1 Ein Wachstumsprozess wird durch die Funktion f mit

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1 Mahemaik anwenden Ich kann koninuierliche unbegrenze, begrenze und logisische Zu- und bnahmeprozesse mihilfe von Exponenialfunkionen beschreiben, ufgaben dazu mi Technologie lösen und die Ergebnisse inerpreieren., 1 Ein Wachsumsprozess wird durch die Funkion f mi a. eschreibe, um welches Wachsumsmodell es sich hier handel. 200 f(x) = beschrieben. x 15 0,85 b. Enscheide und kreuze an, welche der bbildungen bis E den richigen Funkionsgraphen von f darsell. E,, 2 ie Zahlen a, b und c sind posiive reelle Zahlen, wobei 0 < c < 1 gil. Ergänze jede ussage so, dass sie richig is. ie Funkion f mi beschreib f() = a + b ie Funkion f mi f() = a ( 1 b c ) beschreib einen linearen Wachsumsprozess, wobei a den esand zum Zeipunk 0 angib. einen beschränken Wachsumsprozess, wobei a den esand zum Zeipunk 0 angib. einen linearen Wachsumsprozess, wobei a die Kapaziäsgrenze angib. einen beschränken Wachsumsprozess, wobei a die Kapaziäsgrenze angib. 3 ie Zahlen a, b und c sind posiive reelle Zahlen, wobei 0 < b < 1 und c > 1 gil. Ergänze jede ussage so, dass sie richig is. ie Funkion f mi beschreib ie Funkion f mi beschreib a f() = c b f() = a c einen exponeniellen Wachsumsprozess, wobei a die Kapaziäsgrenze angib. einen exponeniellen Wachsumsprozess, wobei a die Menge zum Zeipunk 0 angib. einen logisischen Wachsumsprozess, wobei a die Kapaziäsgrenze angib. einen logisischen Wachsumsprozess, wobei a die Menge zum Zeipunk 0 angib. Öserreichischer undesverlag Schulbuch GmbH & o. KG, Wien Mahemaik lle Reche vorbehalen. Von dieser ruckvorlage is die Vervielfäligung für den eigenen Unerrichsgebrauch gesae. uorin: eina Ponleiner

2 Mahemaik anwenden Ich kann koninuierliche unbegrenze, begrenze und logisische Zu- und bnahmeprozesse mihilfe von Exponenialfunkionen beschreiben, ufgaben dazu mi Technologie lösen und die Ergebnisse inerpreieren., 4 Eine neu enwickele Handy-pp wird am ersen Tag ( = 0) von 80 Personen herunergeladen, nach 3 Wochen ha die pp bereis 1560 Userinnen und User. as Markpoenial für diese pp wird auf 2,5 Million ownloads geschäz. Man nimm an, dass die ownload-zahlen bis zur Woche durch eine logisische Wachsumsfunkion mi K () = beschrieben werden können. a. Skizziere den charakerisischen Verlauf einer logisischen Wachsumsfunkion und kennzeichne auf dieser Skizze den nfangswer sowie die Kapaziäsgrenze. b. Ermile die Koeffizienen K, c und a dieser Funkion. Runde a dabei auf zwei Nachkommasellen. c. erechne, wie viele Userinnen und User die pp voraussichlich nach 10 Wochen herunergeladen haben werden. d. erechne, nach wie vielen Wochen die pp von 2 Millionen Userinnen und Usern verwende wird.,,,,,, 5 n einem Monag um 8:00 Uhr früh wird in einer Schule ein Gerüch in die Wel gesez. Zu eginn wissen 3 Personen davon. Um 9:00 Uhr wissen bereis 22 Schülerinnen und Schüler von diesem Gerüch. ie Schule wird von 564 Schülern und Schülerinnen besuch. ie nzahl N() an Schülerinnen und Schüler, die das Gerüch nach insgesam Sunden gehör haben, kann durch eine Funkion N mi N() = K 1 beschrieben werden. ( ) a. Ermile die Koeffizienen K, c und a dieser Funkion und gib an, um welche Form des Wachsums es sich hier handel. b. erechne, wie viele Schülerinnen und Schüler das Gerüch um 14 Uhr bereis gehör haben. c. Selle die Funkion graphisch dar und ennimm deiner Zeichnung, nach wie vielen Sunden 300 Personen das Gerüch gehör haben. d. Überlege und argumeniere, welche Einschränkungen das heoreische Modell in der Praxis haben könne. 6 In einem Teich leb eine besimme Fischgaung. ufgrund der begrenzen Ressourcen wie Fuer, Sauersoff und Plaz, die der Teich biee, is die maximale Größe der Fischpopulaion mi 1800 Fischen beschränk. Zu eginn des eobachungszeiraums leben 480 Fische in diesem Teich, nach einem 13 Monaen werden 600 Fische gezähl. ie nzahl F() der nach Monaen im Teich lebenden Fische kann F() = K 1 beschrieben werden. durch eine Funkion F mi ( ) a. Ermile die Koeffizienen K, c und a dieser Funkion und gib an, um welche Form des Wachsums es sich hier handel. Runde a dabei auf vier Nachkommasellen. b. Selle die Funkion graphisch dar. c. erechne, nach wie vielen Monaen die Hälfe der Maximalkapaziä erreich wird. d. erechne, wie viele Fische nach 3 Jahren voraussichlich im Teich leben werden. 7 Ein Mielsreckenläufer benöig zu eginn einer inensiven Trainingsperiode 4:40 Minuen (das heiß 4 Minuen 40 Sekunden) für 1500m. Im Laufe des Trainings verbesser er seine Laufleisung koninuierlich. Nach fünf Wochen inensiven Trainings benöig er nur noch 4:30 Minuen. Ein sporwissenschafliches Modell geh davon aus, dass die Geschwindigkei V eines Mielsreckenläufers zum Zeipunk mi einer 5,80 logisischen Funkion V() mi V() = (in m/s) beschrieben werden kann. Runde bei deinen erechnungen alle Geschwindigkeien auf zwei Nachkommasellen. a. Ermile die Koeffizienen c und a dieser Funkion. Runde dabei c und a jeweils auf drei Nachkommasellen. b. Gib an, von welcher maximalen Laufgeschwindigkei dieses Modell ausgeh und welche heoreische esleisung (= Laufzei) der Mielsreckenläufer daher erzielen kann. c. er Trainingszyklus des Läufers dauer insgesam 10 Wochen. erechne, welche Laufgeschwindigkei das Modell für das Ende des Trainingszyklus prognosizier. d. rgumeniere anhand des Modells, ob der Läufer am Ende des Trainingszyklus (heoreisch) in der Lage wäre, ein Wekampflimi von 4:23 Minuen für 1500m zu unerbieen. Öserreichischer undesverlag Schulbuch GmbH & o. KG, Wien Mahemaik lle Reche vorbehalen. Von dieser ruckvorlage is die Vervielfäligung für den eigenen Unerrichsgebrauch gesae. uorin: eina Ponleiner

3 Mahemaik anwenden Ich kann koninuierliche unbegrenze, begrenze und logisische Zu- und bnahmeprozesse mihilfe von Exponenialfunkionen beschreiben, ufgaben dazu mi Technologie lösen und die Ergebnisse inerpreieren. 8 Enscheide und kreuze an, welche der nworen bis E korrek is. Logisisches Wachsum verläuf zu eginn annähernd logarihmisch. eschränkes Wachsum verläuf zu eginn annähernd linear. Gebremses Wachsum verläuf anfangs annähernd exponeniell. Lineares Wachsum wird von einer Kapaziäsgrenze beschränk. E Exponenielles Wachsum verläuf anfangs annähernd linear. 9 Ergänze jede ussage so, dass sie richig is. Ein Wachsum, das zu eginn linear verläuf, sich vor Erreichen einer Kapaziäsgrenze aber langsam einbrems, nenn man Ein Wachsum, das zu eginn exponeniell verläuf, sich vor Erreichen einer Kapaziäsgrenze aber langsam einbrems, nenn man logisisches Wachsum. beschränkes Wachsum. logarihmisches Wachsum. exisenielles Wachsum. Öserreichischer undesverlag Schulbuch GmbH & o. KG, Wien Mahemaik lle Reche vorbehalen. Von dieser ruckvorlage is die Vervielfäligung für den eigenen Unerrichsgebrauch gesae. uorin: eina Ponleiner

4 Mahemaik anwenden Lösungen zu: Ich kann koninuierliche unbegrenze, begrenze und logisische Zu- und bnahmeprozesse mihilfe von Exponenialfunkionen beschreiben, ufgaben dazu mi Technologie lösen und die Ergebnisse inerpreieren. 1 a. logisisches Wachsumsmodell b. bbildung 2 3 ie Funkion f mi beschreib f() = a + b ie Funkion f mi f() = a ( 1 b c ) beschreib ie Funkion f mi beschreib a f() = c b ie Funkion f mi f() = a c beschreib 4 a. Skizze einer logisischen Funkion f() b. K = , c = a = 0, ,37; () = ,37 5 a. c. (10) = User d. nach ca. 12 Wochen ( = 11,80 ) K = 564, c = a = ; N() = ; Es handel sich um ein Modell für beschränkes Wachsum. b. um 14:00 Uhr, d.h. nach 6 Sunden: N(6) 108 Personen (107,77 ) c. nach ca. 22 Sunden Öserreichischer undesverlag Schulbuch GmbH & o. KG, Wien Mahemaik lle Reche vorbehalen. Von dieser ruckvorlage is die Vervielfäligung für den eigenen Unerrichsgebrauch gesae. uorin: eina Ponleiner

5 Mahemaik anwenden Lösungen zu: Ich kann koninuierliche unbegrenze, begrenze und logisische Zu- und bnahmeprozesse mihilfe von Exponenialfunkionen beschreiben, ufgaben dazu mi Technologie lösen und die Ergebnisse inerpreieren. d. Einschränkungen in der Praxis: ie Obergrenze wird im Modell nie erreich, sondern, die Funkion näher sich nur beliebig nahe der Obergrenze an. In der Realiä werden aber irgendwann alle Schülerinnen und Schüler vom Gerüch gehör haben. as Modell geh davon aus, dass das Gerüch permanen weiererzähl wird. In der Realiä wird aber in der Nach vermulich niemand das Gerüch weiererzählen a. K = 1800, c = a 0,9927; F() = ,9927 ; Es handel sich um ein Modell für beschränkes Wachsum. b. c. Hälfe der Maximalkapaziä = 900 Fische; nach ca. 4 Jahren 4 Monaen ( = 52,2 Monae) d. 3 Jahre = 36 Monae; F(36) = 786 Fische 7 a. c 0,082 a = 0, ,880; 5,80 F( ) = 0,082 0,880 b. angenommene maximale Laufgeschwindigkei: 5,80 m/s; iese Geschwindigkei ensprich einer heoreischen esleisung von 4:18,62 Minuen für 1500 m. c. V(10) = 5,67 m/s d. ie prognosiziere Laufgeschwindigkei am Ende des Trainingszyklus beräg 5,67 m/s. as ensprich einer Laufzei von 4:24,55 Minuen über 1500m. Voraussichlich wird der Läufer daher das Wekampflimi von 4:23 Minuen am Ende dieses Trainingszyklus nich unerbieen können. Öserreichischer undesverlag Schulbuch GmbH & o. KG, Wien Mahemaik lle Reche vorbehalen. Von dieser ruckvorlage is die Vervielfäligung für den eigenen Unerrichsgebrauch gesae. uorin: eina Ponleiner

6 Mahemaik anwenden Lösungen zu: Ich kann koninuierliche unbegrenze, begrenze und logisische Zu- und bnahmeprozesse mihilfe von Exponenialfunkionen beschreiben, ufgaben dazu mi Technologie lösen und die Ergebnisse inerpreieren. 8 eschränkes Wachsum verläuf zu eginn annähernd linear. 9 Ein Wachsum, das zu eginn linear verläuf, sich vor Erreichen einer Kapaziäsgrenze aber langsam einbrems, nenn man Ein Wachsum, das zu eginn exponeniell verläuf, sich vor Erreichen einer Kapaziäsgrenze aber langsam einbrems, nenn man Öserreichischer undesverlag Schulbuch GmbH & o. KG, Wien Mahemaik lle Reche vorbehalen. Von dieser ruckvorlage is die Vervielfäligung für den eigenen Unerrichsgebrauch gesae. uorin: eina Ponleiner