1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch folgende Punkte!

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1 1 Folgen und Reihen 1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! (a) (a n ) = (1; 3; 5; 7;...) (b) (a n ) = ( 3 2 ; 6 5 ; 9 10 ; ; ;...) 2. Bestimmen Sie die ersten 5 Folgeglieder von (a n ) mit a n+1 = (n + 1) a n und a 1 = 1 3. Beschreiben Sie die Menge aller Folgeglieder von (a n ) mit a n+1 = 3 + a n und a 1 = 3 möglichst einfach! 2 Funktionen 2.1 Lineare Funktionen 1. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h(x), die auf g : 2x 3y + 6 = 0 senkrecht steht und g an der Stelle x 0 = 3 schneidet! 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch folgende Punkte! (a) A(3/5) und B(7/9) (b) C( 1/7) und D(0/0) (c) E(3/6) und F (7/7) (d) G( 5/0) und H(3/2) 3. Bestimmen Sie die Geradengleichung bei gegebener Steigung und P g! (a) P ( 3/1) und m = 1 2 (b) P ( 5/2) und m = 0,4 4. Eine Gerade mit der Steigung m = 1 läuft durch P (3/2). Stellen Sie die Funktionsgleichung auf! 5. Stellen Sie die Gleichung der Geraden durch Q(5/2) auf, die die Gerade y = 3x + 2 im rechten Winkel schneidet! 6. Bestimmen Sie a und b so, dass sich die durch y = 1 x + 6 und y = ax + 7b festgelegten 3 Geraden in S(6/4) rechtwinklig schneiden! 7. Berechnen Sie die Fläche zwischen den durch y = x 5 und y = 2x + 3 gegebenen Geraden und der y-achse! 8. Für a R\{1} beschreibt die Gleichung y = (a 1)x und für a R die Gleichung y = a 2 x eine Geradenschar. Welche Eigenschaften haben die Geraden jeweils? 9. Eine Wassertonne mit dem Radius r = 4dm und der Höhe h = 15dm wird mit einem Wasserschlauch gefüllt, aus dem pro Minute 15 dm 3 strömen. 1

2 (a) Geben Sie die Gleichung der Funktion t h an, die die Abhängigkeit der Füllhöhe von der Zeit beschreibt! (b) Zeichnen Sie den Graphen und Geben Sie D max und W an! 10. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h(x), die auf g(x) = 2 x + 2 senkrecht steht 3 und g an der Stelle x 0 = 3 schneidet! 11. Gegeben seien die Geraden g(x) = 1x + 2 und h(x) = 4x Berechnen Sie die 3 3 Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen und den Schnittpunkt von g mit h und zeichnen Sie beide Geraden! 12. Gegeben sei die Geradenschar g a : y = 3a x + 3 mit a 0. 2 (a) Zeichnen Sie g 2 und g 1 in ein Koordinatensystem ein! (1LE = 1cm ) (b) Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden h 1 und h 2 die man erhält, wenn man g 1 an der x-achse bzw. an der y-achse spiegelt! Zeichnen Sie beide Geraden in das Koordinatensystem ein! (c) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a die Gleichung der Geraden h a, die g a auf der x-achse unter einem rechten Winkel schneidet! 13. Gegeben sei die Geradenschar g k : 2y kx 6 + 3k = 0 mit k R als Scharparameter. (a) Zeigen Sie, dass es einen Punkt P gibt, der auf allen Geraden der Schar liegt! Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes! (b) Zeichnen Sie die Geraden g 1 und g 6 für die Parameter k = 1 bzw. k = 6 in ein genügend großes Koordinatensystem ein! (c) Berechnen Sie den spitzen Winkel, unter dem sich g 1 und g 6 schneiden! (d) Berechnen Sie k so, dass die Gerade durch den Ursprung geht! 14. Gegeben seien die Punkte P ( 5/2), Q( 2/ 2,5) und R(6/ 8). (a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P und Q! Falsches Ergebnis: y = 2,5x 11,5 (b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt R geht und auf g senkrecht steht! (c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und h! 15. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h(x), die auf g(x) = 2 x + 2 senkrecht steht 3 und g an der Stelle x 0 = 3 schneidet! 16. Gegeben seien die Geraden g(x) = 1x + 2 und h(x) = 4x Berechnen Sie die 3 3 Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen und den Schnittpunkt von g mit h und zeichnen Sie beide Geraden! 17. Gegeben sei die Geradenschar g a : y = 3a x + 3 mit a 0. 2 (a) Zeichnen Sie g 2 und g 1 in ein Koordinatensystem ein! (1LE = 1cm ) 2

3 (b) Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden h 1 und h 2 die man erhält, wenn man g 1 an der x-achse bzw. an der y-achse spiegelt! Zeichnen Sie beide Geraden in das Koordinatensystem ein! (c) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a die Gleichung der Geraden h a, die g a auf der x-achse unter einem rechten Winkel schneidet! 18. Gegeben sei die Geradenschar g a : y = 3a x + 3 mit a 0. 2 (a) Zeichnen Sie g 2 und g 1 in ein Koordinatensystem ein! (1LE = 1cm ) (b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen G a mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von a. (c) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a die Gleichung der Geraden h a, die g a im Punkt P (2/y P ) unter einem rechten Winkel schneidet! 19. Gegeben sind die Gerade g : x + 2y 7 = 0 und die Geradenschar h k (x) = 2kx + 1 4k. (a) Bestimmen Sie den Punkt P, durch den alle Geraden der Schar h k gehen! (b) Bestimmen Sie k s so, dass sich g und h ks (c) Berechnen Sie die Fläche, den die Geraden g und h ks rechtwinklig schneiden! 20. Gegeben ist die Geradenschar g k : kx y + 4 k = 0 mit k R. mit der y Achse einschließen! (a) Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar durch einen Punkt gehen und bestimmen Sie diesen Punkt P! (b) Zeichnen Sie g 0, g 0,5 und g 2! (c) Welche Gerade durch P wird von der Gleichung g k nicht erfasst? (d) Wie muss k gewählt werden, dass damit g k durch den Punkt ( 1/ 1) geht? (e) Für welches k steht g k senkrecht auf h : 3x 2y + 5 = 0? (f) Berechnen Sie die Fläche, die die Gerade g 0,5 mit der x und der y Achse einschließt! 21. Gegeben sei die Geradenschar g k : y = 1 (kx + 6 3k) mit k R als Scharparameter. 2 (a) Zeigen Sie, dass es einen Punkt P gibt, der auf allen Geraden der Schar liegt! Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes! (b) Zeichnen Sie die Geraden g 1 und g 6 für die Parameter k = 1 bzw. k = 6 in ein genügend großes Koordinatensystem ein! (c) Berechnen Sie k so, dass die Gerade durch den Ursprung geht! 22. Stellen Sie die Gleichung der Geraden h(x) auf, die durch den Punkt P ( 3/4) verläuft und zu g(x) = 2x + 3 parallel ist. 23. Gegeben sind die Gerade g mit g(x) = 4x 1 und die Geradenschar f a mit f a (x) = 2ax 3a und a R. (a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geradenschar f a mit den Koordinatenachsen! (b) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geradenschar f a mit der Geraden g in Abhängigkeit von a! Deuten Sie den Sonderfall geometrisch! 3

4 (c) Bestimmen Sie a so, dass sich f a und g senkrecht schneiden! 24. Stellen Sie die Gleichung der Geraden h(x) auf, die durch den Punkt P ( 2/3) verläuft und zu g(x) = 3x + 1 parallel ist. 25. Gegeben sind die Gerade g mit g(x) = 6x 1 und die Geradenschar f a mit f a (x) = 3ax 2a und a R. (a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geradenschar f a mit den Koordinatenachsen! (b) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geradenschar f a mit der Geraden g in Abhängigkeit von a! Deuten Sie den Sonderfall geometrisch! (c) Bestimmen Sie a so, dass sich f a und g senkrecht schneiden! 26. Gegeben ist die Gerade g mit g(x) = 2x+2 und die Geradenschar h k mit h k (x) = 1 k x+3k und k R\{0}. (a) Bestimmen Sie k so, dass sich die Geraden senkrecht schneiden! (b) Bestimmen Sie k so, dass sich die Geraden auf der y-achse schneiden! (c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Graphen in Abhängigkeit von k! 2.2 Quadratische Funktionen 1. Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der folgenden Parabeln! (a) f(x) = 2x 2 + 3x 4 (b) f(x) = x 2 + ax 2 (c) f(x) = 4x 2 8x + 11 (d) f(x) = 0,25x (e) f(x) = x 2 + 4x 1 (f) f(x) = x 2 + ax + b (g) f(x) = 2x 2 3x + 4 (h) f(x) = 1 2 x2 + 2x Es sei f a : x x 2 2ax + 2a 2 mit a R gegeben. (a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels in Abhängigkeit von a. (b) Bestimmen Sie die Funktion des Graphen, auf dem alle Scheitelpunkte von G fa liegen. (Hinweis: Einieren Sie a) (c) Bestimmen Sie a so, dass die Graphen von f a durch den Punkt P (0/8) laufen. (d) Es sein nun g a eine Geradenschar mit der Gleichung y = ax. Zeigen Sie, dass sich die Graphen von f a und g a für jedes a treffen und bestimmen Sie a so, dass sie sich berühren. 3. Eine nach unten geöffnete Normalparabel hat ihren Scheitel bei S( 1/ 1 ). Bestimmen 2 2 Sie die Gleichung! 4

5 4. Bestimmen Sie die Werte a, b, c R so, dass der Graph der Funktion y = ax 2 + bx + c folgende Eigenschaften hat: (a) A(1/4), B(0/3) und C( 3/24) liegen auf dem Graphen (b) Der Scheitel liegt im Ursprung, f geht durch (5/2) (c) Scheitel ist (3/1), (0/5,5) ist weiterer Kurvenpunkt 5. Gegeben sei die Funktion p(x) = 1 2 x2 + 3x + 0,5. (a) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel! (b) Berechnen Sie die Schnittpunkte P 1 und P 2 der Parabel p mit der Geraden g : 2y 3x + 3 = 0! 6. (a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel p, die durch die Punkte A(7/ 3), B(5/3) und C(0/0,5) festgelegt ist! (b) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel! (c) Berechnen Sie die Schnittpunkte P 1 und P 2 der Parabel p mit der Geraden g : 2y 3x + 3 = 0! (d) Zeichnen Sie p und g in ein Koordinatensystem ein! 7. Gegeben ist die Schar der Parabeln f a (x) = ax 2 + (1 2a)x mit a R (a) Bestimmen Sie für a = 1 den Scheitelpunkt und zeichnen Sie den Graphen! (b) Wie muss a gewählt werden, damit G a durch den Punkt (4/0) geht? Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen in das Koordinatensystem ein! (c) Bestimmen Sie allgemein für a 0 die Nullstellen von f a! (d) Für welchen Wert von a berührt G a die x Achse? 8. Gegeben sei die Funktion f a (x) = x 2 2ax + 2a 2 mit a R. (a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels in Abhängigkeit vom Parameter a! (b) Wie lautet die Funktion des Trägergraphen, auf dem die Scheitel der Parabeln für alle a R liegen? (c) Bestimmen Sie a so, dass die Graphen von f a durch P (0/8) laufen! (d) Nun seien a 1 und a 2 beliebige unterschiedliche reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass S(a 1 + a 2 /a a 2 2) der Schnittpunkt der zugehörigen Graphen ist. (e) Gegeben sei g a (x) = ax. Zeigen Sie, dass die Graphen von f a (x) und g a (x) nie aneinander vorbeilaufen! Bestimmen Sie die Schnittpunkte in Abhängigkeit von a! 9. Gegeben sind die Funktionen f(x) = x 2 4x + 6 und g(x) = 2x + t mit t R. (a) Zeichnen Sie die Graphen f(x), g 0 (x), g 1 (x) und g 2 (x) in ein kartesisches Koordinatensystem ein! 5

6 (b) Bestimmen Sie durch Rechnung t so, dass der Graph von g t (x) den Graphen von f(x) berührt! Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes! (c) Für welches t läuft der Graph von g t (x) durch den Scheitel der Parabel f(x)? Berechnen Sie den zweiten Schnittpunkt! 10. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen! (a) f(x) = 0,5x 2 + x 1 und g(x) = 3x + 3,5 (b) f(x) = x 3 + x + 3 und g(x) = x 3 + x 2 x 11. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel durch die Punkte (a) A( 3/ 4), B(2/ 4) und C(3/ 10) (b) P ( 3/4) und Q(2/ 4) 12. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2 4x + 4 mit der Definitionsmenge R. (a) Zeigen Sie, dass für alle x R gilt:f(x) 0 (b) Ermitteln Sie die Schnittpunkte S 1 und S 2 der Geraden g(x) = x mit dem Graphen von f! (c) Für welches t hat die Gerade h(x) = 2x + t genau einen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam? Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes Q! (d) Zeichnen Sie die Graphen von f, g und h! 13. Gegeben seien die Funktionen f(x) = x 2 + 6x + 11 und g a (x) = ax 2 + 2ax a. (a) Bestimmen Sie a so, dass der Graph von g die Funktion f in deren Scheitel schneidet! (b) Bestimmen Sie für dieses a die Gleichung der Geraden h durch die zwei Schnittpunkte von f und g! (c) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f, h und g a für das in Teilaufgabe (a) bestimmte a! 14. Gegeben ist die Funktion f : x f(x) = 2 3 x2 2x (a) Treffen Sie Aussagen über die Form der Parabel! (b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen und die Scheitelkoordinaten! (c) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden y = 2x parallel verläuft und die Parabel berührt! 15. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p(x) mit dem Scheitel bei S(2/5), die außerdem durch den Punkt A( 1/0,5) geht! 16. Gegeben sei die Funktion f a (x) = x 2 2ax + 2a 2 mit a R. (a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels in Abhängigkeit vom Parameter a! (b) Wie lautet die Funktion des Trägergraphen, auf dem die Scheitel der Parabeln für alle a R liegen? 6

7 (c) Bestimmen Sie a so, dass die Graphen von f a durch P (0/8) laufen! (d) Nun seien a 1 und a 2 beliebige unterschiedliche reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass S(a 1 + a 2 /a a 2 2) der Schnittpunkt der zugehörigen Graphen ist. (e) Gegeben sei g a (x) = ax. Zeigen Sie, dass die Graphen von f a (x) und g a (x) nie aneinander vorbeilaufen! Bestimmen Sie die Schnittpunkte in Abhängigkeit von a! 17. Gegeben seien f(x) = 3x 2 + bx + 1 und g(x) = x 2 2x + b mit b R. Bestimmen Sie b so, dass sich die Graphen von f und g berühren! 18. Gegeben sei die Funktion p(x) = 1 2 x2 + 3x + 0,5. (a) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel! (b) Berechnen Sie die Schnittpunkte P 1 und P 2 der Parabel p mit der Geraden g : 2y 3x + 3 = 0! 19. Gegeben ist die Funktionenschar f(x) = 2x 2 8kx + 9k mit x, k R. (a) Berechnen Sie die Koordinaten der Scheitelpunkte in Abhängigkeit von k! (Ergebnis: S(2k/k 2 + 1)) (b) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung des Trägergraphen aller Scheitelpunkte der Parabelschar! (c) Zeigen Sie, dass die Funktionenschar für alle k R die x-achse weder berührt noch schneidet! 20. Gegeben sei die Funktion p(x) = 1 2 x2 + 3x + 0,5. (a) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel! (b) Berechnen Sie die Schnittpunkte P 1 und P 2 der Parabel p mit der Geraden g : y = 3x Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel mit der Funktionsgleichung p(x) = 3x 2 4,5x Gegeben ist die Funktionenschar f(x) = 2x 2 8kx + 9k mit x, k R. (a) Berechnen Sie die Koordinaten der Scheitelpunkte in Abhängigkeit von k! (Ergebnis: S(2k/k 2 + 1)) (b) Zeigen Sie, dass die Funktionenschar für alle k R die x-achse weder berührt noch schneidet! 23. Gegeben sei die quadratische Funktion f k (x) = x 2 + 4kx + 3k mit k R. (a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f k (x) in Abhängigkeit von k! (Fallunterscheidung!) (b) Bestimmen Sie die Scheitelkoordinaten in Abhängigkeit von k! 24. Gegeben seien f(x) = 3x 2 + bx + 1 und g(x) = x 2 2x + b mit b R. Bestimmen Sie b so, dass sich die Graphen von f und g berühren! 7

8 2.3 Ganzrationale Funktionen 1. Gegeben seien die Funktionen g und h mit g(x) = 2x 3 3x 2 6x + 7 und h(x) = x 3 6x Bestimmen Sie die Kooordinaten aller Schnittpunkte der Graphen G g und G h! 2. Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = x 4 16 und g(x) = 2x x x 40. Definitionsmenge sei jeweils R. (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f. Untersuchen Sie den Funktionsgraphen G f auf bekannte Symmetrieeigenschaften und skizzieren Sie seinen prinzipiellen Verlauf. (b) Bestimmen Sie die x-werte der vier Schnittpunkte von G f und G g. 3. Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion h mit h(x) = x 3 3x 2 + 4x + 12 und D h = R. Schreiben Sie die Funktion als Produkt von Linearfaktoren und skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Funktionsgraphen G h. 4. Zeigen Sie, dass die Funktion f a (x) = 2x 4 + (8 a)x 3 + (8 4a a 2 )x 2 4a(a + 1)x 4a 2 bei x 0 = 2 eine doppelte Nullstelle hat und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen der Funktion. 5. Gegeben seien f(x) = 3x 2 + bx + 1 und g(x) = x 2 2x + b mit b R. Bestimmen Sie b so, dass sich die Graphen von f und g berühren! 6. Bestimmen Sie alle Nullstellen! (a) f(x) = x 3 3x + 2 (b) f(x) = x 3 7x + 6 (c) f(x) = x 3 4x 2 + 6x 1 (d) f(x) = x 3 2x 2 x + 2 (e) f(x) = x 3 + x 2 x 1 (f) f(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 (g) f(x) = 2x 3 9x 2 + 3x + 14 (h) f(x) = x 4 2x 3 5x 2 + 6x (i) f(x) = x 4 2x 3 25x x (j) f(x) = x 4 + x 3 13x 2 x + 12 (k) f(x) = x 5 x 4 8x 3 + 8x x Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph durch die Punkte ( 2/ 17), ( 1/2), ( 1 /3) und (3/48) verläuft! 2 8

9 8. Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3. Grades mit der doppelten Nullstelle bei x 1 = 2, die von den Paaren (1/5) und ( 2/ 16) erfüllt wird! 9. Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4. Grades, die durch die Paare ( 3/108), ( 1/2), (0/0), ( 1/ 1 ) und (2/8) erfüllt wird! Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f(x) = x 4 2x 3 25x x und skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf von G f! 11. Zeigen Sie, dass f(x) = 2x 6 + 4ax 5 + 9x ax 3 5x 2 10ax die Nullstelle 2a hat und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen! 12. Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph zur y-achse symmetrisch ist und die Punkte ( 1/ 43), (1/ 5 ) und (2/23) enthält! Gegeben sei die Funktion f a (x) = 2x 4 + (8 a)x 3 + (8 4a a 2 )x 2 4a(a + 1)x 4a 2. (a) Zeigen Sie, dass x 0 = 2 eine doppelte Nullstelle von f a ist und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen der Funktion. (b) Nun sei a = 1. Zerlegen Sie f 1 soweit wie möglich in Faktoren und ermitteln Sie mit der Methode des Felderabstreichens den prinzipiellen Verlauf von G f Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion h(x) = (x 4 2x 2 8)(x 2 2x 8) und skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Graphen! 15. Gegeben ist die ganzrationale Funktion f dritten Grades mit einer doppelten Nullstelle bei x = 2, deren Graph durch die Punkte A( 1/9) und B(3/9) geht. (a) Bestimmen Sie den Funktionsterm von f. (b) Lösen sie die Ungleichung 2x 3 5x 2 4x Gegeben sind die Funktionen f k und g mit f k : x x2 k 2x + k mit k R\{0} und g : x x3 12 x2 + 4x 11 3 (a) Zeigen Sie, dass die Scheitelpunkte aller Parabeln G fk auf der x-achse liegen. (b) Weisen Sie nach dass sich die Graphen G f4 (also k = 4) und G g im Punkt P (2/y P ) schneiden und dass der Punkt P der einzige Punkt ist, den die Graphen gemeinsam haben. 17. Der Graph von f ist symmetrisch zum Ursprung, enthält den Punkt ( 3/ 3 ) und hat 4 mit der Gerade g(x) = 7x + 1 bei x = 1 einen gemeinsamen Punkt. 4 2 (a) Berechnen Sie den Funktionsterm von f. Mögliches Ergebnis: f(x) = 1 4 (x3 10x) 9

10 (b) Berechnen Sie alle gemeinsamen Punkte der Graphen von f und g. (c) Berechnen Sie alle Nullstellen von f. 18. Bestimmen Sie alle Nullstellen von f(x) = ax 3 + a 2 x 2 a 3 x a 4 und skizzieren Sie G f in Abhängigkeit von a! (Geeignete Fallunterscheidung) 19. Untersuchen suchen Sie die Funktionen auf ihre Symmetrieeigenschaften (a) f : x x 2 1 (b) f : x 1 x (c) f : x 1 x 2 (d) f : x (x 2)(x + 2) (e) f : x (x 3) 2 (f) f : x (x 3) 3 (g) f : x ax 3 bx (h) f : x (x 3 4x) 2 (i) f : x x (j) f : x 1 2 x2 (x + 1)(x 1) (k) f : x 1,5x 3 + x 1 (l) f : x (x 2) 2 (m) f : x x3 +x x 2 +4 (n) f : x 20. Wie verhalten sich die Graphen der Funktionen für x? (a) f : x 1 2 x3 + x 2 (b) f : x 3x x x (c) f : x x3 +4 x Untersuchen Sie für die Funktionen f und g das Verhalten im Unendlichen sowie das Symmetrieverhalten und skizzieren Sie jeweils den prinzipiellen Verlauf der Funktionen! (a) f(x) = x 4 5x 3 3x 2 + 9x (b) g(x) = (x 5 3x 3 4x) x 22. Bestimmen Sie die zum Ursprung punktsymmetrische, ganzrationale Funktion 5. Grades, die durch die Punkte A( 1/ 1 ) und B(3/15) geht und bei x = 2 eine Nullstelle hat! Von einer ganzrationalen Funktion f : x f(x) mit D f = R ist folgendes bekannt: Der Graph von f ist symmetrisch zum Ursprung, enthält den Punkt ( 3/ 3 ) und hat 4 mit der Gerade g(x) = 7x + 1 bei x = 1 einen gemeinsamen Punkt. 4 2 Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem der Funktionsterm von f berechnet werden kann. Das Gleichungssystem soll nicht gelöst werden!!! 10

11 24. Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f(x) = x 5 x 4 8x 3 + 8x x 16 und skizzieren Sie ihren prinzipiellen Verlauf! 25. Gegeben sei die Funktion f a (x) = 2x 4 + (8 a)x 3 + (8 4a a 2 )x 2 4a(a + 1)x 4a 2. (a) Zeigen Sie, dass x 0 = 2 eine doppelte Nullstelle von f a ist und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen der Funktion. (b) Nun sei a = 1. Zerlegen Sie f 1 soweit wie möglich in Faktoren und ermitteln Sie mit der Methode des Felderabstreichens den prinzipiellen Verlauf von G f Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x 3 + 3x 2 x 3. (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f! (b) Zeigen Sie, dass G f zu P ( 1/?) symmetrisch ist! 27. Gegeben sei die Funktion g mit g(x) = x 6 14x x Untersuchen Sie G g auf Symmetrie und bestimmen Sie alle Nullstellen von g! (Hinweis: Betrachten Sie zuerst das Symmetrieverhalten!) 28. Bestimmen Sie jeweils alle Nullstellen und untersuchen Sie die Funktionen auf Symmetrie! (a) f(x) = x 6 24x 4 81x 2 (b) f(x) = x 6 43x 4 90x 2 (c) g(x) = x 3 13x 12 (d) g(x) = x 3 7x 6 (e) h(x) = 2x 3 4x 2 ax 2 + 2ax a 2 x + 2a Ganzrationale Funktionen (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f mit f(x) = x 5 x 4 8x 3 +8x 2 +16x 16 und skizzieren Sie ihren prinzipiellen Verlauf! (b) Bestimmen Sie zur Funktion g a mit g a (x) = (x a) 2 (x 3 9x) und a R alle Nullstellen (mit Vielfachheiten) und untersuchen Sie, welche Symmetrieeigenschaft der Graph aufweist. (Fallunterscheidung in 4 Fälle!) (c) Gegeben sei die Funktion h b mit h b (x) = 3bx x 2 13 und b R. Untersuchen Sie das Verhalten von G hb für x ±. (Fallunterscheidung!) 30. Gegeben sei die Funktion h mit h(x) = (x 4 2x 2 8)(x 2 2x 8). Bestimmen Sie alle Nullstellen (mit Vielfachheiten) und skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Graphen! 31. Gegeben sind die Funktionen f und g mit f : x x2 4 x3 2x + 4 und g : x 12 x2 + 4x 11 3 Weisen Sie nach, dass sich die Graphen G f und G g im Punkt P (2/y P ) schneiden und dass der Punkt P der einzige Punkt ist, den die Graphen gemeinsam haben. 11

12 32. Erstellen Sie die Funktionsgleichungen aller ganzrationalen Funktionen f a dritten Grades, deren Graphen bei x 0 = 3 die x-achse schneiden und punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind. 33. Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion h mit h(x) = x 3 3x 2 5x+15 und skizzieren Sie ihren prinzipiellen Verlauf! 34. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph durch die Punkte A(1/0), B(2/0), C( 1/6) und D(0/6) verläuft! 2.4 Betragsfunktionen 1. Zeichnen Sie den Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 + 4x Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge! (a) x 2 x 20 = 5 x (b) 5 2x 4 3. Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x x 3. Schreiben Sie die Funktionsgleichung betragsfrei und zeichnen Sie G f! 4. Lösen Sie die Gleichung 1 + 4x 10 = 4x Gegeben sei die Funktion g mit g(x) = x x + 6 Schreiben Sie die Funktionsgleichung betragsfrei und zeichnen Sie G g! 6. Gegeben sei die Funktion k mit k(x) = 2 x 3 über der Menge der reellen Zahlen. Schreiben Sie k(x) betragsfrei und zeichnen Sie den Funktionsgraphen für 5 x Lösen Sie die Gleichung 1 + 4x 10 = 4x Grenzwertrechnung 3.1 Grenzwerte 1. Berechnen Sie folgende Grenzwerte! (Die Angabe des Grenzwertes genügt nicht!!!) (a) x 4 + 4x x 3 (x 3 + 2) (b) x 4 + 4x x + 3 (x 3 + 2) (c) x 3 a 3 x a x a (d) (2x 2 + 3x + 4)(3x 2 + 5) x (x + 2)(x 3 + 1) 2. Berechnen Sie folgende Grenzwerte! (Die Angabe des Grenzwertes genügt nicht!!!) (a) (2x + 3)(5 7x 3 ) x 1 + 2x 6x 3 28x 4 (b) (a) x 5 x 2 25 x 2 2x 15 (b) x 5 x x 2 + x 20 12

13 3. Berechnen Sie folgende Grenzwerte! (Die Angabe des Grenzwertes genügt nicht!!!) (a) x x 4 + 2x + 3 (x 3 + 9)(x 2 + 5) 2x 2 + x 15 (b) (a) x 3 x 2 7x 30 (b) x 3 a 3 x a (x a) 2 4. Berechnen Sie folgende Grenzwerte! (Die Angabe des Grenzwertes genügt nicht!!!) (a) x x 4 + 4x (x 3 + 2)(x 2 + 3) (b) 2x 2 + x 15 x 30 7x 7x 2 5. Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) = 3(k + 1)x 5 + (3 + 4k)x 3 5kx für k 0 im Unendlichen! 6. Gegeben seien die Funktionen f(x) = 3x2 + x 14 x 2 9x + 14 und g(x) = 6x + x x 2 Untersuchen Sie das Verhalten von (a) f(x) für x und f(x) für x 2 (b) g(x) für x und g(x) für x 3 7. Gegeben seien die Funktionen f(x) = 2x2 + 13x + 15 x 2 + x 20 und g(x) = 4x 4 x2 4 x 2 Untersuchen Sie das Verhalten von (a) f(x) für x und f(x) für x 5 (b) g(x) für x und g(x) für x 2 8. Berechnen Sie die Grenzwerte! (Angabe des Grenzwertes genügt nicht!) (a) x 3 3a 2 x 2a 3 3x x 2 + 6x 109 (b) x a x 2 a 2 x +5x 5 2x 3 + x Stetigkeit 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x 2 7x 15 x 2 9x + 20 für x > x2 + bx für x 5 mit D f = R. Für welches b R ist f in ganz R stetig? 13

14 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = x3 2x 2 5x x 2 + x 6 Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge D von f, untersuchen Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches und setzen Sie f an den Definitionslücken stetig fort, wenn dies möglich ist! 3. Für welche k R ist stetig? f(x) = 4. Gegeben ist die Funktion f(x) = { 3 für x 1,5 x 2 + kx für x < 1,5 x 2 9x + 14 x 2 7x + 10 für x < x2 + 1x für x 2 6 mit D f = R. Untersuchen Sie f auf Stetigkeit! Gegeben sei die Funktion f(x) = 4x2 + 12x + 9 2x 2 7x 15. (a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von f und x ± f(x) (b) Bestimmen Sie x 1,5 f(x) und x 5 f(x) und untersuchen Sie, an welcher Stelle und durch welchen Punkt f(x) stetig fortsetzbar ist! 5. Untersuchen Sie die Funktion f(x) = { x 2 +x x für x R\{0} 1 für x = 0 auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0. 4 Differentialrechnung 4.1 Differenzierbarkeit 1. Gegeben sei die Funktion f mit { 0,5x f(x) = für x < 2 x 2 6x 12 für x 2 Untersuchen Sie f auf Differenzierbarkeit in R. 14

15 2. Gegeben sei die Funktion f mit { x g(x) = 2 2x für x < 3 ax 3a + 3 für x 3 Bestimmen Sie die reellen Zahlen a und b so, dass g an der Stelle x 0 = 3 stetig und differenzierbar wird. { x 3. Gegeben sei nun die Funktion g mit g(x) = 4 2x 3 x 1 3x 2 für und b, c R. + bx + c x > 1 Bestimmen Sie b und c so, dass g an der Stelle x = 1 stetig und differenzierbar ist. 4.2 Kurvendiskussion 1. Gegeben sei die Funktionenschar f a mit f a (x) = x 4 (a + 1)x 3 + 2(a 1)x 2. Dabei ist D f = R und a R. (a) Zeigen Sie, dass alle Funktionen der Schar die Nullstelle x 1 = 2 besitzen und ermitteln Sie außerdem mit Hilfe einer geeigneten Fallunterscheidung Lage und Vielfachheit sämtlicher Nullstellen von f a in Abhängigkeit von a. (b) Berechnen Sie a so, dass der zugehörige Graph G a für x = 1 einen Wendepunkt hat. Für die folgenden Teilaufgaben sei nun a = 1. (b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen G 1 und berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten vorhandener Extrempunkte. (c) Berechnen Sie die Koordinaten eventuell vorhandener Wendepunkte. (d) Zeichnen Sie G 1 für 1 x 2,25 mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und der Funktionswerte f 1 ( 1), f 1 (0,5) und f 1 (2,25). Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 2 cm 2. Gegeben sei die Funktionenschar f a mit f a (x) = 1 4 (x a)(x2 5x) und a R. (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f a mit Vielfachheiten. (Fallunterscheidung!) (b) Zeigen Sie, dass F a mit F a (x) = 1 und bestimmen Sie a so, dass ist. 5 0 f a (x) dx = x4 a+5 12 x ax2 eine Stammfunktion von f a ist (c) Es sei nun a = 4, also f 4 (x) = 1 4 (x3 9x 2 +20x). Berechnen Sie die Extrempunkte von G f4 (y-werte auf eine Dezimalstelle runden) und fertigen Sie eine saubere Zeichnung für 0 x 6. (d) Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die G f4 15 mit der x-achse einschließt.

16 3. Gegeben sind die reellen Funktionen f a mit D fa = R und f a (x) = 1 27 (ax x ) mit a R\{0}. Der Graph wird mit G fa bezeichnet. (a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f a in Abhängigkeit von a! (b) Überprüfen Sie die Funktion f a auf Stetigkeit! (c) Zeigen Sie, dass für alle x R gilt: f a (x) + f a ( x) = 0. Welche Folgerung ergibt sich hieraus für den Graphen G fa? 4. Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2x 3 + 9x x + 5 und der Definitionsmenge R. Bestimmen Sie Art und Lage aller Extremwerte und aller Wendepunkte. Vergessen Sie nicht zu zeigen, dass es sich auch wirklich um Extremwerte bzw. Wendepunkte handelt. 5. Gegeben sei die Funktion g(x) = 1 10 x x4 3 mit D = R. (a) Untersuchen Sie das Verhalten von g für x! (b) Bestimmen Sie Art und Lage möglicher Extrema von g! (c) Bestimmen Sie Art und Lage möglicher Wendepunkte von g! (d) Wieviele Wendepunkte kann der Graph einer ganzrationalen Funktion 5. Grades (d.h. der höchste Exponent von x, der im Funktionsterm vorkommt, ist 5) höchstens haben? (Begründung!!!) (e) Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von g im Punkt W ( 1,5/?) auf! Berechnen Sie g(2) und skizzieren Sie den Graphen von g unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse! 6. Welche Bedingung muss für b R gelten, damit h b (x) = 1,5x 4 + bx 2 mit D = R keinen Wendepunkt besitzt? 7. Gegeben seien die Funktionen f(x) = 1 3 (x4 + 4x 3 + 5x 2 3r 2 ) und g(x) = 1 x (x 3k)2 3k Berechnen Sie f (x), g (x) und g (x) und vereinfachen Sie die Terme jeweils soweit wie möglich! 8. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 3x über der Definitionsmenge D = R (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f! (b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extremwerte von f! (c) Überprüfen Sie, ob Wendepunkte existieren und bestimmen Sie gegebenfalls deren Lage! (d) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten t an den Graphen von f im Punkt (1/?)! (e) Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und unter Berechnung einiger Funktionswerte den Graphen von f für x [ 1; 3]! Tragen Sie auch die Tangent in die Zeichnung ein! Hinweis: Zeichnen Sie zuerst die Tangente! 16

17 9. Gegeben ist die Funktion f a (x) = 1 3 x3 ax 2 3x mit D = R und a R. (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f a in Abhängigkeit von a! (b) Bestimmen Sie nun a so, dass sich bei x 0 berechnen Sie dessen Koordinaten! Für alle weiteren Teilaufgaben ist nun a = 1. (c) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrema! (d) In welchem Bereich ist f 1 (x) monoton fallend? = 1 ein Wendepunkt befindet und (e) In welchen Punkten sind die Tangenten an den Graph von f 1 (x) zur Geraden y = 3x + 4 parallel? (f) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente g im Wendepunkt! (g) Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und mit einigen weiteren, passend gewählten Funktionswerten die Funktionen f 1 und g für 5 x 3! Hinweis: Längeneinheit 1 cm; y-achse: 5 y Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 10 (x4 + ax 3 ) mit der Definitionsmenge D = R. (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen sowie Art und Lage aller Extremwerte von f in Abhängigkeit von a! (b) Zeichnen Sie G f4 für 4 x 2 (c) Der Graph der Parabel p schneidet G f4 im Koordinatenursprung und im Punkt Q( 4/0). Der Scheitel S des Graphen G p hat die y Koordinate y s = 3. Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x) und zeichnen Sie die Parabel in das Koordinatensystem ein! (Ergebnis: p(x) = 3 4 (x2 + 4x)) 11. Die Parabel p(x) schneidet f im Koordinatenursprung und im Punkt Q( 4/0). Der Scheitel S des Graphen G p hat die y Koordinate y s = 3. (a) Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x)! Ergebnis: p(x) = 3 4 (x2 + 4x) (b) Zeichnen Sie die Parabel in das Koordinatensystem zur Aufgabe 1 ein! (c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche des endlichen Flächenstücks, das die Graphen G f und G p miteinander einschließen! 12. Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f t (x) = 1 t x3 + 2x 2 + tx mit D = R. (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f t (x) in Abhängigkeit von t! (b) Bestimmen Sie Art und Lage aller Extremwerte in Abhängigkeit von t! (c) Untersuchen Sie f t (x) auf Wendepunkte und berechnen Sie gegebenfalls dessen Koordinaten! Es ist nun f(x) = 1 3 x3 + 2x 2 + 3x, also t = 3. (d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente g im Wendepunkt! (e) Zeichnen Sie g und f für 4,5 x 0,5 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse! (Hinweis: Zeichnen Sie zuerst g) 17

18 13. Der Graph G f der ganzrationalen Funktion vierten Grades f : x f(x) verläuft achsensymmetrisch zur y-achse. Der Punkt W (1/?) ist ein Wendepunkt dieses Graphen, die Gleichung der Wendetangente lautet y = 4 3 x 4. (a) Ermitteln Sie den Funktionsterm von f(x)! (Ergebnis: f(x) = 1 6 x4 x ) (b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f mit ihren Vielfachheiten! (c) Bestimmen Sie Art und Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen G f! (d) Bestimmen Sie die größtmöglichen Intervalle, in denen der Graph G f linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt ist! (e) Skizzieren Sie G f aufgrund der bisherigen Ergebnisse! (f) Berechnen Sie die Größe der Fläche für das endliche Flächenstück, das der Graph G f mit der x-achse einschließt! 14. Gegeben seien die Funktionen f k mit f k (x) = 1 4 (x2 + kx + 2x + 4)(x 2) mit k R. Der Graph von f k heißt G k. (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen (mit Vielfachheiten) von f k in Abhängigkeit von k. (b) Berechnen Sie nun k so, dass die Funktion f k bei x 2 = 2 eine doppelte Nullstelle besitzt. Für alle weiteren Teilaufgaben ist nun k = 2. (c) Berechnen Sie Art und Lage aller Extrempunkte von G 2 (d) Zeichnen Sie G 2 für 4 x 2,5. Verwenden Sie dazu die bisherigen Ergebnisse und berechnen Sie zusätzlich die Funktionswerte f 2 ( 4), f 2 (0) und f 2 (2,5). (e) Der Graph G 2 besitzt zwei Tangenten t 1 und t 2, die parallel zur Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten verlaufen. Die Berührpunkte dieser Tangenten mit G 2 heißen B 1 und B 2. Ermitteln Sie die Koordinaten von B 1 und B 2 sowie die Gleichungen der beiden Tangenten. 4.3 Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen 1. Gegeben seien die Funktionen f a mit der Definitionsmenge D = R\{1} und f a (x) = x2 + ax + 3a x 1 mit a R. (a) Bestimmen Sie a so, dass f a dann eine stetig hebbare Definitionslücke hat. Vereinfachen Sie für dieses a den Funktionsterm soweit wie möglich. Für die weiteren Teilaufgaben sei nun a = 2. 18

19 (b) Untersuchen Sie f 2 auf Nullstellen. (c) Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen G 2. (d) Fertigen Sie eine saubere Skizze des Graphen G Gegeben seien die Funktionen f k mit k R + und der Funktionsgleichung f k (x) = kx + k (kx 1) 2 (a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D k, die Art der Definitionslücke, das Verhalten der Funktionswerte in der Umgebung der Definitionslücke und die Gleichungen aller Asymptoten von G fk. (b) Untersuchen Sie f k auf lokale( Extrema und geben Sie vorhandene Extremstellen (y-werte sind nicht nötig) an. Zwischenergebnis: f (x) = (c) Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten von G k. Setzen Sie nun für die weiteren Aufgaben k = 0,5. ) 6k3 (kx 1) 4 (d) Vervollständigen Sie die Wertetabelle und zeichnen Sie G 0,5 mit den Asymptoten. Geben Sie auch die Koordinaten des Extremwertes an. x f 0,5 (x) -1,42 0,5 2,5 3,5 2,7 (e) Der Graph G 0,5 schließt mit der x Achse und den Geraden x = 3 und x = a > 3 eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Maßzahl A(a). 4.4 Extremwertaufgaben 1. Von einem rechteckigen Stück Blech mit den Seitenlängen a = 5 cm und b = 8 cm werden an den 4 Ecken Quadrate herausgeschnitten und die Randstücke nach oben gebogen. Dadurch entsteht eine quaderförmige Dose ohne Deckel. (a) Zeigen Sie, dass für das Volumen dieser Dose V (x) = 4x 3 26x 2 +40x gilt und geben Sie die sinnvolle und maximale Definitionsmenge D V an. Dabei ist x die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate. (b) Bestimmen Sie x m so, dass die Dose für dieses x m ihr absolut größtes Volumen annimmt. 2. Ein Kleintierzüchter hat 15 m Maschendrahtzaun zur Verfügung, um hinter seinem Haus einen Auslauf für Hühner abzugrenzen. Eine Seite des Auslaufs soll durch das Haus begrenzt sein (dieses ist lang genug). Wie muss der Maschendrahtzaun verwendet werden, damit eine maximale rechteckige Grundfläche entsteht? Wie groß ist der maximale Flächeninhalt? Fertigen Sie zuerst eine Skizze! 19

20 3. Ein Bauer hat 50 m Maschendrahtzaun zur Verfügung, um vor seinem Haus der Länge 10 m eine Hoffläche für Gänse abzugrenzen. Senkrecht zum Haus befindet sich ein Stallgebäude, das an einer Hausecke senkrecht zum Haus angebaut ist und eine Mauerfront der Länge 4 m hat. Es sollen jeweils die ganzen Mauerlängen der Gebäude ausgenutzt werden. Wie muss man den Maschendrahtzaun verwenden, damit eine rechteckige, möglichst große Fläche entsteht? Wie groß ist der maximale Flächeninhalt? Zeichnen Sie zuerst eine Skizze! 4. Ein Torbogen hat die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel, die bei 2 3 und 2 3 durch die x Achse geht (Einheit 1 m). Er soll so vermauert werden, dass ein rechteckiges Einfahrtstor mit möglichst großer Querschnittsfläche entsteht. Für welche Abmessungen hat das rechteckige Tor maximalen Querschnitt? Wie groß ist dieser Querschnitt? Fertigen Sie zuerst eine saubere Skizze! 5. Ein Torbogen hat die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel, die bei 2 3 und 2 3 durch die x Achse geht (Einheit 1 m). Er soll so vermauert werden, dass ein rechteckiges Einfahrtstor mit möglichst großer Querschnittsfläche entsteht. Es sollen nun die Abmessungen des rechteckigen Tores berechnet werden. (a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung t(x) des Torbogens! (b) Zeigen Sie, dass für die Funktion A(x) des rechteckigen Flächeninhaltes A(x) = 24x 2x 3 gilt und bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von A! (Achten Sie auf sinnvolle Flächenmaße!) (c) Berechnen Sie den Wert x 0, für den das Tor möglichst großen Flächeninhalt hat und bestimmen Sie auch den maximalen Flächeninhalt A max 6. Ein unterirdischer Abwasserkanal hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit oben angesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts ist mit Rücksicht auf das Baumaterial durch U = 10 (m) fest gegeben. Berechnen Sie die Maße des Kanals so, dass der Querschnitt maximal wird! (Zwischenergebnis: A(r) = 10r 1 2 (4 + π)r2 ) 7. Berechnen Sie die Maße einer zylindrischen Regentonne ohne Deckel mit einem Fassungsvermögen von 120 Liter so, dass die Tonne möglichst leicht wird. (Der Materialaufwand soll also minimal sein.) Zeigen Sie zuerst, dass O(r) = r 2 π + 2V gilt! r 5 Integralrechnung 1. Bestimmen Sie die Größe der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen f(x) = 1 2 (x + 2)2 4 und g(x) = (x 1) eingeschlossen wird! 2. Bestimmen Sie die Größe der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen f(x) = 1 2 (x 2)2 + 6 und g(x) = (x + 1) 2 3 eingeschlossen wird! 3. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen g und h mit g : x 1 2 x und h : x 1 2 x2 2x 20

21 eingeschlossen werden. Fertigen Sie zuerst eine saubere Zeichnung. 4. Die erste Ableitung einer Funktion f lautet f : x 2 3 x. Bestimmen Sie den Funktionsterm von f so, dass G f und die Gerade mit der Gleichung x = 6 im 1. Quadranten eine Fläche A = 30 FE einschließen. 6 Logarithmus-Funktion 1. Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = ln x+1 2 x und der maximalen Definitionsmenge D f. (a) Bestimmen Sie D f. (b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f. (c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f. (Mögliches Zwischenergebnis: f (x) = 3 x 2 +x+2 (d) Bestimmen Sie zur Funktion F mit F (x) = (1 + x) ln (1 + x) + (2 x) ln (2 x) den maximalen Definitionsbereich D F und zeigen Sie, dass F eine Stammfunktion zu f ist. 7 Exponentialfunktion 1. Gegeben seien die Funktionen f k mit f k (x) = (k x) e x k mit k R\{0}. Der Graph von f k heißt G k. (a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von G k mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von k und die Grenzwerte f k (x) für x ±. (b) Berechnen Sie Art und Lage des Extrempunktes und des Wendepunktes von G k in Abhängigkeit von k. (Zwischenergebnis: f k x+k (x) = e x/k ) k 2 (c) Zeigen Sie, dass für alle k R\{0} die Wendetangente und die Tangente an der Nullstelle an G k aufeinander senkrecht stehen. (Die Gleichungen der Tangenten sind nicht verlangt!!!) Es sei nun für alle weiteren Teilaufgaben k = 3. (d) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G f3 und geben Sie den Wendepunkt an. (e) Zeichnen Sie G f3 für 9 x 4 unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und einiger weiterer Punkte (Wertetabelle anlegen!) in ein Koordinatensystem ein. (f) Zeigen Sie, dass F (x) = 3 (6 x) e x/3 eine Stammfunktion von f 3 ist. (g) A 1 und A 2 seien die Flächen, die G f3 und die x-achse im 1. Quadranten bzw. im 2. Quadranten einschließen. Markieren Sie diese Flächen in der Zeichnung und berechnen sie jeweils die Maßzahl. 21