Nur für die Lehrkraft

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Familie Abschlussprüfung an der Berufsoberschule im Schuljahr 6/7 Fach (C) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag 9. Mai 7 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel 9: : Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil, kein CAS- Rechner, Handbuch/Gebrauchsanleitung muss vorliegen, Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (siehe Aufgabendeckblatt) Allgemeine und spezielle Arbeitshinweise Erwartungshorizonte Beachten Sie bitte das Schülerdeckblatt. Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die schlüssig dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der im Erwartungshorizont dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtsprais orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. Aufgabe Nr. Soll Summe:

2 Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Aufgabenvorschlag C Eponentialfunktionen / Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) ( ) e ( ) e. Der Graph der Funktion ist G. f. Geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion f an. /. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. /. Bestimmen Sie die Lage und Art der lokalen Etrempunkte von G. f [zur Kontrolle: f '( ) ( ) e ]. Ergänzen Sie die Wertetabelle. /8 /6,,8,6,, f (),97,8, Zeichnen Sie mit Hilfe aller berechneten Ergebnisse den Graphen von f im Intervall,. Verwenden Sie das Koordinatensystem auf der folgenden Seite.. Der Graph einer quadratischen Funktion g mit g( ) a b c soll ebenfalls bei T ( ) einen Tiefpunkt haben und auch im Punkt S ( ) die y-achse schneiden. Geben Sie drei Bedingungen an, die g erfüllen muss und ermitteln Sie die Werte von a, b und c und geben Sie die Funktionsgleichung an. [zur Kontrolle: g ( ) ( ) ].6 In der Abbildung sind Ausschnitte der Graphen von f und g dargestellt. Begründen Sie, dass der obere Graph zur Funktion g gehört. y /7 /.7 Für schließen die Graphen G f und Gg im zweiten Quadranten eine Fläche ein. Berechnen Sie unter Verwendung des nachfolgenden Integrals, wie groß diese Fläche ist. / ( ) e d ( ) e C Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von

3 C Koordinatensystem zu Aufgabe.: Aufgabenvorschlag C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von

4 C Gebrochenrationale Funktionen / Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion f mit der Gleichung Der Graph ist G f. f ( ). 6. Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich der Funktion f. Geben Sie die Art der Definitionslücken der Funktion f an und untersuchen Sie das Verhalten von G in der Umgebung dieser Stellen. f /6. Berechnen Sie die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. /. Die Funktion g mit g ( ) besitzt die gleichen Nullstellen, Polstellen und Etrema wie die Funktion f. Berechnen Sie Art und Lage der Etrempunkte von G g. /9 [Hinweis: Ein Nachweis, dass g die gleichen Nullstellen und Polstellen hat wie f, ist nicht erforderlich.] 6 [Zur Kontrolle: g ( ) ] ( ). Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptoten der Funktion g. /. Ergänzen Sie die Wertetabelle. /6 6 g(),6, Zeichnen Sie unter Verwendung Ihrer berechneten Ergebnisse die Graphen der Funktion g und der Asymptote im Intervall 6 in das Koordinatensystem auf der folgenden Seite..6 Die Funktion g wird jetzt durch Einführung eines Parameters k zur Funktion h mit h( ) verändert. k / Berechnen Sie den Wert des Parameters k, so dass die Funktion h an der Stelle ein Etremum aufweist. Ein Nachweis des Etremums ist nicht gefordert. Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von

5 C Koordinatensystem zu Aufgabe. Aufgabenvorschlag C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von

6 C Analytische Geometrie / Die Abbildung zeigt eine Zielscheibe, wie sie beim Bogenschießen verwendet wird. In der Scheibe liegen die Punkte A ( ), B ( ) und das Zentrum Z ( ). Der Erdboden liegt in der -y-ebene. [Hinweise: Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht LE = cm.] Abbildung: Zielscheibe beim Bogenschießen. Bestimmen Sie den Abstand der Punkte A und B zum Zentrum Z der Scheibe. /. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die drei Punkte A, B und Z gebildet wird.. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform an, in der die Zielscheibe liegt. [mögliches Ergebnis für E in Koordinatenform: E : z 99 ] / /. Bestimmen Sie den Abstand der Ebene E (siehe.) zum Koordinatenursprung. /. Die Flugbahn eines Pfeils wird durch eine Gerade angenähert. Ein Pfeil trifft genau senkrecht in das Zentrum der Scheibe. Stellen Sie eine Gleichung für diese Gerade g auf, auf der dieser Pfeil fliegt. / Zwei Schützen schießen zum Zeitpunkt u bzw. v jeweils einen Pfeil ab. Für den Ort der Pfeilspitze zum Zeitpunkt u (bzw. v) in Sekunden gilt in vereinfachter Darstellung: h : 6 u 6 ; u k : v ; v 7 8 Bogenschütze Bogenschütze.6 Begründen Sie, welcher Schütze vermutlich der Größere ist. /.7 Bogenschütze trifft die Zielscheibe im Punkt S ( 8 ) Berechnen Sie den Auftreffpunkt des Pfeils auf die Zielscheibe für Bogenschütze. Begründen Sie, welcher Schütze bei diesem Schuss der Bessere ist. /7 Aufgabenvorschlag C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von

7 Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag C Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III. Definitionsbereich: D IR Wertebereich: W IR. Schnittpunkt mit der y-achse Es gilt: f () ( ) e ; S y ( ) Schnittpunkte mit der -Achse Es gilt: y ( ) e Da e keine Lösung liefert: ( ) ; S ( ).. f ( ) ( ) e e e ( ( f ( ) ; e ( ( ) ) e ) ) Da e keine Lösung liefert: / ; f ( ) ( ) e ( ( 6 7) e ; ) e f ( ) e ; Tiefpunkt bei T( ) f ( ) e ; Hochpunkt bei H(,),,8,6,, f (),97,8,88,, Erwartungshorizont C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von 6

8 Erwartungshorizont C Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III. Ansatz: g( ) a b c Bedingungsgefüge:. g ( ) (Punkt T ( ) ). g ( ) (Tiefpunkt T). g ( ) (Punkt S y ( ) ) Gleichungssystem: Aus g ( ) folgt c. I. II. a b a b Lösen des Gleichungssystems ergibt: a ; b ; c Für die Funktionsgleichung gilt: g ( ) oder g ( ) ( ) Alternative: Vergleich der Punkte durch Einsetzen und Nachweis für den Tiefpunkt..6 Berechnung der jeweiligen Funktionswerte an einer bestimmten Stelle, z. B., f (,), ; g (,), 6 Daher ist der obere Graph der Graph der Funktion g..7 A ( ) g( ) d e d ( f ( ) d ) e e e,6 ( ) d ( ) d Der Größe der Fläche beträgt ca.,69 FE. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 7 Summe der BE Erwartungshorizont C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von 6

9 Erwartungshorizont C Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung. ist eine Definitionslücke, wenn N ( ) gilt. 6,,, Zählerpolynom überprüfen: ; D = IR \ ;, Untersuchung der Umgebung durch Testeinsetzungen: f (,), ; f(,99),6 ; f(,9) ; f(,) 7,, ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, ist eine hebbare Lücke BE/AB I II III.. Nullstelle: 6 Erste Lösung z. B. mittels Horner-Schema:, weitere über Untersuchung des Restpolynoms: mit den Lösungen (hebbare Lücke) Die Nullstellen sind. S ) ; S ( ) N/ ( Die y-achse wird bei f ( ) geschnitten. S y ( ) Berechnung der Etrema von g ( ) ( ) ( ) 6 g( ) ( ) ( ) (8 )( ) g( ) (8 )( ) ( 6) g( ) ( ) 7 g( ) ( ) Notwendige Bedingung: 6 ( ) ; 6 ( ( ) 6) ( ) 6 g ( ), T( ); g (), H(,) Erwartungshorizont C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von 6

10 Erwartungshorizont C. Bestimmung der Asymptote durch Polynomdivision: 9 g ( ) ( ) : ( ) 8 ( ) a ( ) 8. 6 g(),6,,,,,9.6 h( ) k ( k ) ( h( ) ( k ) k h() k ) k k k ( k ) Summen der BE in den Anforderungsbereichen 9 Summe der BE Erwartungshorizont C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von 6

11 Erwartungshorizont C Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III. ZA 7,89 ZB Der Abstand der Punkte A und B zum Zentrum beträgt 7,89 cm bzw. cm.. Inhalt der Dreiecksfläche: A ABZ 6, Die Dreiecksfläche beträgt ca. 6, cm.. Bestimmung eines möglichen Normalenvektors n ZA ZB und d mit d n OZ 7 Eine Gleichung in Koordinatenform E : z 99. E : z 99 n n, z Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung beträgt ca. 96 cm.. Bestimmen eines Normalenvektors der Ebene E (z. B. aus.): n y z g : OZ r n r Erwartungshorizont C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite von 6

12 Erwartungshorizont C Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III.6 u bzw. v bedeutet den Zeitpunkt des Abschusses. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich die Pfeilspitze von Bogenschütze in der Höhe von 7 cm, die von Schütze in der Höhe von 8 cm. Damit ist Bogenschütze vermutlich der Größere..7 S ( 8 ) ZS 6, k und E: 6 v r s 8 r ; s ; v Mit v ergibt sich für den Schnittpunkt: S ( ) ZS 9 6,8 Bogenschütze ist minimal besser. 7 Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE Erwartungshorizont C Abschlussprüfung Berufsoberschule 7 Seite 6 von 6