Klausur Formale Sprachen und Automaten Grundlagen des Compilerbaus

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1 Klusur Formle Sprchen und Automten Grundlgen des Compilerus 25. Novemer 2014 Nme: Unterschrift: Mtrikelnummer: Kurs: Note: Aufge erreichre erreichte Nr. Punkte Punkte (Bonus) 8 Summe

2 Seite 2 von 23 Aufge 1 (4+6P) Sei Σ = {, }. Geen Sie deterministische endliche Automten n, die die folgenden Sprchen erkennen. ) L 1 = {w Σ w mod 3 = 0 und w mod 2 = 1} ) L 2 = {w Σ w eginnt mit und endet mit } Lösung: q 3 q 4 q 5 q 0 q 1 q 2 ) q 4 q 3 q 1, q 0 q 5 q 2 )

3 Aufge 1 (Fortsetzung) Seite 3 von 23

4 Seite 4 von 23 Aufge 2 (3+2+5P) Betrchten Sie den nichtdeterministischen endlichen Automten A 2 in Aildung 1. ) Geen Sie lle möglichen Aleitungen des Wortes uf dem Automten A 2 n. ) Beschreien Sie L(A 2 ) ls Menge. c) Konvertieren Sie A 2 mit dem in der Vorlesung ngegeenen Verfhren in einen deterministischen endlichen Automten. (Der Automt ist uf der nächsten Seite noch einml geildet, flls Sie mehr ls eine Seite enötigen.), q 0 q 1 q, 2 q 3 Aildung 1: Automt A 2 Lösung: ) (q 0, ) (q 1, ) (q 1, ) (q 1, ) (q 1, ) (q 2, ) (q 2, ɛ) (kzeptiert) (q 0, ) (q 1, ) (q 1, ) (q 1, ) (q 1, ) (q 1, ) (q 1, ɛ) (nicht kzeptiert) ) L(A 2 ) = {wx w Σ, x Σ} c) > q0 {q1} {} q1 {q1} {q2,q1} q2 {q3} {q3} * q3 {} {} S0 = frozenset([ q0 ]) Delt(S0, ) = frozenset([ q1 ]) S1 = frozenset([ q1 ]) Delt(S0, ) = frozenset([]) S2 = frozenset([]) Delt(S1, ) = frozenset([ q1 ]) Stte is equl to S1 Delt(S1, ) = frozenset([ q1, q2 ]) S3 = frozenset([ q1, q2 ]) Delt(S2, ) = frozenset([]) Stte is equl to S2 Delt(S2, ) = frozenset([]) Stte is equl to S2 Delt(S3, ) = frozenset([ q1, q3 ]) S4 = frozenset([ q1, q3 ]) Delt(S3, ) = frozenset([ q1, q3, q2 ]) S5 = frozenset([ q1, q3, q2 ]) Delt(S4, ) = frozenset([ q1 ]) Stte is equl to S1

5 Seite 5 von 23 Delt(S4, ) = frozenset([ q1, q2 ]) Stte is equl to S3 Delt(S5, ) = frozenset([ q1, q3 ]) Stte is equl to S4 Delt(S5, ) = frozenset([ q1, q3, q2 ]) Stte is equl to S5 Ergenis: S0 S2 S1 S3 S4 S5

6 Seite 6 von 23 Aufge 3 (2+6+4P) Betrchten Sie den deterministischen endlichen Automten A 3 in Aildung 2. ) Welche Konfigurtionsfolge durchläuft der Automt eim Bereiten des Wortes? ) Minimieren Sie den Automten A 3 mit dem in der Vorlesung vorgestellten Verfhren. c) Geen Sie eine formle Beschreiung von L(A 3 ). (Der Automt ist uf der nächsten Seite noch einml geildet, flls Sie mehr ls eine Seite enötigen. Dort finden Sie uch eine Telle für Aufgenteil 3).) q, 3 q 4 q q, 0 5 q 6 q 1 q 2 Aildung 2: Automt A 3 Lösung (): ) (q 0, ) (q 1, ) (q 3, ) (q 4, ) (q 2, ) (q 4, ) (q 2, ) (q 4, ɛ)

7 Seite 7 von 23 Aufge 3 (Fortsetzung) q, 3 q 4 q q, 0 5 q 6 q 1 q 2 Lösung (+c): Telle für Aufge 3) ) q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 0 o x x x x x x q 1 x o x o x x x q 2 x x o x o x x q 3 x o x o x x x q 4 x x o x o x x q 5 x x x x x o x q 6 x x x x x x o Die Zustände q 1, q 3 und q 2, q 4 sind jeweils äquivlent und können zusmmengefsst werden:, q, 0 q q, 1 q 2 5 q 6 c) L(A 3 ) = {x n m x {, }, n N, m N + }

8 Seite 8 von 23 Aufge 4 ( P) Sei Σ = {, }. Sei L 4 = { k w k k 1, w Σ }. ) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G mit L(G) = L 4 n. ) Üerprüfen Sie, welche der folgenden Wörter in L 4 sind. Geen Sie im positiven Fll eine Aleitung in G n. 1) ε 2) 3) c) Zeigen oder widerlegen Sie: L 4 ist regulär. Lösung: ) Betrchte G = V N, V T, P, S mit: V N = {S, T } V T = {, } P wie folgt: 1. S 2. S S 3. S T 4. T T 5. T 6. T T 7. T G ist kontextfrei und erzeugt L 4 ) 1) ɛ / L 4 2) / L 4 3) S (2)S (2)S (3)T (4)T (7) Also: L 4 c) Behuptung: L 4 ist regulär, denn L 4 = {w w Σ } (lle weiteren n Anfng und Ende können uch in w verschoen werden. Dmit gilt: L 4 = L(( + ) ), lso regulär.

10 Seite 10 von 23 Aufge 5 ( P) Sei Σ = {, }. Sei L 5 = { k w k w Σ, k N}. ) Üerprüfen Sie, welche der folgenden Wörter in L 5 sind. 1) 2) 3) ) Zeigen oder widerlegen Sie: L 5 ist regulär. Lösung: ) 1) L 5 2) / L 5 3) L 5 ) Behuptung: L 5 ist nicht regulär. Beweis per Pumping-Lemm. Annhme: L 5 sei regulär. Dnn gilt: n N mit der Eigenschft, dss jedes Wort s L mit s > n ls uvw drgestellt werden knn, so dss v ɛ, uv n, und h N : uv h w L 5. Betrchte ds Wort n n L 5. Dnn gilt: u = i, v = j, w = n (i+j) n und j > 0. Per Pumping Lemm muss dnn uch uv 0 w = n j n L 5 sein. D j 0 ist ds er nicht der Fll. Also ist die Annhme flsch und L 5 nicht regulär.

11 Seite 11 von 23 Aufge 6 (2+4P) Sei Σ = {, }. Betrchten Sie den Automten A 6 in Aildung 3. q 0 q 2 q 1 Aildung 3: Automt A 6 ) Stellen Sie ein Gleichungssystem uf, ds die n den verschiedenen Zuständen kzeptierten Sprchen eschreit. ) Lösen Sie dieses Gleichungssystem und geen Sie so einen regulären Ausdruck n, der die von A 6 kzeptierte Sprche eschreit. Lösung: ) L 0 = L 1 + L 0 L 1 = L 2 + L 1 L 2 = L 0 + L 2 + ɛ ) L 1 = L 2 (Arden s Lemm) L 2 = (L 0 + ɛ) (Arden s Lemm) L 1 = ( (L 0 + ɛ)) (Einsetzen L 2 ) L 0 = L 1 (Arden) = ( ( (L 0 + ɛ))) (EinsetzenL 1 ) = ( ( + L 0 )) (Umformen) = ( + L 0 ) (Ausmultiplizieren) = + L 0 (Ausmultiplizieren) = ( ) (Arden)

13 Seite 13 von 23 Aufge 7 ( P) Sei Σ = {, } und G 7 = ({S, T, U}, {, }, {S T U, T U S, T U }, S). Bestimmen Sie: ) den mximlen Typ der Grmmtik in der Chomsky-Hierrchie, ) die erzeugte Sprche L(G 7 ), c) den mximlen Typ der erzeugten Sprche in der Chomsky-Hierrchie. d) Geen Sie eine zu G 7 äquivlente Grmmtik mit dem mximl möglichen Typ n. Lösung: ) Die Grmmtik ist Typ 0. Sie ist nicht kontextsensitiv, d z.b. T U S nicht kontext-erhltend ist, und nicht kontextfrei, d z.b. T U S nicht nur ein NTS uf der linken Regelseite ht. ) L(G 7 ) = { n n n N + } c) Typ 2 (kontextfrei) d) Betrchte G = V N, V T, P, S mit: V N = {S} V T = {, } P wie folgt: 1. S S 2. S G ist kontextfrei und erzeugt L 7

14 Seite 14 von 23 Aufge 8 (6+1+1P) Sei L 8 = { n m c p m, n, p N und n + p = m}. ) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G n, die die Sprche L 8 erzeugt. ) Geen Sie Aleitungen in G für die folgenden Wörter n: 1) cc 2) cc Lösung: ) Betrchte V N = {S, A, C}, V T = {,, c} und P = {S ɛ S A S B S AB A A A C Cc C c Dnn ist G = V N, V T, P, S kontext-frei und erzeugt L 8. ) 1) S AC C Cc cc 2) S C Cc cc

16 Seite 16 von 23 Aufge 9 (7P) Trnsformieren Sie die folgende Grmmtik G 9 mit dem in der Vorlesung gezeigten Verfhren in Chomsky- Normlform. G 9 = ({S, A, B, C, D, E}, {, c, d}, P, S) P = {S AC CCD A AB B S C D c D Sd d E SB d} Lösung: Schritt 1: Elimintion von Kettenregeln der Form S T B S N(S) = {S}: Ersetzte B S durch B AC B CCD C D N(D) = {D}: Ersetze C D durch C Sd C d Ergenis: P = {S AC CCD A AB B AC CCD C Sd d c D Sd d E SB d} Schritt 2: Entferne nicht-terminierende Symole: Initil: B, C, D, E Itertion: S Nicht terminierend: A Ergenis: P = {S CCD B CCD C Sd d c D Sd d E SB d}

17 Seite 17 von 23 Aufge 9 (Fortsetzung) Schritt 3: Entferne nicht-erreichre Symole Erreichr: {S, C, D, d, c} Nicht erreichr: B, E, Ergenis: P = {S CCD C Sd d c D Sd d Schritt 4: Ersetze D durch X d : P = {S CCD C SX d d c D SX d d X d d Auflösen von zu großen rechten Seiten: Ersetzte S CCD durch S CC 1, C 1 CD Endergenis: V N = {S, C, C 1, D, X d }, V t = {c, d} P = {S CC 1 C 1 CD C SX d d c D SX d d X d d G 9 = V N, V T, P, S

18 Seite 18 von 23 Aufge 10 (6+4+3P) Betrchten Sie die folgende Grmmtik: G 10 = ({S, A, B, C, D}, {,, c}, P, S) P = {S AD A B C CS c D BC} ) Üerprüfen Sie mit Hilfe des CYK-Algorithmus, welche der folgenden Wörter von G 10 erzeugt werden: 1) w 1 = cc 2) w 2 = cc ) Beschreien Sie die von G 10 erzeugte Sprche L(G 10 ) forml. Dies können Sie durch Ange ls Menge oder, flls L(G 10 ) regulär ist, durch Ange eines regulären Ausdrucks tun A,B - S - - S 2 A,B D - - D Lösung für Teil 1) 3 C - - C 4 A,B - S 5 A,B D 6 C w = c c Ist w 1 L(G 10 )? J A,B D - - Lösung für Teil 2) 2 C A,B D Ist w 2 L(G 10 )? Nein 4 C w = c c

20 Seite 20 von 23 Aufge 11 (2+2+4P) Gegeen sei der Kellerutomt A 11 = ({q 0, q e }, {, }, {Z 0, A, B}, δ, q 0, Z 0 ), woei δ in der folgenden Telle ngegeen ist. ) Geen Sie für die folgenden Wörter q 0 Z 0 AZ 0 q 0 q 0 A AA q 0 q 0 B ε q 0 q 0 Z 0 BZ 0 q 0 q 0 A ε q 0 q 0 B BB q 0 q 0 ε A ε q e q 0 ε B ε q e q e ε A ε q e q e ε B ε q e q e ε Z 0 ε q e flls ds Wort in L(A 11 ) enthlten ist, eine kzeptierende Konfigurtionsfolge, flls ds Wort nicht in L(A 11 ) enthlten ist, eine Konfigurtionsfolge, ei der ds gesmte Wort gelesen wird, n. 1) w 1 = 2) w 2 = ) Beschreien Sie forml die von A 11 kzeptierte Sprche ls Menge. Lösung: ) 1) 2) q 0,, Z 0 q 0,, AZ 0 q 0,, AAZ 0 q 0,, AAAZ 0 q 0,, AAZ 0 q 0,, AZ 0 q 0, ε, Z 0 Ds Wort wird nicht kzeptiert, d der Keller nicht leer ist und kein Üergng möglich ist. q 0,, Z 0 q 0,, AZ 0 q 0,, AAZ 0 q 0,, AZ 0 q 0,, AAZ 0 q 0,, AZ 0 q 0,, Z 0 q 0,, BZ 0 q 0, ε, BBZ 0 q e, ε, BZ 0 q e, ε, Z 0 q e, ε, ε Ds Wort wird kzeptiert, d die Einge komplett gelesen ist und der Keller leer ist. ) L(A 1 1) = {w {, } w w }

22 Seite 22 von 23 Aufge 12 (Bonus) (5+3P) 100% können ohne diese Aufge erreicht werden! ) Folgern Sie us der Unentscheidrkeit des Leerheitsprolems für kontextsensitive Grmmtiken, dss uch ds Äquivlenzprolem für kontextsensitive Grmmtiken unentscheidr ist. ) Begründen Sie, wrum es nicht möglich ist, mit Hilfe des Pumping-Lemms die Nichtregulrität von endlichen Sprchen zu zeigen. Lösung: ) Eine kontext-sensitive Grmmtik G mit L(G) = {} ist einfch nzugeen (z.b. durch eine leere Menge von Produktionen). Wenn ds Äquivlenzprolem entscheidr wäre, dnn könnte mn ds Lehrheitsprolem trivil uf die Äquivlenz zu G zurückführen und so entscheiden. D ds Lehrheitsprolem er unentscheidr ist, muss uch ds Äquivlenzprolem unentscheidr sein. ) Alle endlichen Sprchen sind regulär. Dies knn z.b. trivil durch einen regulären Ausdruck gezeigt werden, der lle Worte der Sprche (und nur diese) ls Alterntive enthält, oder lterntiv durch einen NFA, der mit einem ɛ-üergng vom Strtzustnd zu einer lineren Zustndskette pro Wort üergeht. Technisch gilt ds Pumping Lemm mit einem n, dss größer ls die Länge des längsten Wortes der Sprche ist. Es existiert dnn er kein Wort meht, ds ufgepumpt werden knn.

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