VIII.2 Bestimmung des Potentials aus der Poisson-Gleichung

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1 13 Elektrostatik III.2 Bestimmung des Potentials aus der Poisson-Gleichung Im III.1.3 wurde das elektrostatische Potential erzeugt durch eine Ladungsverteilung (III.12a mithilfe des Gauß schen Gesetzes hergeleitet. Eine alternative orgehensweise zur Bestimmung von Φ( r besteht darin, die Poisson-Gleichung Φ( r = ρ el.( r (III.4 direkt zu lösen. In diesem Abschnitt werden einige allgemeinen (38 mathematischen Rezepte und Ergebnisse zur Lösung dieser Differentialgleichung vorgestellt. III.2.1 Green sche Funktionen Die Poisson-Gleichung (III.4 ist ein Beispiel von partieller Differentialgleichung, hier zweiter Ordnung. Definition: Eine Funktion G( r, r zweier vektoriellen ariablen r, r heißt Green sche (y Funktion zur Poisson-Gleichung, wenn sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung r G( r, r = δ (3 ( r r (III.18 ist, mit r dem Laplace-Operator bezüglich der ariablen r. Aus einer solchen Lösung der Gl. (III.18 folgt eine Lösung der Poisson-Gleichung (III.4 mit fast jedem beliebigen rechten Glied, und zwar Φ( r = 1 G( r, r ρ el. ( r d 3 r, (III.19 unter der offensichtlichen Beschränkung, dass das Integral existieren soll. Wendet man nämlich den Laplace-Operator r auf das so definierten Potential an, so kann der Differentialoperator in das Integral über r eingezogen werden: r Φ( r = 1 [ rg( r, r ] ρ el.( r d 3 r, Unter erwendung der definierenden Gleichung (III.18 wird das Integral zur Faltung von der δ (3 -Distribution mit der Ladungsdichte ρ el., so dass sich die rechte Seite zu ρ el. ( r/ vereinfacht. Bemerkung: Im obigen Beweis wurde die spezifische Form des Laplace-Operators nirgendwo benutzt. Somit können Green sche Funktionen auch für andere Differentialoperatoren, d.h. andere Differentialgleichungen, eingeführt werden, als Antwort zur lokalisierten Anregung modelliert durch eine δ-distribution. III.2.2 Lösung der Poisson-Gleichung auf R 3 Die Poisson- (III.4 und Laplace-Gleichung (III.5 wurden durch Mathematiker aufwändig untersucht, woraus eine Menge Resultate zur Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen resultiert. In diesem und im nächsten Paragraphen werden einige dieser Ergebnisse kurz dargestellt. Betrachte man zuerst die Poisson-Gleichung, und daher die assoziierte partielle Differentialgleichung (III.18, auf dem ganzen dreidimensionalen Raum R 3. Dann lautet eine Green sche Funktion zur Poisson-Gleichung G( r, r 1 = 4π r r. (III.2 (38 Das heißt, dass sie auch auf andere Differentialgleichungen anwendbar sind. (y G. Green,

2 III.2 Bestimmung des Potentials aus der Poisson-Gleichung 131 Beweis: Sei R r r und R R ; dann gilt dank der Kettenregel r = R. Da die Funktion (III.2 ein Pol für r = r bzw. R = hat, wird erstens eine regularisierte ersion ( G ε R 1 4π R 2 + ε 2 ohne Divergenz im Ursprungspunkt eingeführt, wobei ε am Ende der Berechnung gegen Null zu nehmen ist. Die Funktion G ε hängt nur vom Betrag R abhängt, so dass im Raum der ariablen R kugelsymmetrisch um den Nullpunkt ist. Demzufolge ist es interessant, in Kugelkoordinaten (R, θ R, ϕ R zu arbeiten, wobei das Problem unabhängig von den zwei Winkeln θ R, ϕ R ist. Daher vereinfacht sich der Laplace-Operator R zu 2 R R R ohne den üblichen winkelabhängigen Anteil. Wendet man diesen Operator auf G ε an, so ergibt sich dank einfacher Ableitungen R G ε = 3ε 2 4π 1 (R 2 + ε 2 5/2. Die Funktion im rechten Glied sei mit δ ε (3 ( R (3 bezeichnet. Für festes ε besitzt δ ε die folgenden Eigenschaften: ( δ (3 R ε 3ε 4π für R ε ; δ ε (3 ( = 3 4π ε ; sei a > ; dann gilt R a δ (3 ε δ (3 R a ε d 3 R = a d 3 R = [ δ (3 ε R 3 (R 2 + ε 2 3/2 4πR 2 dr = a ] a = a 3 (a 2 + ε 2 3/2. 3R 2 ε 2 dr, d.h. (R 2 + ε 2 5/2 Betrachte man jetzt den Grenzwert ε. Laut der ersten Eigenschaft gilt in diesem Limes lim δ ε (3 ( R = für R. Somit wird der Peak bei R = (zweite Eigenschaft unendlich schmal und hoch. Schließlich geht das Integral von δ ε (3 über eine Kugel mit Radius a gegen 1, unabhängig von der Wahl von a. Diese Eigenschaften zeigen, dass δ ε (3 eine Darstellung der dreidimensionalen δ-distribution ist, entsprechend dem nachzuprüfenden Ergebnis. (39 Setzt man jetzt die Green sche Funktion (III.2 in die Beziehung (III.19 ein, so ergibt sich genau das elektrostatische Skalarpotential (III.12a ρ el. ( r Φ( r = R 3 4π r r d3 r. (III.21 Dabei wird die vorsichtige Beschränkung des III.1.3 c auf Punkten r, die nicht zum durch die Ladungsverteilung besetzten Raumvolumen gehören, jetzt automatisch aufgehoben. Ein Problem bei der Konstruktion des elektrischen Potentials aus der Poisson-Gleichung besteht darin, dass die Funktion (III.2 nicht die einzige Green sche Funktion zur Poisson-Gleichung auf R 3 ist. Betrachtet man nämlich eine Lösung F der Laplace-Gleichung eine harmonische Funktion auf R 3, so ist G 2 ( r, r G( r, r + F ( r r auch eine mögliche Green sche Funktion. In der Tat gilt r G 2 ( r, r = r G( r, r + r F ( r r = δ (3 ( r r +. (39 Die Funktion (III.2 kann auch direkt gefunden werden, indem die definierende Differentialgleichung (III.18 im Fourier-Raum aufgestellt wird.

3 132 Elektrostatik Da es unendlich viele harmonische Funktionen auf R 3, beispielsweise jede lineare Funktion der Form F ( r = ax 1 + bx 2 + cx 3, gibt es auch unendlich viele Green sche Funktionen. Einzigartig bei der Funktion (III.2 unter den Green schen Funktionen zur Poisson-Gleichung ist aber, dass sie im Unendlichen r r Null wird. Dementsprechend verschwindet das Potential (III.21 weit von der Ladungsverteilung (wenn die letztere nur ein endliches Raumgebiet besetzt. Genauer kann man zeigen, dass die einzigen harmonischen Funktionen auf R 3 und allgemeiner auf R n für jede n N, die überall endlich bleiben, die identisch konstanten Funktion sind. Bemerkung: Addiert man zur Funktion (III.2 eine Konstante K R, so unterscheidet sich das aus Gl. (III.19 resultierende Potential von dem Wert (III.21 um eine additive Konstante das Produkt aus K und der Gesamtladung der erteilung geteilt durch, die nichts am elektrischen Feld ändert. III.2.3 Lösung der Poisson-Gleichung auf einem endlichen Gebiet von R 3 III.2.3 a Mathematische Fragestellung und Ergebnisse Anstatt einer Lösung der Poisson-Gleichung auf dem ganzen Raum kann man auch eine Lösung auf einem endlichen Gebiet von R 3 suchen entsprechend z.b. dem elektrostatischen Potential in einem leeren Hohlraum im Inneren von Materie. Ist die letztere irgendein Metall, in welchem frei bewegliche elektrische Ladungsträger vorhanden sind, so können sich solche Ladungen möglicherweise auf der Oberfläche des Bereichs befinden: dann dienen diese Ladungen als Quellen für das elektrische Skalarpotential im Hohlraum Abbildung III.1 Meistens wird die entsprechende (OberflächenLadungsdichte nicht explizit präzisiert. Stattdessen werden in der mathematischen Formulierung Randbedingungen für das zu festzustellende Potential Φ( r vorgegeben, entsprechend seinem erhalten auf der Oberfläche, das physikalisch von außen gesteuert wird. Dazu wird oft angenommen, dass im Hohlraum akuum herrscht, so dass sich die Poisson-Gleichung auf die Laplace-Gleichung Φ( r = vereinfacht. Bei der Fragestellung handelt es sich dann um ein sog. Randwertproblem. Ein solches mathematisches Randwertproblem ist für physikalische Anwendungen nur dann nützlich, wenn es wohlgestellt ist. Dies bedeutet, dass das Problem eine Lösung hat, die eindeutig ist möglicherweise bis auf eine additive Konstante und stetig von den vorgegebenen Randbedingungen abhängt. Bei der Poisson-Gleichung ist es insbesondere der Fall für zwei einfache Arten von Randbedingungen:

4 III.2 Bestimmung des Potentials aus der Poisson-Gleichung 133 bei Dirichlet (z -Randbedingungen (oder Randbedingungen erster Art werden die Werte des Potentials Φ( r oder allgemeiner der zu bestimmenden Funktion an der Oberfläche vorgeschrieben; bei Neumann (aa -Randbedingungen (oder Randbedingungen zweiter Art wird die Normalenableitung n Φ( r vorgegeben, wobei die letztere die Änderungsrate in der Richtung senkrecht zur Oberfläche ist. Diese Ableitung lässt sich auch als e n ( r Φ( r schreiben, mit e n ( r den Normaleinheitsvektor zur Oberfläche im Punkt r. Stimmt die Oberfläche lokal mit der (x 1, x 2 -Ebene überein, so ist der lokale Normaleinheitsvektor e 3, d.h. e n Φ ist gleich Φ/ x 3, was auch mit 3 Φ bezeichnet wird. Bemerkung: Im Fall von Neumann-Bedingungen ist die orschrift von n Φ( r auf äuivalent zur Angabe der normalen Komponente des elektrischen Feldes E( r = Φ( r in jedem Punkt der Oberfläche. Die Existenz einer Lösung der Poisson-Gleichung auf und ihre stetige Abhängigkeit von den Randbedingungen sind im allgemeinen Fall nicht trivial zu zeigen. Dagegen ist der Beweis der Eindeutigkeit bis auf eine additive Konstante ziemlich einfach. Dieser Beweis macht die sog. erste Green sche Identität, gültig für zwei (zweimal differenzierbare reellwertige Funktionen f 1, f 2 [ f1 ( r f 2 ( r + f 1 ( r f 2 ( r ] d 3 r = f 1 ( r n f 2 ( r d 2 S (III.22 zu Nutze. Beweis: Die Kettenregel gibt (f 1 f2 = f 1 f 2 + f 1 f 2, d.h. nach Integration und Anwendung des Gauß schen Integralsatzes [ f1 f ] 2 + f 1 f 2 d 3 r = (f 1 f2 d 3 r = f 1 f2 d 2 S. Dabei ist das vektorielle Oberflächenelement d 2 S gleich d 2 S e n, woraus die Identität folgt. Sind Φ 1, Φ 2 nämlich zwei Lösungen der Poisson-Gleichung auf mit beliebiger rechter Seite und gegebenen Dirichlet- bzw. Neumann-Randbedingungen, dann ist ihre Differenz U Φ 2 Φ 1 eine Lösung der Laplace-Gleichung U( r = für r, mit verschwindenden Dirichlet- bzw. Neumann-Randbedingungen U( r = bzw. n U( r = für r. Die erste Green sche Identität mit f 1 = f 2 = U lautet dann [ ] U( r U( r + U( r U( r d 3 r = U( r n U( r d 2 S. Das Integrand auf der rechten Seite, und daher das Integral, verschwindet wegen der Randbedingungen. Wiederum ist der zweite Term in den eckigen Klammern auf der linken Seite ebenfalls Null, denn U erfüllt die Laplace-Gleichung. Deshalb bleibt nur [ ] U( r 2 d 3 r = übrig, was nur dann möglich ist, wenn U( r identisch auf verschwindet, d.h. wenn U( r konstant auf ist: U( r = K, wobei K = falls Dirichlet-Bedingungen vorgegeben sind. Somit unterscheiden sich Φ 1 und Φ 2 nur um eine additive Konstante. (z P. G. Lejeune Dirichlet, (aa C. Neumann,

5 134 Elektrostatik III.2.3 b Physikalische Anwendungen Faraday Käfig Als erste Anwendung der obigen mathematischen Ergebnisse kann man das elektrische Feld in einem leeren Hohlraum innerhalb einer metallischen Oberfläche bestimmen. Da metallisch ist, können sich darauf freie Ladungsträger befinden. Im statischen Fall dürfen sie diese Ladungen definitionsgemäß nicht bewegen. Demzufolge darf kein elektrisches Feld in der Metallfläche vorhanden sein, E = Φ = auf, so dass das Skalarpotential Φ dort konstant ist: Φ( r = Φ für r. Dies stellt eine Dirichlet-Randbedingung für das elektrostatische Potential im Hohlraum dar. Dort soll Φ wegen der Abwesenheit von Ladungen Lösung der Laplace-Gleichung Φ( r = sein. Eine Lösung, die auch die Randbedingung erfüllt, ist einfach die konstante Funktion Φ( r = Φ für r. Wegen der Eindeutigkeit ist dies in der Tat die einzige Lösung. Daraus folgt dann E = Φ = im Hohlraum, der als Faraday-Käfig bezeichnet wird. Spiegelladungsmethode Basierend auf die Eindeutigkeit der Lösung der Poisson-Gleichung für vorgegebene Dirichlet- Randbedingungen lässt sich eine andere Methode zur Lösung der Poisson-Gleichung in einem Gebiet von R 3 formulieren. Sei ein zu lösendes Problem P 1, bei dem eine Fläche ein Raumgebiet abgrenzt, in welchem sich Ladungen entsprechend einer Ladungsdichte ρ el. ( r = a aδ (3 ( r x a befinden, mit x a den Positionen der Ladungen. Als (Dirichlet-Randbedingung wird angenommen, dass eine Äuipotentialfläche ist, d.h. Φ( r ist konstant auf. Sei dann ein anderes Problem P 2 ohne Fläche jedoch mit denselben Ladungen an den gleichen Positionen x a sowie zusätzlichen Ladungen sog. Spiegelladungen außerhalb. Wenn das (lösbare! Problem P 2 zu einem Potential Φ führt, wovon eine Äuipotentialfläche mit der Fläche vom Problem P 1 übereinstimmt, dann ist das Potential von P 2 im olumen genau gleich dem gesuchten Potential von P 1. Als Beispiel dieser Methode kann man das folgende Problem (P 1 betrachten: im Halbraum x < befindet sich ein elektrischer Leiter, dessen Oberfläche bei x = eine Äuipotentialfläche ist; (4 im Punkt x = (a,, außerhalb des Leiters sitzt eine Punktladung. Im Bereich x > soll das Skalarpotential Lösung der Poisson-Gleichung Φ( r = δ (3 ( r x / sein, mit der Randbedingung Φ = Φ für x =. a Abbildung III.2 a Ein passendes, einfach lösbares Problem P 2 besteht aus zwei Punktladungen in einem sonst leeren Raum: ist immer noch in x, während eine zweite (Spiegel-Punktladung im Punkt x = ( a,, sitzt. Diese Ladungen erzeugen das Skalarpotential Φ( r = 4π r x + 4π r + x, Lösung von Φ( r = δ (3 ( r x δ (3 ( r + x im ganzen Raum. Dieses Potential stellt auch eine spezielle Lösung der Gleichung Φ( r = δ (3 ( r x / für x dar, die für = konstant (und Null bei x = ist. Das Potential Φ ist also auch Lösung für x des ursprünglichen Problems P 1. x (4 Dies ist immer der Fall bei elektrischen Leitern im Gleichgewicht, d.h. ohne Bewegung von Ladungen, wie schon bei der Beschreibung des Faraday-Käfigs argumentiert wurde.