inferior von Mengen. Limes superior von Mengen. Stetigkeit. Konvergenz von Zufallsvariablen. Kolmogorow-Ungleichung

Satz von Borel-Cantelli. Limes inferior von Mengen. Limes superior von Mengen. Stetigkeit. Konvergenz von Zufallsvariablen. Kolmogorow-Ungleichung Satz von Borel-Cantelli Limes inferior von Mengen Limes superior von Mengen Stetigkeit Konvergenz von Zufallsvariablen Kolmogorow-Ungleichung Tschebyschow-Ungleichung Konvergenzkriterien Starkes Gesetz

Mehr

Probeklausur Statistik II

Probeklausur Statistik II Prof. Dr. Chr. Müller PROBE-KLAUSUR 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Gesamt: 15 8 16 16 7 8 15 15 100 Probeklausur Statistik II Name: Vorname: Fachrichtung: Matrikel-Nummer: Bitte beachten Sie folgendes: 1) Die Klausur

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

TU DORTMUND Sommersemester 2018

TU DORTMUND Sommersemester 2018 Fakultät Statistik. April 08 Blatt Aufgabe.: Wir betrachten das Zufallsexperiment gleichzeitiges Werfen zweier nicht unterscheidbarer Würfel. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme beider Würfel ungerade

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung 4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt

Mehr

Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen

Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Kapitel 7 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Im Folgenden sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Der Erwartungswert von X ist ein Lebesgue-Integral (allerdings allgemeiner als in Analysis

Mehr

KAPITEL 5. Erwartungswert

KAPITEL 5. Erwartungswert KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wiederh.)

Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wiederh.) Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wiederh.) 1 Zusammenfassung Bedingte Verteilung: P (y x) = P (x, y) P (x) mit P (x) > 0 Produktsatz P (x, y) = P (x y)p (y) = P (y x)p (x) Kettenregel

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie KAPITEL 7 Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie 7.1. Vorüberlegungen Die folgenden drei Beispiele sind Spezialfälle des Oberbegriffs Maß. Beispiel 7.1.1 (Verteilung der Ladung oder der Masse). Man

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A

Mehr

Kapitel 12 Erwartungswert und Varianz

Kapitel 12 Erwartungswert und Varianz Kapitel 12 Erwartungswert und Varianz Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom 4/10. Juni 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 12.1 Der Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen

Mehr

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska

Mehr

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................

Mehr

1. Grundbegri e. T n i=1 A i = A 1 \ A 2 \ : : : \ A n alle A i treten ein. na = A das zu A komplementäre Ereignis; tritt ein, wenn A nicht eintritt.

1. Grundbegri e. T n i=1 A i = A 1 \ A 2 \ : : : \ A n alle A i treten ein. na = A das zu A komplementäre Ereignis; tritt ein, wenn A nicht eintritt. . Grundbegri e Menge der Ereignisse. Die Elemente! der Menge heißen Elementarereignisse und sind unzerlegbare Ereignisse. Das Ereignis A tritt ein, wenn ein! A eintritt. ist auch das sichere Ereignis,

Mehr

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit 3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

5 Binomial- und Poissonverteilung

5 Binomial- und Poissonverteilung 45 5 Binomial- und Poissonverteilung In diesem Kapitel untersuchen wir zwei wichtige diskrete Verteilungen d.h. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen): die Binomial- und die Poissonverteilung. 5.1

Mehr

Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 12

Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 12 Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2013-2014 Übungsblatt 12 20. Januar 2014 Die folgenden ufgaben sind aus ehemaligen Klausuren! ufgabe 38.1 (1 Punkt: In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

1.3 Zufallsvariablen

1.3 Zufallsvariablen 1.3 Zufallsvariablen Beispiel Irrfahrt zwischen drei Zuständen Start in G bei t = 0, Zeithorizont T N Grundraum σ-algebra Ω = {ω = (ω 0, ω 1,..., ω T ) {G, R, B} T +1, ω 0 = G} Wahrscheinlichkeitsmaß P

Mehr

Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen

Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen 6. Juli 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 3 Lindeberg-Bedingung Interpretation Definition Motivation (Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen) Sind

Mehr

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 22. September 2015 Evelina Erlacher 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben

Mehr

Reelle Zufallsvariablen

Reelle Zufallsvariablen Kapitel 3 eelle Zufallsvariablen 3. Verteilungsfunktionen esultat aus der Maßtheorie: Zwischen der Menge aller W-Maße auf B, nennen wir sie W B ), und der Menge aller Verteilungsfunktionen auf, nennen

Mehr

Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen

Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen Mathematik II für Biologen 12. Juni 2015 Zufallsvariable Kennzahlen: Erwartungswert Kennzahlen: Varianz Kennzahlen: Erwartungstreue Verteilungsfunktion Beispiel: Exponentialverteilung Kennzahlen: Erwartungswert

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK

Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK Prof. Dr. P. Bühlmann ETH Zürich Winter 2010 Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK 1. (10 Punkte) Bei den folgenden 10 Fragen ist jeweils genau eine Antwort richtig. Es gibt pro richtig beantwortete

Mehr

Vorlesung 4b. Die Varianz

Vorlesung 4b. Die Varianz Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert als Var X := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Review)

Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Review) Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Review) 1 Diskrete Zufallsvariablen (Random variables) Eine Zufallsvariable X(c) ist eine Variable (genauer eine Funktion), deren Wert vom Ergebnis c

Mehr

13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen

13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen 13 Grenzwertsätze 13.1 Das Gesetz der großen Zahlen Der Erwartungswert einer zufälligen Variablen X ist in der Praxis meist nicht bekannt. Um ihn zu bestimmen, sammelt man Beobachtungen X 1,X 2,...,X n

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler

Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Fachbereich Mathematik 20.04.2017 Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 0 Keine Abgabe. Gegeben seien die Mengen A 1 =, A 2 = {1}, A 3 = {1, 1}, A 4 = {1, 3}, A 5 = {1, 2, 4}, A 6 = {1, 2, 3, 4}. a) Bestimmen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder

Mehr

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Seminar Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie Pascal Beckedorf 12. November 2012 Pascal Beckedorf Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 12. November 2012 1

Mehr

Vorlesung 4b. Die Varianz

Vorlesung 4b. Die Varianz Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ Die Varianz von X ist definiert als Var[X] := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen

Mehr

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

67 Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz

67 Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz 67 Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz 67.1 Motivation Oft möchte man dem Resultat eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnen. Der Gewinn bei einem Glücksspiel ist ein Beispiel hierfür. In

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Finanzmathematische Modelle und Simulation

Finanzmathematische Modelle und Simulation Finanzmathematische Modelle und Simulation WS 9/1 Rebecca Henkelmann In meiner Ausarbeitung Grundbegriffe der Stochastik I, geht es darum die folgenden Begriffe für die nächsten Kapitel einzuführen. Auf

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. Vorlesung - 7.10.2016 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)?

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? 1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? Als Wahrscheinlichkeit verwenden wir ein Maß, welches die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit h n () besitzt, aber nicht zufallsbehaftet ist. Jan

Mehr

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6

Mehr

Erwartungswert als Integral

Erwartungswert als Integral Erwartungswert als Integral Anton Klimovsky Gemischte ZVen, allgemeine ZVen, Erwartungswert für allgemeine ZVen, Lebesgue-Integral bzgl. WMaß, Eigenschaften des Integrals, Lebesgue-Maß, Lebesgue-Integral

Mehr

Stochastik für die Naturwissenschaften

Stochastik für die Naturwissenschaften Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 5. Erwartungswert E und Varianz V Literatur Kapitel 5 * Storrer: (37.9)-(37.12), (38.4), (40.6)-(40.9), (41.2) * Stahel: Kapitel 5 und 6 (nur

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert

Mehr

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt. Normalverteilung Diskrete Stetige f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Gauß 91 / 169 Normalverteilung Diskrete Stetige Satz: f aus (1) ist Dichte. Beweis: 1. f(x) 0 x R und σ > 0. 2. bleibt z.z. lim F(x)

Mehr

1 Multivariate Zufallsvariablen

1 Multivariate Zufallsvariablen 1 Multivariate Zufallsvariablen 1.1 Multivariate Verteilungen Definition 1.1. Zufallsvariable, Zufallsvektor (ZV) Sei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Eine (univariate oder eindimensionale)

Mehr

Kapitel 8. Parameter multivariater Verteilungen. 8.1 Erwartungswerte

Kapitel 8. Parameter multivariater Verteilungen. 8.1 Erwartungswerte Kapitel 8 Parameter multivariater Verteilungen 8.1 Erwartungswerte Wir können auch bei mehrdimensionalen Zufallsvariablen den Erwartungswert betrachten. Dieser ist nichts anderes als der vektor der Erwartungswerte

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Psychologische Methodenlehre und Statistik I

Psychologische Methodenlehre und Statistik I Psychologische Methodenlehre und Statistik I Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2013 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/61 Zufallsexperiment

Mehr

Prof. Dr. R. Mathar RWTH Aachen, SS 2002 Daniel Catrein Abgabe: bis 15:45 Uhr. 1. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker

Prof. Dr. R. Mathar RWTH Aachen, SS 2002 Daniel Catrein Abgabe: bis 15:45 Uhr. 1. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker Daniel Catrein Abgabe: 02.05.02 1. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker Aufgabe 1 Bei einem Kartenspiel mit 52 Karten werden an jeden der vier Spieler (A, B, C und D) 13 Karten ausgegeben.

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 06.1008 Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen. Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt,

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 3/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge

Mehr

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel 3 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 3. Einleitung Wir hatten schon bemerkt, dass der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums nicht ausreicht, um das unendliche Wiederholen eines Zufallsexperiments

Mehr

Teil VIII. Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Lernziele. Typische Situation

Teil VIII. Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Lernziele. Typische Situation Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle Patric Müller ETHZ Teil VIII Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle WBL 17/19, 29.05.2017 Wahrscheinlichkeit

Mehr

6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik

6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Michael Kohler Dipl.-Math. Andreas Fromkorth Dipl.-Inf. Jens Mehnert SS 9 1.6.29 6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik Aufgabe 22 Sei P ein auf der Borelschen

Mehr

68 Abschätzungen für Abweichungen vom Erwartungswert

68 Abschätzungen für Abweichungen vom Erwartungswert 68 Abschätzungen für Abweichungen vom Erwartungswert 68.1 Motivation Mit der Varianz bzw. Standardabweichungen kennen wir bereits ein Maß für die Fluktuation einer Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert.

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Alea iacta est!

Wahrscheinlichkeitstheorie. Alea iacta est! Wahrscheinlichkeitstheorie Alea iacta est! "Wissenschaftliche Theorien, die auf Eigenschaften einer großen Zahl von Individuen rekurrieren, [...] werden anfällig gegen Fehlinterpretationen, wenn man die

Mehr