TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. Michael Wolf Daniel Stilck França Stefan Huber Zentralübung Z7.. Komplexe Wegintegrale TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Berechnen Sie die folgenden Integrale: (a cos(z e z z +z z + (b z = (c ez z n für n Z (a Es gilt Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3 MA94 Wintersemester 6/7 Lösungsblatt 7 (4..6 cos(z e z z + z = cos(z e z. ( z + z Wir definieren f : B ( C, f(z := cos(z e z z+. Dann ist f holomorph und mit der Cauchyschen Integralformel erhalten wir cos(z e z z + z = f(z z Cauchy (b Wir setzen eine Partialbruchzerlegung an und erhalten Also rechnen wir z + = i z = z + = (z + i(z i = i z = = if( = i. ( z + i i z i. (3 z + i i Cauchy = i (i i =. (4 z = z i (c Wir unterscheiden die Fälle n und n >. Fall, n. Dann ist e z z n eine ganze Funktion und mit dem Cauchy-Integralsatz folgt, dass das betrachtete Integral verschwindet. Fall, n >. Wir können die Cauchy sche Integralformel für höhere Ableitungen verwenden und erhalten e z z n = e z i = (z n (n! Z7.. Hauptzweig des komplexen Logarithmus d n n ez z= = i (n!. (5 Bestimmen Sie auf der geschlitzten komplexen Ebene C := C \ R die Stammfunktion log : C C von z z, die für z > mit der reellen Logarithmusfunktion ln übereinstimmt. Bei Bedarf setzt man log( r = lim log( r + iɛ für r >. ɛ (a Geben Sie Real- und Imaginärteil von log(re iφ mit r >, φ ], ] und log(x + iy für x > an. (b Was ist log(i, log(4 + 3i, log( e? (c Unter welcher Bedingung gilt log(z + log(w = log(zw für z, w C? (d Unter welcher Bedingung gilt log(z k = k log(z für k Z, z C? (e Für welche z C gilt log(exp(z = z? (f Für welche z C gilt exp(log(z = z?

2 C ist sternförmig, z z ist auf C holomorph. Nach dem Cauchy-Integralsatz gibt z es also eine Stammfunktion, die wir als log z = definieren. Da diese Definition unabhängig vom Integrationsweg in C ist, wählen wir eine Kurve, die zunächst auf der reellen Achse und dann entlang einer Kreislinie um den Ursprung mit Radius z verläuft, dw w log z = z z + z = z dx x + arg(z i z e it dt = ln z + i arg(z (6 z eit mit dem Kreisbogen (t = z e it, t [, arg z]. Zur Erinnerung: arg : C \ {} ], ] ist die Funktion re iφ φ für r >, φ ], ]. Für x > ist arg(x + iy = arctan( y x, x für y ist arg(x + iy = arccos(. x +y Es gilt also Die Formel gilt auch für φ =, da log(re iφ = ln r + iφ für r >, φ ], [. (7 lim log( r + iɛ = lim ln r + ɛ + i arccos( ɛ ɛ r r +ɛ = ln r + i. Außerdem ist log(x + iy = ln x + y + i arctan y x für x >. (a Real- und Imaginärteil wurden in Gleichung (6 angegeben. (b (i log(i = i (c Sei z = re iφ, w = se iψ. Dann ist log( +i, (ii log( i = 3i 4, (iii log(3 + 4i = ln 5 + i arctan 3 4, (iv log( e = + i. log(z + log(w = ln r + iφ + ln s + iψ = ln(rs + i(φ + ψ = log(zw genau dann, wenn φ + ψ ], ]. Gegenbeispiel: log( +i + log( +i = log(e i log(e i 3 4 = i 3, aber +i = log( i = i, denn das Argument von ei 3 ist i und nicht i 3. (d log(z k = ln( z k + i arg(z k = k ln( z + i arg(z k. Die Bedingung ist also, dass arg(z k = k arg(z ist, was der Fall ist, wenn arg(z ( k, k ] ist. (e Sei z = x + iy C (grundsätzlich könnte man hier auch z C erlauben. Dann gilt exp(z = e x e iy, und log(exp(z = ln(e x + i arg(e iy. Die Bedingung ist daher, dass arg(e iy = y gelten muss, also y (, ]. (f Sei z = re iϕ C. Wir rechnen, dass log(z = ln(r+iϕ und exp(log(z = e ln(r+iϕ = re iϕ gilt. Die Gleichung gilt also für alle z C. Der Grund für dieses Phänomen liegt darin, dass der komplexe Logarithmus C C injektiv, aber nicht surjektiv ist, während die Exponentialfunktion C C surjektiv, aber nicht injektiv ist. Daher hat der Logarithmus nur eine Linksinverse, und die Exponentialfunktion hat nur eine Rechtsinverse. Z7.3. Die allgemeine Potenz und ihre Reihenentwicklung Für z C \ {} und α C ist die allgemeine Potenz definiert als z α := e α log z, wobei log(re iφ := iφ + ln r für r >, φ ], ], der auf C \ {} (unstetig fortgesetzte Hauptzweig des Logarithmus ist. Man zeige:

3 d (a zα = αz α für z C = C \ R. (b Für α Z ist z α auf R nicht stetig. Hinweis: Betrachte (t = re i(+t bei t =. (c Für z < gilt mit ( α k := α α α k+ k, α C, ( + z α = ( α k z k. Hinweis: Man berechne die Ableitungen von f(z = ( + z α im Ursprung. k= (a Eingeschränkt auf C ist z z α holomorph, da ln : C C holomorph ist mit ln (z = z. Somit berechnet man mit den gewöhnlichen Ableitungsregeln für komplexe Differentiation (Summen-, Produkt-, Kettenregel d zα = d eα ln z = αe α ln z z = αeα ln z e ln z = αe (α ln z = αz α (b t ((t α ist für α Z bei t = nicht stetig fortsetzbar, denn für t ], [ ist { (t α = e α ln(rei(+t e α(ln r+i(+t = r α e iα(+t für t <, = e α(ln r+i( +t = r α e iα( +t für t >. Es gilt also ( α ( + α = e iα für α Z. (c Es gilt offenbar f (k (z = α(α (α k + ( + z α k für k N und damit f (k ( = α(α (α k + = k! ( α k. Da f holomorph auf B ( ist, ist f dort gleich seiner Taylorreihe, d.h. Tutoraufgaben ( + z α = f(z = k= f (k ( z k = k! k= ( α z k. k Der Konvergenzradius ist für α N, da dann die Potenzreihe abbricht (Binomische Formel. Andernfalls ist der Konvergenzradius, da ( + z α auf B ( holomorph ist ( Kgzradius aber für z R, z <, nicht holomorph fortgesetzt werden kann ( Kgzradius. Explizit kann man das mit dem Quotientenkriterium nachrechnen, ( α k+ ( α k z k+ z k α k = z z für k. k + Die Binomialreihe konvergiert also absolut für z < und divergiert für z >. T7.. Kurvenintegrale (a Berechnen Sie (b Berechnen Sie z =R z =R z n für R >, n Z. z n für R >, n Z. (c Warum kann z auf C \ {} keine Stammfunktion haben?

4 (a (t = Re it, t [, ]. z =R zn = (Re it n ire it dt = ir (b z =R zn = (Re it n ire it dt = ir n+ n+ e i(n t dt = i R δ n,. e i(n+t dt = i δ n,. (c Wäre F : C \ {} C Stammfunktion von z, so würde für (t = eit gelten: = F ( F ( = F (( F (( = F (z = = i. z Widerspruch. T7.. Komplexe Wegintegrale: Eine Anwendung Sei R(x = p(x q(x (a Zeigen Sie, dass gilt: eine reelle rationale Funktion, die q(x für alle x [, ] erfüllt. R(cos(tdt = ( R (z + z iz. (8 (b Berechnen Sie (c Berechnen Sie dt a + cos(t für a >. (9 cos(x n dx für n N. ( (a Wir verwenden den Weg : [, ] C, (t := e it und erhalten ( ( e it R (z + z iz = + e it R (b Nach Teil (a erhalten wir dt a + cos(t = ie it dt = ieit a + (z + z iz = i R(cos(tdt. ( z + az +. ( Die Nullstellen des Polynoms z +az+ liegen bei z, = a± a. Wir bemerken, dass z = a a > gilt, und z = z, also z <. Daher ist die Funktion f : B ( C, f(z := z z (3 holomorph. Mit der Cauchy-Integralformel erhalten wir i z + az + = i (4 z z z z f(z = i (Cauchy = 4i f(z (5 z z = 4 = z z a. (6

5 (c Anstatt einer direkten Anwendung von Teil (a gehen wir hier direkter vor (bei gleicher Grundidee - man muss nur auf den Vorfaktor /, der in Teil (a auftritt, aufpassen. z (z +z n für : [, ] C, (t := e it. Es gilt mit der binomischen Formel z (z + z n = n i= ( n z i n. (7 i Da die Integrale der Form zk für k N verschwinden (vergleiche T7.(a, verschwinden auch alle Summanden außer demjenigen für i = n, in welchem Falle wir verwenden, dass = i. (8 z Also gilt z (z + z n = ( n i. (9 n Wenn wir die Parametrisierung von direkt einsetzen, erhalten wir aber auch Also folgt: T7.3. Identitätssatz z (z + z n = = i cos(t n dt = n ( n n e it (e it + e it n ie it dt ( n cos(t n dt. (. ( Geben Sie ein Beispiel einer nichtkonstanten holomorphen Funktion f : U C auf einem Gebiet U C an, sodass die Menge Z(f := {z U f(z = } (3 einen Häufungspunkt besitzt. Warum widerspricht das nicht dem Identitätssatz? Wir betrachten U = C und f : U C, f(z := sin(/z. Dann gilt { } Z(f = k Z, k. (4 k Diese Menge hat den Ursprung als Häufungspunkt. Offensichtlich ist jedoch f nicht konstant, insbesondere nicht die konstante Nullfunktion. Dies ist kein Widerspruch zum Identitätssatz, da der Häufungspunkt von Z(f nicht selbst in U enthalten ist.

6 Hausaufgaben H7.. Das Bild ganzer Funktionen liegt dicht in C Sei f : C C eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass f(c dicht in C liegt, das heißt z C ɛ > w f(c : z w < ɛ. Geben Sie außerdem ein Beispiel für f an, in dem f(c C ist. Hinweis: Man betrachte z f(z z für ein gewisses z. Angenommen, f(c ist nicht dicht in C. Dann gibt es ein z C und ein ɛ > sodass B ɛ (z f(c = {}. Daraus folgt, dass Also ist die Funktion f(z z ɛ z C. (5 g : C C (6 z f(z z (7 holomorph. Für diese Funktion gilt wegen (5, dass g(z ɛ. Also ist g beschränkt und ganz, und nach dem Satz von Liouville konstant. Daraus folgt, dass f konstant ist, was ausgeschlossen war. Für die Exponentialfunktion gilt / exp(c und somit exp(c C, da für jedes z C gilt: exp(z = exp(re(z >. (8 Bemerkung: Es lässt sich sogar eine stärkere Aussage zeigen: Ist f : C C nichtkonstant und holomorph, so ist f(c die ganze komplexe Zahlenebene, aus der höchstens ein Punkt herausgenommen wurde. Insofern ist obiges Beispiel ein maximales Beispiel - es gibt keine ganze nichtkonstante Funktion, in deren Bild zwei oder mehr Punkte fehlen. Diese Aussage ist als der Kleine Satz von Picard bekannt. Der Beweis ist jedoch aufwändig und geht über den Inhalt dieser Vorlesung hinaus. Für nahezu alle praktischen Anwendungen genügt es jedoch, zu wissen, dass f(c dicht ist. H7.. Die komplexe Errorfunktion und Fresnel-Integrale Die komplexe Errorfunktion ist für z C definiert als und damit holomorph auf ganz C. erf(z := z e w dw (a Drücken Sie die beiden unvollständigen Fresnel-Integrale C(x = x cos(t dt und x S(x = sin(t dt mit x R + jeweils durch erf(z aus. Hinweis: Man wähle z = xe i 4. (b Zeigen Sie für die Kurve (t = re it, t [, 4 ], r > : e w dw 4r. Hinweis: Man benutze cos(t 4t für t [, 4 ]. (c Berechnen Sie cos(x dx und sin(x dx unter Benutzung von (a und (b und der bekannten reellen Asymptotik lim erf(x = ±. Hinweis: Betrachten sie das x ± Kurvenintegral entlang des Randes von {z C z, arg(z [, 4 ]} für r.

7 (a Mit der Kurve (t = te i 4, t [, x] gilt erf(xei 4 = e w dw = x ( Somit ist C(x = Re e i 4 erf(xe i 4 (b Wir berechnen e it e i 4 dt = e i 4 x (cos(t i sin(t dt. ( und S(x = im e i 4 erf(xe i 4. e w dw = = 4 4 e r exp(it ire it dt re r cos(t dt Hinweis [ = re r 4r e 4tr ] r e r (cos(t+i sin(t dt re r ( 4t dt = re r = 4r ( e r < 4r 4 e 4tr dt (c Seien (t = t, t [, r], (t = re it, t [, 4 ], 3(t = e i 4 t, t [, r]. Dann gilt wegen der Holomorphie von erf für den geschlossenen Weg erf(z =. Somit ist lim r erf(rei 4 = lim r 3 ( e z = lim r e z + ( Wir erhalten also cos(x dx = lim C(x = Re lim x x e i 4 erf(xe i 4 = ( genauso sin(x dx = lim S(x = im lim x x e i 4 erf(xe i 4 =. e z = lim erf(x =. x + und