2 Funktionen einer Variablen

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1 2 Funktionen einer Variablen Wir haben im letzten Kapitel allgemeine Abbildungen zwischen beliebigen Mengen betrachtet. Hier wollen wir uns nun mit dem Fall beschäftigen, dass sowohl der input als auch der output eine reelle Zahl ist. Wir betrachten also Abbildungen R R. 2.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertigewaschmaschinen.es hat monatliche Fikosten von Die sind unabhängig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stück fallen variable Kosten (vor allem Material und Löhne) von 500 an. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ) betragen dann K() = , wobei die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 100 Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in Höhe von bei 1000 Stück K(100) = , K(1000) = K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K interessiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem Stück, so erhält man die Stückkostenfunktion S(). Sie ergibt sich aus der Kostenfunktion K() einfach durch In obigem Beispiel ist S() = K(). S() = Bei 100 produzierten Waschmaschinen ist das also bei 1000 Maschinen Weitere ökonomische Funktionen sind S(100) = 2200, S(1000) = 670. = Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der Preis eines Gutes, N die nachgefragte (abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dann N(p). 49

2 Üblicherweise wird N(p) kleiner, wenn der Preis p steigt. So könnte z.b. (p ausgedrückt in ) N(p) = p (2.1) sein.dasheißt,beieinem Preisvon10 beträgtdienachfrage95.000stück, bei einem Preis von 13 nur Stück. Oft wird auch umgekehrt die Funktion p(n) betrachtet. Angebotsfunktion: Sei p der Preis eines Gutes, A die vom Produzenten zu dem Preis auf den Markt gebrachte Menge. Die Angebotsfunktion ist dann A(p). Angebotsfunktionen sind typischerweise monoton steigend. Erlösfunktion: Für N abgesetzte Güter zum Stückpreis p(n) ist der Erlös in Abhängigkeit von der Menge N E(N) = N p(n). Hierbei ist berücksichtigt, dass der Preis p von der Nachfrage N abhängt, typischerweise mit hoher Nachfrage steigt. In Abhängigkeit vom Preis p ist die Erlösfunktion E(p) = N(p) p. Wenn wir die Nachfragefunktion (2.1) benutzen, erhalten wir E(p) = p 500p 2. Eine typische Frage ist: Für welchen Preis p wird der Erlös E(p) maimal. Solche und ähnliche Fragen werden wir mit etwas mathematischer Theorie beantworten können. 2.2 Grundlegende Begriffe und Bezeichnungen Eine Abbildung f : R R mit D(f) R heißt reellwertige Funktion einer reellen Variablen (Veränderlichen) wobei D(f) der bereits früher definierte Definitionsbereich von f ist. Die Menge W(f) := {f() : D(f)} heißt der Wertebereich von f. Erinnerung: D(f) = { R : Es gibt y R mit y = f()}, d.h. D(f) besteht aus all den, die man in f einsetzen kann. Wir nennen f() die Zuordnungsvorschrift und den Graph von f. G f = {(,y) D(f) R : y = f()} 50

3 Beispiel hat den Definitionsbereich R. 1 hat den Definitionsbereich R\{0}. Die schon vorher betrachtete Kostenfunktion K() = hat als Definitionsbereich R. In dem betrachteten Beispiel sind allerdings nur nicht-negative ganze Zahlen interessant (: Anzahl der Waschmaschinen) und nur bis zu einer gewissen Höhe, die durch die Maimalauslastung des Unternehmens gegeben ist. Dieses Beispiel zeigt, dass nicht alle Werte für, die mathematisch sinnvoll sind, auch im ökonomischen Sinn sinnvoll sind. Ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung einer Funktion f und ihres Graphen ist eine Wertetabelle, in der ausgewählte Werte von zusammen mit ihrem Funktionswert f() eingetragen werden. Beispiel 2.2 Wir setzen unser Beispiel K() = fort: K() Beispiel 2.3 f() = : f() Eine genauere Methode ist das Zeichnen der Graphen in ein Koordinatensystem. Der Graph zur oben angegebenen Funktion ist

4 Verknüpfung von Funktionen Aus gegebenen Funktionen können durch Verknüpfung mittels der Grundrechenarten neue Funktionen gebildet werden. Seien f,g : R R Funktionen und λ R. Dann lassen sich auch die folgenden Funktionen definieren: λf : R R, mit (λf)() = λf(), f ±g : R R, mit (f ±g)() = f()±g(), f g : R R, mit f g : R R, mit f (f g)() = f() g(), f() () = g g(). Die Definitionsbereiche sind D(λf) = D(f), D(f ±g) = D(f) D(g), D(f g) = D(f) D(g), ( ) f D = { R : D(f) D(g) und g() 0}. g Wir erinnern daran, dass man auch f g (Verkettung von f und g) bilden kann. Der Definitionsbereich von f g sind diejenigen Elemente R, für die g() im Definitionsbereich von f liegt. Beispiel 2.4 Seien f() = 15 3, g() = Dann sind (5f)() = 75 15, (f +g)() = , (f g)() = (15 3)( ) = , ( ) f () = 15 3 g Aus dem Definitionsbereich von f g weil g(1) = 0 und g(1/2) = 0. müssen 1 und 1/2 ausgeschlossen werden, Monotonie und Beschränktheit 52

5 Seien f : R R eine Funktion und I R ein Intervall im Definitionsbereich von f. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) < f( 2 )) (2.2) dann heißt f (streng) monoton wachsend in I. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) > f( 2 )) dann heißt f (streng) monoton fallend in I. Die Funktion f heißt (streng) monoton wachsend auf dem ganzen Definitionsbereich, wenn die Bedingung (2.2) für alle 1, 2 D(f) mit 1 < 2 erfüllt ist. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend. Die Stückkostenfunktion S() = ist streng monoton fallend. Anschaulich bedeutet das: Je mehr Stücke produziert werden, umso geringer sind die Stückkosten, umso effizienter ist also die Produktion. Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und Injektivität fest: Ist f streng monoton wachsend (oder streng monoton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine Umkehrfunktion. Beispiel 2.5 Die Funktion f() = ist auf [0, ) streng monoton wachsend, auf (, 2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstumsverhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir später mit mathematischen Methoden ermitteln können. Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,) W D y = f()} = {(y,) W D (,y) G f } entstehtausg f durchspiegelunganderwinkelhalbierendenmit dergleichung = y. 53

6 Beispiel 2.6 Wir betrachten wieder die Stückkostenfunktion S() = Für welche Stückzahl ergibt sich 1500? Wir lösen hierzu nach auf und erhalten = 170. = 1500 = 1000, Das ist die gesuchte Stückzahl, denn es ist nun S(170) = Lösen wir allgemein die Gleichung = y nach auf, so erhalten wir = y 500 und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also S 1 (y) = y 500. Mit ihr lässt sich zu beliebigen Stückkosten die zugehörige Stückzahl ermitteln. Beispiel 2.7 Die Funktion f : R + 0 R+ 0 mit f() = 2 ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung ist f 1 (y) = y. 4 3 y

7 Beachte: Die Funktion f() = 2 kann auch für alle R betrachtet werden, ist dann aber nicht injektiv, folglich gibt es dann auch keine Umkehrfunktion. Können Funktionen nicht beliebig groß oder klein werden, spricht man von beschränkten Funktionen: Sei f : R R eine Funktion und sei D der Definitionsbereich. Gibt es ein c R mit f() c (bzw. f() c) für alle D, dann heißt f nach unten (bzw. oben) beschränkt. Ist f nach unten und nach oben beschränkt, dann heißt f beschränkt. Anders formuliert: Der Wertebereich W(f) ist beschränkt, also W(f) [a,b] für geeignete a,b R. Beispiel 2.8 Die Funktion f() = 2 4 mit dem Graphen ist nach unten beschränkt, weil f() 4 für alle R. Die Funktion ist aber nicht nach oben beschränkt. Beispiel 2.9 Die Funktion f() = 3 ist weder nach oben noch nach unten beschränkt. 55

8 Wir betrachten wieder die Kostenfunktion K() = auf dem Intervall [0, 2000]. Dort ist K beschränkt, weil K() K(0) = K() K(2000) = für alle [0, 2000]. Das Intervall [0, 2000] könnte aus ökonomischer Sicht relevant sein, wenn etwa die Maimalauslastung bei 2000 produzierten Waschmaschinen liegt. Beispiel 2.10 f() = 7 56

9 Diese Funktion heißt konstant Allgemein heißt eine Funktion mit der Vorschrift f() = c, wobei c eine Zahl unabhängig von ist, konstant. Konstante Funktionen sind nicht injektiv und nicht surjektiv. Beispiel 2.11 f() = 10 3: Die Abbildung f ist injektiv und surjektiv. Eine Funktion der Form f() = a +b heißt linear. Dabei sind a und b feste reelle Zahlen. Die Kostenfunktion K() = ist beispielsweise eine lineare Funktion. Beispiel 2.12 Ein Kopierladen erhebt die Kosten pro Fotokopie in Abhängigkeit von der Gesamtzahl der getätigten Kopien. Hierbei gelten folgende Preise: 57

10 Anzahl der Kopien 0 bis ab 100 Preis pro Kopie 0,05 0, Die Funktion k, die den Preis pro Kopie beschreibt, ist also gegeben durch 0,05 falls 0 49, k() = 0,04 falls 50 99, 0,03 falls 100. Ihr Graph sieht wie folgt aus: 0.05 ο ο Eine solche Funktion nennt man Treppenfunktion. Treppenfunktionen sind weder injektiv noch surjektiv. Achtung: Eigentlich ist unsere Funktion k() natürlich nur für ganzzahlige definiert. Wir haben bei der hier angegebenen Skizze aber beliebig reellwertig angenommen, was für die Visualisierung durchaus angemessen ist. Bei Funktionen mit Sprüngen wie in diesem Beispiel sollte man bei der Visualisierung deutlich machen, welche Punkte an den Sprungstellen zum Funktionsgraphen gehören. Wir malen einen fetten Punkt, wenn der Punkt dazugehört, sonst einen nicht ausgefüllten kleinen Kreis. Die Funktion K, die die Gesamtkosten des Kunden in Abhängigkeit von der Stückzahl angibt, ist 58

11 0,05 falls 0 49, K() = 0,04 falls 50 99, 0,03 falls 100. Ihr Graph sieht wie folgt aus: ο 3 ο Nullstellen Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variablen einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist: Sei f : R R eine Funktion. Ist 0 D(f) eine reelle Zahl mit f( 0 ) = 0, dann heißt 0 eine Nullstelle von f. Der folgende Graph skizziert eine Funktion mit drei Nullstellen (3, 1 und 3): 59

12 Polynome und rationale Funktionen Eine Funktion P : R R gegeben durch P() = a n n +a n 1 n 1 + +a 1 +a 0 = n a k k, k=0 wobei n N 0, a k R und a n 0, heißt Polynom(funktion) vom Grad grad(p()) = n. Die Funktion P() = 0 heißt das Nullpolynom. Wir setzen grad(0) =. Die Zahlen a 0,a 1,...,a n heißen die Koeffizienten des Polynoms. Ist a n = 1, dann heißt P normiert. 60

13 Abbildung 1: Graph von Division mit Rest Seien S(), T() zwei Polynome, T() 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q() und R() mit der Eigenschaft S() = T()Q()+R() und grad(r()) < grad(t()) Die Polynome Q(), R() werden genauso wie beim schriftlichen Dividieren berechnet.r()heißtrestvons() beidivisiondurcht().gilt dabeir() = 0, so heißt T() ein Teiler von S(). Beispiel 3.13 Sei S() = , T() = 3+1. Dann ist = ( ) (3+1)+8, also Q() = und R() = 8. Sei S() = , T() = +4. Wir erhalten also Q() = 3 und R() = = ( 3)(+4)+0, Der Buchstabe Q soll andeuten, dass es sich bei Q() um den Quotienten und bei R() um den Rest handelt. Allgemein gilt für 0 R und T() = 0 : Die Division mit Rest liefert die Darstellung S() = ( 0 )Q()+P( 0 ). Es ist also S( 0 ) = 0 genau dann, wenn S() von der Form S() = ( 0 )Q() ist, d.h. wenn 0 das Polynom S() teilt. 61

14 Satz 3.1 (Nullstellen und Linearfaktoren) Sei P : R R ein Polynom vom Grad n N. Dann ist 0 R eine Nullstelle von P genau dann, wenn es ein Polynom P : R R vom Grad n 1 gibt, so dass P() = ( 0 ) P(). Das Polynom 0 heißt dann ein Linearfaktor des Polynoms P(). (Vielfachheit von Nullstellen) Sei 0 R Nullstelle eines Polynoms P() 0, und sei k N die größte Zahl, so dass ( 0 ) k das Polynom P() teilt. Dann heißt die Zahl k die Vielfachheit der Nullstelle 0. Beispiel 3.14 Das Polynom P() = ( 3) 4 (+2) 3 ( 2 ++1) hat 3 als Nullstelle der Vielfachheit 4 und 2 als Nullstelle der Vielfachheit 3. Weitere Nullstellen hat das Polynom nicht, weil keine Nullstellen hat. Für quadratische Polynome der Form 2 + p + q ist die Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen bekannt als p± p 2 4q falls p 2 > 4q, 2 p 2 (doppelte Nullstelle) falls p2 = 4q, keine Lösung falls p 2 < 4q. (siehe auch die p q-formel in Abschnitt 1). Für Polynome vom Grad 3 und 4 gibt es ebenfalls allgemeine Lösungsformeln zur Bestimmung der Nullstellen, die von einer ähnlichen Form wie die Lösungsformel für quadratische Polynome sind. Für allgemeine Polynome vom Grad 5 gibt es solche Formeln (aus prinzipiellen Gründen) nicht (das wurde 1823 von dem norwegischen Mathematiker Niels Abel bewiesen). Finde alle Nullstellen von P() = Durch Probierenfindet man die Nullstelle 0 = 1. Division mit Rest liefert P() = ( 1)( ). 62

15 Nun sieht man dass 0 = 1 auch Nullstelle des zweiten Faktors ist und Division mit Rest ergibt P() = ( 1) 2 ( ). Durch Probieren findet man jetzt noch die Nullstelle 1 = 2 und nach Division mit Rest hat man P() = ( 1) 2 (+2)( ). Der letzte Faktor hat keine Nullstellen und somit lässt sich P() nicht weiter faktorisieren. Aber nur selten lassen sich die Nullstellen so einfach durch Probieren finden. Man benutzt dann oft Näherungsverfahren. Wir fassen einige Eigenschaften über die Nullstellen von Polynomen zusammen. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt). Es gibt nicht-konstante Polynome ohne Nullstellen. Jedes Polynom lässt sich schreiben in der Form P() = ( 1 ) k1... ( m ) km R() wobei i, i = 1,...,m, die Nullstellen von P() der Vielfachheit k i sind, und R() keine Nullstelle hat. Ein reelles Polynom ungeraden Grades besitzt stets mindestens eine reelle Nullstelle. Mithilfe tiefliegender Ergebnisse der Algebra erhält man sogar folgende Faktorisierung eines Polynoms. Dieser Satz ist die reelle Form des sogenannten Fundamentalsatz der Algebra. Satz 3.2 Sei P : R R ein normiertes Polynom vom Grad n. Dann lässt sich P() eindeutig als Produkt von linearen und quadratischen Faktoren in der folgenden Form schreiben: P() = ( 1 ) k1 ( r ) kr ( 2 +p 1 +q 1 ) l1 ( 2 +p s +q s ) ls mit 1,..., r,p 1,q 1,...,p s,q s R, k 1,...k r,l 1,...l s N, p 2 j < 4q j für j = 1,...,s (d.h., 2 +p j +q j hat keine reelle Nullstelle). 63

16 Oft sind die Koeffizienten der zu betrachtenden Polynome ganzzahlig. Ist außerdem das Polynom normiert, so gibt es ein einfaches Mittel, um die rationalen Nullstellen zu finden. Satz 3.3 (Nullstellentest) Sei P() = n +a n 1 n a 1 +a 0 ein normiertes Polynom mit Koeffizienten a 0,...,a n 1 Z. Ist 0 Q eine Nullstelle von P(), dann ist 0 ganzzahlig und ein Teiler von a 0. Beispiel 3.15 Sei P() = Dann kommen als rationale Nullstellen nur die (ganzzahligen) Teiler von 10 in Frage, d.h.: ±1,±2,±5,±10.Einsetzen zeigt, dass von diesen 8 Werten nur 2 eine Nullstelle von P() ist. Der Graph von P() zeigt aber, dass es mindestens 2 verschiedene Nullstellen gibt. Es muss also noch mindestens eine weitere irrationale Nullstelle geben

17 Das Polynom 2 2 hat überhaupt keine rationalen Nullstellen. 3.1 Rationale Funktionen Eine Funktion f : R R der Form P() Q() mit Polynomen P(),Q() heißt rationale Funktion. Der maimale Definitionsbereich von f = P() Q() Sei 0 R mit Q( 0 ) = 0. Ferner sei wobei also ist D(f) = { R Q() 0}. P() = ( 0 ) k P (), Q() = ( 0 ) l Q (), P ( 0 ) 0, Q ( 0 ) 0, P() Q() = ( 0) k lp () Q (). Istk < l,dannist 0 eine Polstellevon P() Q().In dernäheeiner Polstellewerden die Funktionswerte sehr groß (oder sehr klein), weil bei Annäherung an 0 der Wert von ( 0 ) k l gegen ± geht, wohingegen der Ausdruck P () Q () für -Werte in der Nähe von 0 nicht in die Nähe von 0 kommt! Ist k l, dann ist 0 eine sogenannte hebbare Lücke. Zunächst einmal gehört 0 nicht zum Definitionsbereich, weil ja Q( 0 ) = 0 ist. Wir definieren aber einfach ( ) P ( 0 ) = Q 0 wenn k > l P ( 0 ) Q ( 0 ) Das ist möglich weil Q ( 0 ) 0 und k l ist. wenn k = l Beispiel 3.16 Für die Funktion f 1 () = P() Q() = ( 1)2 (+2) ( 1)(+3) 2 ist (für 0 = 1) k > l und P() hat eine hebbare Definitionslücke. Der Q() Funktionswert für 0 = 1 wird definiert als 0. 65

18 4 3 y Beachten Sie aber, dass die Funktion f() formal für = 1 nicht definiert ist. Für f 2 () = P() Q() = ( 1)2 (+2) ( 1) 2 (+3) 2 ist (an der Stelle 0 = 1) k = l und wieder hat P() dort eine hebbare Q() Definitionslücke. Der Funktionswert ist (per Definition) Das folgende Bild zeigt den Graph der Funktion f nur in der Nähe von 0 = y Wenn Sie einen größeren Abschnitt auf der -Achse betrachten, so sehen Sie eine Polstelle bei = 3. 66

19 y 6 8 Ist nun 10 f 3 () = P() Q() = ( 1)2 (+2) ( 1) 3 (+3) 2, so ist k < l (wieder für 0 = 1) und die Funktion hat dort eine Polstelle. 4 3 y Beispiel 3.17 Ein typisches Beispiel für eine rationale Funktion ist die Stückkostenfunktion aus dem ersten Kapitel dieses Abschnitts. Allgemein ist die Kostenfunktion gegeben durch K() = k f +k v 67

20 mit den festen (monatlichen) Kosten k f des Unternehmens und den variablen Kosten k v, die pro produziertem Stück anfallen. Dann ist die Stückkostenfunktion S() = k f +k v = k v + k f eine rationale Funktion mit einer Polstelle für = 0. 68