Kapitel II Funktionen reeller Variabler

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1 Kapitel II Funktionen reeller Variabler D (Funktion) Es sei f XxY eine Abbildung Die Abbildung f heiß Funktion, falls sie eindeutig ist Man schreibt dann auch: f : X Y f ( x) = y, wobei y das (eindeutig bestimmte) Bild des Urbildes x ist Im Falle n X R, Y R spricht man von einer reellwertigen Funktion von n reellen Variablen B Im weiteren werden vor allem reellwertige Funktionen einer reeller Variabler betrachtet Dabei wird für solche Funktionen folgende Schreibweise gewählt: S Gegeben seien die Funktionen: Es gilt: f : y = f( x), x D f f : y = f ( x), x D f, i =, i i i f = f D f = D f f x = f x, x D f ( = D f ) (Dh zwei Funktionen sind gleich genau dann, wenn ihre Definitionsbereiche gleich sind und sie für jedes Argument x aus dem Definitionsbereich gleiche Funktionswerte besitzen) BS Gegeben seien die Funktionen: [ [ f : y = x 5 x+ 3, x D f =, 3 5, +, [ [ f : y = x 5 x+ 3, x D f = 5, +, 3 3 [ [ f : y = x 5 x+ 3, x D f = 5, +

2 Es gilt f = f3 (nur unterschiedliche Schreibweisen) Dagegen gilt f f (wegen D( f ) D f D (Erweiterung einer Funktion) y = g( x), x D( g) heißt Erweiterung der Funktion wenn gilt BS y = f( x), x D( f), D( f) D( g), f( x) = g( x), x D( f) y = x -4x-5, x R ist eine Erweiterung der beiden folgenden Funktionen: BS 3 y = x -4x-5, x, 0 [ [ y = x -4x-5, x, + x 4x 5 x, 0 y = 3x x, + ist eine Erweiterung der Funktion y = x -4x-5, x, 0 Eine solche Funktion heißt auch eine zusammengesetzte Funktion BS 4 Die (zusammengesetzte) Gesamtkostenfunktion eines Betriebes in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x lautet:

3 [ ] 0 + x x 0, 00 K( x) = x x 00, x x 500, 000 D 3 (Inverse Funktion bzw Umkehrfunktion) Ist die Umkehrabbildung f einer Funktion f : y = f( x), x D f selbst eine Funktion, so wird genannt f Umkehrfunktion (oder auch inverse Funktion) von f S Die Eindeutigkeit einer Funktion ist notwendig und hinreichend dafür, dass sie eine Umkehrfunktion besitzt BS 4 Ermitteln Sie die Umkehrfunktion für die Funktion Lösung: f : y = x+, x [ 0, ] [ ] f : x= y, x 0,, D f = W f =, 3 BS 5 Ermitteln Sie die Umkehrfunktion für die Nachfragefunktion mit f : p= 0 x, x 0, 0 [ ] x : Nachfrage; p : Preis Lösung: [ ] f : x= 0 p, p 0, 0, [ 0, 0] D f = W f = 3

4 S 3 Die Umkehrfunktion einer Funktion, die selbst schon Umkehrfunktion einer anderen Funktion f ist, existiert Es gilt ( f ) = f D 4 (Beschränktheit) Eine Funktion f : y = f( x), x D f heißt auf der Menge M D( f ) dass beschränkt, wenn es eine endliche Konstante C derart gibt, f( x) C, x M gilt Dabei wird C eine Schranke von f auf M genannt D 5 (Beschränktheit nach unten bzw nach oben) Eine Funktion f : y = f( x), x D f heißt auf der Menge M D( f ) nach unten bzw nach oben beschränkt, wenn es eine endliche Konstante C bzw C derart gibt, dass ( ) C f( x), x M bzw ( ) f( x) C, x M gilt Dabei werden C bzw C untere bzw obere Schranke von f auf M genannt S 4 Für die Beschränktheit einer Funktion f auf M D( f) ist notwendig und hinreichend, dass f auf M sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist Beweis: Die Notwendigkeit folgt unmittelbar aus C f( x) C Umgekehrt ergibt sich die Beschränktheit aus ( ) und ( ), wenn ( ) C: = max C, C 4

5 gesetzt wird BS 6 Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K x x x x x [ ] 3 = , 0, 00 ist beschränkt Es gilt nämlich: 800 K( x) 6088 ] [ f : y = x, x, + ist nur nach unten beschränkt Es gilt nämlich: 0 x f( x) = 5

6 D 6 (Monotonie) Eine Funktion f : y = f( x), x D f heißt in dem Intervall I D( f) monoton wachsend, wenn ( 3) f( x) f( x), x, x I mit x < x gilt; entsprechend wird sie monoton fallend in I genannt, wenn ( 4) f( x) f( x), x, x I mit x < x gilt Treten in den Ungleichungen ( 3) bzw ( 4) die Gleichheitszeichen auf, so wird f entsprechend streng monoton wachsend bzw streng monoton fallend in I genannt BS 7 Wir zeigen, dass ] [ y = ln x, x 0, + streng monoton wachsend ist: Seien, ] 0, [ x x + beliebig mit x x Daraus folgt: x = ax, 0< a< < Dann gilt die Darstellung ln x = ln ax = ln a+ ln x < ln x (! ln a < 0) S 5 Wenn f und f im gleichen Intervall I streng monoton wachsend sind, dann ist die Summe f+ f der beiden Funktionen sowie das Produkt a fi, i =,, für a> 0 in I ebenfalls streng monoton wachsend; dagegen ist a fi, i =,, für a< 0 in I streng monoton fallend Wenn f in I streng monoton ist, dann existiert die inverse Funktion (Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht!) f 6

7 3 Wenn f in I streng monoton wachsend ist, so ist f mit { } D( f ) = x x R x= f( u), u I in jedem Intervall I D( f ) ebenfalls streng monoton wachsend Analoges gilt für streng monoton fallende Funktionen Beweis: Wir beschränken uns auf den Beweis der Behauptung: Sei x, x I mit x < x beliebig Aus den Voraussetzungen über f und f folgt dann: f ( x ) < f ( x ), f ( x ) < f ( x ), d h f ( x ) + f ( x ) < f ( x ) + f ( x ) bzw a f ( x ) > a f ( x ) mit a< 0 i i D 7 (Konvexität und Konkavität) Eine Funktion y = f( x), x D( f), heißt im Intervall I D( f), konvex, wenn ( α + α ) α ( ) + ( α) ( ),, ; α [ 0, ] f x x f x f x x x I ( 5) gilt Entsprechend wird sie in I konkav genannt, wenn gilt ( α + ( α) ) α ( ) + ( α) ( ),, ; α [ 0, ] f x x f x f x x x I B Der Nachweis der Konvexität für stetige Funktionen lässt sich vereinfachen; für sie genügt es nämlich zu zeigen, dass ( 5) für α = erfüllt ist BS 8 Wir zeigen, dass die Funktion konvex ist: y = e x R {} ax, \ 0 7

8 x x a ax ax ax ax + e + e e = e e 0 B 3 Eine lineare Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich sowohl konvex als auch konkav S 3 f und f seien in dem gleichen Intervall konvexe Funktionen f f + ist konvex a f ist konvex für a > 0 und konkav für a < 0 D 8 (Gerade und ungerade Funktionen) Eine Funktion y = f( x), x D( f) heißt gerade, wenn gilt und [ a a] D( f) =,, 0 = ) a > (bzw D( f) ] a, a[ ( 7) f( x) = f( x), x D( f), x> 0; entsprechend heißt sie ungerade, wenn statt ( 7) gilt f( x) = f( x), x D( f), x> 0 BS 9 y = e x ist gerade: x ( x) f( x) = e = e = f( x) 8

9 y = x 3 ist ungerade: 3 3 f( x) = x = ( x) = f( x) 3 3 y x x x = ist weder gerade noch ungerade: 3 3 f( x) = x 9x + 4x ( x) 9 ( x) + 4 ( x) = f( x), f x = x x + x x x + x = f x D 9 (Periodische Funktion) Eine Funktion y = f( x), x D( f), heißt periodisch, mit der Periode α, wenn α eine positive Zahl ist, mit der die Identität 9

10 ( 8) f( x+ α) = f( x) für alle diejenigen x D( f) erfüllt ist, für die auch gleichzeitig x+ α D( f) gilt Dabei wird die kleinste positive Zahl α, mit der ( 8) gilt, primitive Periode genannt BS 0 f : y = sin x, x R ist periodisch mit der primitiven Periode π : D 0 (Verkettete Funktion) Es seien f : y = f( u), u D( f) g: u = g( x), x D( g) Dabei gelte W( g) D( f) Dann heiß die Funktion y = f( g( x)), x D( g) mittelbare Funktion oder Verkettung der Funktionen f und g BS Gegeben seien die Funktionen f : y x, x R 4 = +, g: y = x, x> 0 g f x f x x 4 ( ) = = + 0

11 BS Die Abhängigkeit der in einer Periode abgesetzten Menge x eines Produktes vom Preis p sei durch die Funktion x( p) = p p, 0 p 45 gegeben Die Gesamtkosten K () x für die Produktion der abgesetzten Menge x möge durch () x = x K 30 gegeben sein Zu ermitteln sei die Kostenfunktion in Abhängigkeit vom Preis Lösung: K( p) = x = ( p p ) K( p) = p 30 p, 0 p 45 D (Elementare Funktionen) Jede Funktion, die sich durch endlich viele Operationen der Grundrechenarten sowie durch Verkettung aus den Grundfunktionen darstellen lässt, nennt man elementare Funktion (Letzte Aktualisierung: 30905)