Scatterplots. Scatterplot Zweidimensionale Stichproben können als Punkte in der Ebene dargestellt werden. Länge und Breite von Venusmuscheln
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- Helga Kopp
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1 Scatterplots emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Scatterplot Zwedmesoale Stchprobe köe als Pukte der Ebee dargestellt werde Läge ud Brete vo Veusmuschel PROC GPLOT; PLOT y*x; RUN; Descr_Scatter.sas Descr_Scatter1.sas 243 / 268
2 Das Regressosproblem emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) X, Y: Zufallsvarable (auch mehrdmesoal) Modell: Y = f(x, θ 1,..., θ p }{{} ) + ǫ, ǫ (0, σ2 ). Parameter zuf. Fehler f lear, bekat bs auf Parameter: leare Regresso f chtlear, bekat bs auf Parameter: chtleare Regresso f ubekat: chtparametrsche Regresso 244 / 268
3 Regresso f bekat (bs auf Parameter) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Aufgabe: m θ1,...,θ p E(Y f(x, θ 1,..., θ p )) 2 θ 1,..., θ p ubekat. Beobachtuge: (Y, X ). Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) 245 / 268
4 Regresso f bekat (bs auf Parameter) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Aufgabe: θ 1,..., θ p ubekat. m θ1,...,θ p E(Y f(x, θ 1,..., θ p )) 2 Beobachtuge: (Y, X ). durch arthmetsches Mttel ersetze 1 m θ1,...,θ p (Y f(x, θ 1,..., θ p )) 2 =1 Kleste Quadrat-Schätzug für θ 1,..., θ p (KQS) Least-Squares-Estmato (LSE) 245 / 268
5 Regresso f bekat (bs auf Parameter) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Lösug des Mmum-Problems 1 m θ1,...,θ p (Y f(x, θ 1,..., θ p )) 2 =1 zu mmerede Fukto dfferezere ud Null setze: 2 (Y f(x, θ 1,..., θ p )) f(x, θ 1,..., θ p ) = 0 θ j =1 j = 1,..., p, Glechugssystem mt p Glechuge. 246 / 268
6 Regresso f lear: leares Glechugssystem (1) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) f(x, θ 1, θ 2 ) = θ 1 X + θ f θ 1 = X f θ 2 = 1 (Y (θ 1 X + θ 2 )) X = 0 =1 (Y (θ 1 X + θ 2 )) 1 = 0 =1 X Y θ 1 X 2 θ 2 X = 0 Y θ 1 X θ 2 = / 268
7 Regresso f lear: leares Glechugssystem (2) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe De zwete Glechug ach θ 2 auflöse: θ 2 = 1 1 Y θ 1 X Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) 248 / 268
8 Regresso f lear: leares Glechugssystem (2) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) De zwete Glechug ach θ 2 auflöse: θ 2 = 1 1 Y θ 1 X ud de erste esetze: X Y θ 1 X Y X +θ 1 X X = 0 X Y 1 ( Y X θ 1 ( X 2 1 ) X X = / 268
9 Regresso f lear: leares Glechugssystem (2) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) De zwete Glechug ach θ 2 auflöse: θ 2 = 1 1 Y θ 1 X ud de erste esetze: X Y θ 1 X Y X +θ 1 X X = 0 X Y 1 ( Y X θ 1 ( X 2 1 ) X X = 0 ˆθ 1 = X Y 1 X Y X2 1 ( X ) 2 = S XY SX 2, ˆθ 2 = 1 ( ) Y ˆθ 1 X 248 / 268
10 Regresso Zähler ud Neer ˆθ 1 emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) S XY = = = = = S X 2 = 1 1 (X X)(Y Y) 1 ( X Y X Y Y X + XY ) 1 1 ( X Y XY XY + XY ) 1 1 ( X Y XY ) 1 1 ( X Y 1 ) X Y 1 1 ( X X 1 ) X X / 268
11 Spezalfall f(x, θ) = θ (kostat) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Y = θ + ǫ, ǫ (0, σ 2 ) Mmerugsaufgabe: ( m (Y θ) 2) θ =1 Lösug: 2 (Y θ) = 0 Y θ = 0 =1 =1 ˆθ = 1 Y = Y D.h. Y st auch KQS. 250 / 268
12 Spezalfall f(x, θ) = θ Schätzug des Schätzfehlers emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe σy 2 = σθ+ǫ 2 = σǫ 2 = σ 2. Schätzfehler: σ 2ˆθ = var(ˆθ) = var( 1 Y ) = 1 vary 2 = 1 σ2 0 Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) ˆσ 2ˆθ = ˆσ2 251 / 268
13 Leare ud Nchtleare Regresso emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe f : lear, f(x, θ 1, θ 2 ) = θ 1 X + θ 2 θ 1 ud θ 2 werde geschätzt. Descr_Scatter_1.sas Descr_Scatter_Hero.sas Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) 253 / 268
14 Leare ud Nchtleare Regresso emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) f : lear, f(x, θ 1, θ 2 ) = θ 1 X + θ 2 θ 1 ud θ 2 werde geschätzt. Descr_Scatter_1.sas Descr_Scatter_Hero.sas f : chtlear, z.b. f(x, θ 1, θ 2 ) = l(θ 1 X + θ 2 ) a) Lösug des chtleare Glechugssystems b) wrd auf de leare Fall zurückgeführt Y e Y = l(θ 1 X + θ 2 ) + ǫ = θ 1 X + θ 2 + ǫ Modelle sd aber.a. cht äquvalet! 253 / 268
15 Wetere chtleare Regressosfuktoe emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) f(t) = a + bt + ct 2 Parabel f(t) = at b Potezfukto f(t) = ae t Expoetalfukto f(t) = k ae t f(t) = k 1 + be ct logstsche Fukto l f(t) = k a b + t Johso-Fukto l f(t) = k λe t Gompertz-Fukto 254 / 268
16 Nchtparametrsche Regresso f ubekat, aber glatt emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) z.b. f 2x stetg dfferezerbar, f C 2, λ 0 Glätteder Kubscher Sple st Lösug vo (f (Y f(x )) 2 + λ (x) )2 dx m f C2 =1 Descr_Scatter.sas SYMBOL I=SMS; SM: : Smoothg Sple Glättugsparameter =00: Iterpolereder Sple =99: Gerade S: Puktepaare werde vor der Auswertug ach dem Argumet sortert. 256 / 268
17 Nchtparametrsche Regresso Kerschätzug, Motvato emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) geg.: Kerfukto K, stadardserte Dchte, z.b. Normaldchte, Epaechkov-Ker. Regressosmodell: Y = f(x) + ǫ, ǫ (0, σ 2 ) also E(Y X = x) = f(x) f(x) = E(Y X = x) = yf Y X (y x) dy g(x, y) = y f 0 (x) dy yg(x, y)dy = f 0 (x) 257 / 268
18 Regresso Kerschätzug emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe yg(x, y)dy f(x) = f 0 (x) g(x, y): gemesame Dchte vo (X, Y) f 0 (x): Raddchte vo X f Y X : bedgte Dchte vo Y Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) 258 / 268
19 Regresso Kerschätzug emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) f(x) = yg(x, y)dy f 0 (x) g(x, y): gemesame Dchte vo (X, Y) f 0 (x): Raddchte vo X f Y X : bedgte Dchte vo Y Der Neer wrd geschätzt durch ˆf0 (x) = 1 1 h K(x X ) h =1 ud der Zähler durch 1 Y ĝ(x, Y ) = 1 =1 Y 1 h K(x X ) h =1 258 / 268
20 Regresso Kerschätzug emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Bede zusamme ergebe de Kerschätzug K: Kerfukto h: Glättugsparameter ˆf(x) = =1 Y 1 K( x X h =1 h ) 1 h K( x X h ) 259 / 268
21 Nchtparametrsche Kurveschätzug Sple- ud Kerschätzug emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) llustrato: SAS-INSIGHT. Aalyse Ft(Y X) Output Noparametrc Curves Smoothg Sple Normal kerel smoother - Veus-Muschel Date (WORK/Descr Scatter) - Hero-Date (SASUSER/hero) (TIME-DOSE) Glättede Sples köe auch mt Hlfe der Prozedur GPLOT erzeugt werde. 260 / 268
22 Beschrebede Statstk Zusammefassug (1) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Vertelugsfukto dskrete Vertelug stetge Vertelug F(x) = P(X x) F(x) = : x p p = P(X = x ) F(x) = x f(t)dt, f(t) : Dchte. Bsp: dskrete Vertelug: Bomal, Posso stetge Vertelug: Normal,Glech,Exp 261 / 268
23 Beschrebede Statstk Zusammefassug (2) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Varaz E(X) = Normalvertelug, Dchte f(x) = f µ,σ (x) = { x p X dskret xf(x)dx X stetg var(x) = E(X EX) π e x2 2 Stadard 1 2 π σ e 1 2 ( x µ σ )2 262 / 268
24 Beschrebede Statstk Zusammefassug (3) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Gesetz der Große Zahle (E(X) < ) X EX. Zetraler Grezwertsatz (X d) X µ Z N(0, 1) σ X µ Z N(0, 1) s X = 1 X s 2 = 1 (X X) 2 σ / 268
25 Beschrebede Statstk Zusammefassug (4) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Statstsche Maßzahle Lagemaße: X, x 0.5, x α, x 0.25, x 0.75, x α, x α,w Skalemaße: s 2, s, R, IR, MAD, S, Q Formmaße: β 1, β 2 PROC UNIVARIATE PROC UNIVARIATE ROBUSTSCALE PROC UNIVARIATE TRIMMED= PROC UNIVARIATE WINSORIZED= PROC MEANS MEDIAN STD 266 / 268
26 Beschrebede Statstk Zusammefassug (5) emprsche Eletug Trasformatoe Exteres Fle Iput-Awesug SAS-Fles Output-Awesug DO-Schlefe Populato Wahrschelchket Zufallsvarable Dskrete Zufallsvarable Stetge Zufallsvarable Normalvertelug (1) Varaz Normalvertelug (2) Boxplots PROC BOXPLOT PROC GPLOT Häufgketsdagramme PROC GCHART PROC UNIVARIATE HISTOGRAM Häufgketstabelle: PROC FREQ Zusammehagsmaße: PROC CORR Pearso, Spearma, Kedall-Korrelatoskoeff. Scatterplots, Regresso, Schätzug der Regressoskoeffzete: PROC GPLOT 268 / 268
Formeln für Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie (Dutter)
Formel für tatstk ud Wahrschelchketstheore (Dutter) Fehler a: fpalmater@gmal.com Cotets Beschrebede tatstk... Kegröße vo Verteluge... Verteluge... 3 Wahrschelchketstheore... 3 Grudlage... 4 Erwartug &
Statistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
Klausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Zusamenfassung
Wahrschelchketsrechug ud Statstk - Zusamefassug atrck letscher. September 3 Wahrschelchkete. Eregsraum Der Eregsraum Ω umfasst alle möglche Ausgäge ees Zufallsexpermmets. E Elemetareregs Ω st e Elemet
Intervallschätzungen geben unter Berücksichtigung des Verteilungstyps von X einen Bereich an, der den Parameter mit vorgegebener Sicherheit enthält.
Parameterschätzuge Fachhochschule Jea Uversty of Appled Sceces Jea Oft st der Vertelugstyp eer Zufallsgröße X bekat, ur de Parameter sd ubekat. Da erfolgt hre Schätzug aus eer Stchprobe. Ma uterschedet
( ) ( ) ( ) ( ) è ø. P A Wahrscheinlichkeitsmaß. lim n. Dr. Christian Schwarz 4. KOMBINATORIK Permutationen
BBA Projektsemar Thess Dr. Chrsta Schwarz Formelsammlug Aalytsche Statstk 4. KOMBINATORIK 4.. Permutatoe Azahl der Permutatoe vo N Elemete ohe Wederholug: Multomalkoeffzet: N! = N N- N -... 3 N! N! N!...
Formelzusammenstellung
Hochschule Müche Faultät Wrtschaftsgeeurwese Formelzusammestellug zugelasse für de Prüfug Dateaalyse der Faultät 09 für Wrtschaftsgeeurwese Prof. Dr. Voler Abel Formelsammlug Dateaalyse / Ihaltsverzechs
1 Mathe Formeln Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Mathe Formel Statstk ud Wahrschelchketsrechug Jör Horstma, 6.10.003. Alle Agabe ohe Gewähr. http://www.ba-stuttgart.de/ w017/ 1.1 Grudlage Ezelklasse [a ; b [ Klassewete Klassemtte Mttelwert b a = w
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik
Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre
Asymptotische Normalverteilung nach dem zentralen Grenzwertsatz
Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Erwartugswert eer Summe vo Zufallsvarable mt jewels de Erwartugswert x (Y Y Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Varaz eer Summe
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Streuungsmaße. Die angegebenen Maßzahlen sind empirisch, d.h. sie sind Schätzungen für die wahre Varianz (empirische) Varianz (Streuung) s 2 = 1 n
Streuungsmaße Diskrete Stetige Die angegebenen Maßzahlen sind empirisch, d.h. sie sind Schätzungen für die wahre (empirische) (Streuung) s 2 = 1 n (X i X) 2 n 1 i=1 s 2 n var(x) Warum Division durch (n
Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen (1)
Mehrdmesoale Häufgketsverteluge () - De Begrffe uvarat ud bvarat - Vo uvarate (edmesoale) statstsche Aalyse sprcht ma, we pro Perso ur e Merkmal tabellarsche oder grafsche Häufgketsverteluge oder be der
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
3. Das Messergebnis. Was ist ein Messergebnis?
. Das Messergebs Was st e Messergebs? Wederholug der Messug Wahrer Wert? Mehrere Eflussgröße Fehlerbetrachtug Messergebs Vorgeheswese für Messergebs. Bestmmug des bekate systematsche Fehlers 2. Aufahme
Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung
Regressosrechug ud Korrelatosrechug Beschrebede Statstk Modul : Probleme be der Abhäggketsaalyse Problem : Es gbt mest cht ur ee Eflussfaktor (Probleme sd selte mookausal ) A Ursache() Wrkug B C - efache
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FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete / 6 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud Idutve
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Statstk. Vorlesug, September 6, 009 Egeschafte er arthmetsche Mttel für alle Fälle wo e Stchprobeelemete habe e selbe Vertelug u s uabhägg: E ( = mvar, ( = / Staarabwechug (Staarfehler: D ( = / Korrektur
Konfidenzintervalle. Praktische Übung Stochastik SS 2017 Lektion 10 1
Kofidezitervalle Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 1 Kofidezitervalle Geerelle Aahme: Parametrisches Modell (P ϑ ) ϑ Θ Beobachtuge X 1,..., X u.i.v. ach P ϑ mit ubekatem ϑ Θ Grudidee: Schätzer
Verteilungen und Schätzungen
Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse
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Johaes Guteberg-Uverstät Fachberech Rechts- ud Wrtschaftswsseschafte Isttut für Statstk ud Ökoometre Uv.-Prof. Dr. Peter M. Schulze Uterlage zur Vorlesug Statstk II Wahrschelchketsrechug ud Schleßede Statstk
die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).
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Test für Varianz. Test für Varianz. Test für Varianz. Die Kontingenztabelle. Statistik 2 4. Vorlesung. Wiederholung: zweidimensionales Datenmaterial
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Deskriptive Statistik behaftet.
De Statstk beschäftgt sch mt Masseerscheuge, be dee de dahterstehede Ezeleregsse mest zufällg sd. Statstk beutzt de Methode der Wahrschelchketsrechug. Fudametalregel: Statstsche Aussage bezehe sch e auf
Statistik mit Excel und SPSS
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Als Einstieg. Als Einstieg. Verteilungstests. Verteilungstests. Testverfahren. Grafische Verfahren
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Formelsammlung Statistik
Gesudhets- ud Toursmusmaagemet Formelsammlug Statstk Dpl. Mathematker (FH) Rolad Geger Rosestr. 23 7263 Achtal cs.geger@t-ole.de www.cs-geger.de Grudlage Bezechuge x h N H Ω ezele Messergebsse eer Stchprobe
Kapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer
7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y. Er ist durch folgende Formel charakterisiert:
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Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
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174 / 258 Box-Plots Ziel: übersichtliche Darstellung der Daten. Boxplot zu dem Eingangsbeispiel mit n=5: Descr_Boxplot0.sas Prozeduren: UNIVARIATE, GPLOT, BOXPLOT 174 / 258 Box-Plots Ziel: übersichtliche
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Mehrdmesoale Zufallsvarable Vertelug eer mehrdmesoale Zufallsvarable Stochastsche Uabhäggket vo Varable Erwartugswerte zwedmesoaler Zufallsvarable Eführug de Statstk mt R Bblografe Bleymüller / Gehlert
Schiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse
1. Ökonometrische Modelle ohne Stochastik
.. Ökoometrsche Modelle ohe Stochastk Emprsche Wrtschaftsforschug st otwedge Ergäzug der Wrtschaftstheore, dem se de Wahrhetsgehalt des theoretsche Hpothesegeäudes a der ökoomsche Wrklchket, d. h. a der
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF
Alteratve Darstellug des -Stchprobetests für Atele DCF CF Total 111 11 3 Respose 43 6 69 Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Respose No Respose Total absolut DCF 43 68 111 CF 6 86 11 69 154 3 Be Gültgket
6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)
6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe
Statistische Kennzahlen für die Streuung
Statstsche Kezahle für de Streuug Ordale Date,..., W X,,..., WX {(j) j,..., J} () < () < < (J) {(),...,(J)} (3) () 3 () Geordete Lste k X (k) () () 3 () Smpso s D ud H() sd awedbar, allerdgs wrd Iformato
6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)
Problemstellug: Bsher: Gesucht: 6. Zusammehagsmaße (Kovaraz ud Korrelato) Ee Varable pro Merkmalsträger, Stchprobe x1,, x Maße für Durchschtt, Streuug, usw. Bespel: Kurse zweer Akte ud a 9 aufeader folgede
Die Kontingenztabelle. Randhäufigkeiten. Teststatistik (Chi-Quadrat Statistik) Unabhängigkeitshypothese. Wiederholung: zweidimensionales Datenmaterial
Statstk 4. Vorlesug Wederholug: zwedmesoales Datemateral Beobachtuge, jeder hat Werte für m Merkmaler, also jeder besteht aus Merkmalauspräguge. z.b. wr otere de Grösse ud das Umsatz verschedee Flale (m).
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
Practical Numerical Training UKNum
Practcal Numercal Trag UKNum Statstk, Datemodellerug PD. Dr. C. Mordas Ma-Plack-Isttute für Astroome, Hedelberg Programm: ) Repetto elemetare Statstk 2) Regressosaalyse 3) Leare Regresso 4) Ncht-leare
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
6.2 Lineare Regression
6.2 Lineare Regression Einfache lineare Regression (vgl. Kap. 4.7) Y i = θ 0 + θ 1 X i + ǫ i ǫ i (0, σ 2 ) ˆθ 1 ˆθ 0 = S XY S 2 X = 1 ( Yi n ˆθ ) 1 Xi als Lösung der Minimumaufgabe n (Y i θ 1 X 1 θ 0 )
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen
Häufigkeitsdiagramme PROC UNIVARIATE PROC GCHART
194 / 264 Häufigkeitsdiagramme PROC UNIVARIATE PROC GCHART PROC GCHART ; VBAR variablenliste ; /* vertikales Histogramm */ HBAR var.list ; /* horizontales Histogramm
2 Zufallsvariable und Verteilungen
Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem
Zulassungsprüfung Stochastik,
Zulassungsprüfung Stochastk, 11.5.13 Wr gehen stets von enem Maßraum (, A, µ) bzw. enem Wahrschenlchketsraum (,A,P) aus. De Borel σ-algebra auf R n wrd mt B n bezechnet, das Lebesgue Maß auf R n wrd mt
Eingangsprüfung Stochastik,
Eigagsprüfug Stochastik, 5.5. Wir gehe stets vo eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P aus. Die Borel σ-algebra auf wird mit B bezeichet, das Lebesgue Maß auf wird mit λ bezeichet. Aufgabe ( Pukte Sei x
2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression
2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso Dowloads zur Vorlesug 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2 Grudbegrffe zwedmesoale Stchprobe De Gewug vo mehrere Merkmale vo eer Beobachtugsehet führt
Stochastik Formeln von Gerald Meier
Stochast Formel vo Gerald Meer Grudbegrffe ud Operatoe umöglches Eregs scheres Eregs Ω A mplzert B Glechhet A B AB cht A A A ud B A B A oder B A B A ohe B A \ B A B dsjut A B de Morga A B A B Elemetareregs
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
Erinnerung: Funktionslernen. 5.6 Support Vector Maschines (SVM) Beispiel: Funktionenlernen. Reale Beispiele
Ererug: Fuktoslere 5.6 Support Vector Masches (SVM) überomme vo Stefa Rüpg, Kathara Mork Uverstät Dortmud Vorlesug Maschelles Lere ud Data Mg WS 2002/03 Gegebe: Bespele X LE de ahad eer Wahrschelchketsvertelug
Parameterschätzung. Numero, pondere et mensura Deus omnia condidit
Parameterschätzug Numero, podere et mesura Deus omia codidit Populatio, Zufallsvariable, Stichprobe Populatio Zufallsvariable X Stichprobe x eie"realisierug vo X (Beobachtug) alle mäliche Rekrute der US
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
i P(A H i) P(H i ) (x i ˆx i ) 2 n n i=1 (x i x i ) 2 = 1 i=1 (ˆx i x i ) 2 (x + y) n = x j y n j f(x)dx = 1 f(x 1,..., x n)dx 1 dx n = 1
ZUSAMMENFASSUNG DES SKRIPTUMS ZU EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK VON PROF. FELSENSTEIN PHILIPP DÖRSEK Der Autor übermmt keerle Garate für de Rchtgket. De meste Beträge wurde
Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
Statistik. (Inferenzstatistik)
Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Fehlerrechnung im Praktikum
Fehlerrechug m Pratum Pratum Phsalsche Cheme (A. Dael Boese) I chts zegt sch der Magel a mathematscher Bldug mehr, als eer überbertrebe geaue Rechug. Carl Fredrch Gauß, 777-855 Themegebete Utertelug vo
Quantitative Methoden in der klinischen Epidemiologie
Quattatve Methode der klsche Epdemologe Korrelato ud leare Regresso Lerzele Besteht e fuktoeller Zusammehag zwsche zwe Messuge a eem Patete? Korrelato als Maßzahl für de Stärke ees leare Zusammehages Beschrebe
Lage- und Streuungsmaße
Statstk für SozologIe Lage- ud Streuugsmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Beschrebug quattatver Date Um de emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der
Induktive Statistik. Formelsammlung. Prof. Dr. W. Assenmacher. Stichprobenraum: Ω = {ω 1, ω 2,...,ω m }
Prof. Dr. W. Assemacher Statistik ud Ökoometrie Uiversität Duisburg-Esse Campus Esse Iduktive Statistik Formelsammlug Stichproberaum: Ω = {ω 1, ω,...,ω m } Vollstädiges System vo Ereigisse {A 1,..., A
Standardnormalverteilung. Normalverteilung. Verteilungsfunktion. Intervallwahrscheinlichkeiten
Normalvertelug Stadardormalvertelug Normalvertelug N(μ, ) mt chte : Gaußche Glockekurve μ μ μ+ μ >, f ( ) = ( μ) WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV π Egechafte der chte: - Mamum μ - mmetrch zu μ - Wedepukte
0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5
4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit
Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert
Regressionsgerade, lineares Modell:
Statstk Grudlage Charakterserug vo Verteluge Eführug Wahrschelchketsrechug Wahrschelchketsverteluge Schätze ud Teste Korrelato Regresso Eführug Durch de Regressosaalyse wrd versucht, de Art des Zusammehags
Deskriptive Statistik2 Durchschnittswert (der arithmetische Mittelwert)
Lagemasse, Lokatosmasse Lageparameter. Charakterserug das Zetrum der Date Deskrptve Statstk Durchschttswert (der arthmetsche Mttelwert) average(...) Mttelwert(...) K (Modalwert, Dchtemttel): der Wert mt
für. für. für. Univariate Beschreibung/ Maße. für. für. für. Formelsammlung Statistik I. Rechenregeln zu Summenzeichen
Goete Uvertät Fraurt Soereeter 4 ro. Dr. Katr uu Forelalug Statt I Receregel zu Suezece 3 3 3 Uvarate ecrebug/ Maße Kuulerte Häugetvertelug - ür ür ür H a a H wobe a < a + Erce Verteluguto. t tel der Werte
II. Wahrscheinlichkeitsrechnung
II. Wahrschelchketsrechug Vorlesugsmtschrft - Kurzfassug Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades 00 II. Wahrschelchketsrechug INHALTSVERZEICHNIS GRUNDLAGEN / DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT...3.
3 PARAMETERSCHÄTZUNG: GENAUIGKEIT UND SICHERHEIT
39 3 PARAMETERSCHÄTZUNG: GENAUIGKEIT UND SICHERHEIT Lerzele: - Aus Stchprobewerte de Varato ees quattatve Merkmals durch ee Häufgketsvertelug (mt bzw. ohe Klassebldug) darstelle köe; - uvarate Statstke
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen Vorlesung 1-1
T. Keßlg: Fortgeschrttee Fehlerrechug- Vertelugsuktoe.4.8 Vorlesug - Fortgeschrttee Fehlerrechug P FR Fortgeschrttee Fehlerrechug ud coputergestütztes Arbete Vorlesug Übug Dese Modul st Plcht ür alle Studerede
( x) Thema 5 Verteilungen Statistik - Neff 5.1 ÜBERBLICK TEST-VERTEILUNGEN. Stetige Zufallsvariable Dichtefunktion f(x) Verteilungsfunktion F(x)
5. ÜBERBLICK TEST-VERTEILUNGEN Dskrete Zufallsvarable Wahrschlk.-Fukto f( ) mt a W ( X = ) Vertelugsfukto F( ) mt a W ( X ) F( ) = W( X = ) å Stetge Zufallsvarable Dchtefukto f() Vertelugsfukto F() W(
II. Wahrscheinlichkeitsrechnung
II. Wahrschelchketsrechug Vorlesugsmtschrft - Kurzfassug Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades 005 Ihalt II. Wahrschelchketsrechug INHALTSVERZEICHNIS GRUNDLAGEN / DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT...3.
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
Einen Spieler interessiert nicht, wie er gewinnt, sondern ob und wie viel er gewinnt.
III Zufallsgröße Bespel ud Defto Bespel: Dremal Müzwurf Spel: Esatz, we cht zwe gleche htereader 3 Auszahlug. Ω = {(x x x3) x,x,x3 {Z,K}} Retert sch deses Spel? Dabe geht es ur um de Gew! Also: Defto Gew:
Maximum Likelihood Version 1.6
Maximum Likelihood Versio 1.6 Uwe Ziegehage 15. November 2005 Logarithmegesetze log a (b) + log a (c) = log a (b c) (1) log a (b) log a (c) = log a (b/c) (2) log a (b c ) = c log a (b) (3) Ableitugsregel
Hochschule München Fakultät Wirtschaftsingenieurwesen Datenanalyse
Hochschule Müche Fakultät Wrtschaftsgeeurwese Dateaalyse Prof. Dr. Volker Abel Verso. Ihaltsverzechs Ihaltsverzechs. Auswertug ud Modellerug vo Zähldate.... Auswertug vo prozetuale Häufgkete.... Auswertug
Statistische Testverfahren
Techsche Uverstät Berl Isttut ür Geodäse ud Geooratostechk Fachgebet Geodäse ud Ausglechugsrechug Statstsche Testverahre Pro. Dr.-Ig. L. Grüdg De Boal- ud de Noralvertelug. Boalvertelug. De Noralvertelug
Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse
rger Gabler PLU Zusatzformatoe zu Mede vo rger Gabler Thomas Cleff Desrtve tatst ud Eloratve Dateaalse Ee comutergestützte Eführug mt Ecel, P ud TATA 05 3., überarbetete ud erweterte Auflage rger Gabler
Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management
Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)
5.8 Anpassungstests. W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 389 / 419
5.8 8.1 Einführung empirische Verteilungsfunktion 8.2 EDF- Kolmogorov-Smirnov-Test Anderson-Darling-Test Cramer-von Mises-Test 8.3 Anpassungstest auf Normalverteilung - Shapiro-Wilk-Test 8.4. auf weitere
4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form
wahlberechtigte Personen der BRD zur Bundestagswahl zugelassene Parteien (SPD, CDU, Grüne, FDP)
Zu Aufgabe 1) Sd folgede Merkmale dskret oder stetg? a) De durch ee wahlberechtgte Perso der BRD gewählte Parte be der Budestagswahl. b) Kraftstoffverbrauch ees Persoekraftwages auf 100 km. c) Zahl der
f X1 X 2 Momente: Eigenschaften: Var(aX + b) = a 2 Var(X) a, b R
Siebformel vo Poicare-Sylvester: k P A k = k+ P A ij k= k= = k= P A k k= i
F Fehlerrechnung 1. Systematische und statistische Fehler
-F.- F Fehlerrechug. Systematsche ud statstsche Fehler Jede Messug eer physkalsche Größe st mt eem Fehler verbude. Es st daher otwedg be der Agabe des Messwertes ee Fehlerabschätzug azugebe. Ma uterschedet
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
2 Induktive Statistik
Kapitel 2 Iduktive Statistik Seite 19 2 Iduktive Statistik 2.1 Grudprizipie der iduktive Statistik 2.2 Puktschätzug 2.2.1 Schätzfuktioe Defiitio 2.1 Sei X 1,...,X i.i.d. Stichprobe. Eie Fuktio heißt Schätzer
n und die exakten Energien E n Ĥ (0) Ψ (0) n = E n (0) Ψ (0)
Kaptel 6 Näherugsmethode 6.1 Störugstheore Für e ugestörtes Modellsystem mt dem Hamlto-Operator Ĥ0) sd de exakte Wellefuktoe Ψ 0) ud de exakte Eerge E 0) bekat. Ĥ 0) Ψ 0) = E 0) Ψ 0) Für das egetlch teresserede