Zusatzaufgaben zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik h_da, FB Informatik, SS 2009

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1 1 Zustzufgen zur Vorlesung Grundlgen der Theoretischen Informtik h_d, FB Informtik, SS 2009 Empfehlung: Bereiten Sie jede Aufge intensiv gleich, o Sie zu einer Lösung kommen oder nicht evor Sie sich die zugehörige Beispiellösung hinten nschuen. Sonst leit der Lerneffekt meist eher gering. (1) Automten, reguläre Sprchen Zeichnen Sie je einen endlichen Automten für folgende Sprchen: i) L1 = { w {,}* in w folgt uf jedes ein } ii) L2 = { w {,}* w enthält nicht ls Teilwort } iii) L3 = L1 L2 Nehmen Sie n, (i) und (ii) seien lösr. Begründen Sie, dss die folgenden Sprchen regulär sind: iv) L4 = { w {,}* in w kommen unmittelr nch jedem zwei, nur nch dem letzten kommt evtl. nur noch ein } v) L5 = { w {,}* in w kommt ds Teilwort oder ds Suffix vor (oder eides) } (2) Determinisierung von nichtdeterministischen Automten Beispiellösung Seite 4 (i) Konstruieren Sie einen möglichst einfchen nichtdeterministischen Automten A für die Sprche L = { w {,}* w ht ls Suffix }. (ii) Konstruieren Sie us A einen (deterministischen) Automten für L. (3) Minimierung von Automten, reguläre Grmmtiken Beispiellösung Seite 5 Konstruieren Sie einen (deterministischen) Automten mit möglichst wenigen Zuständen, der die Sprche kzeptiert, die von folgender Grmmtik erzeugt wird: S A S ε A D B B C B C D C ε D A E E S E Beispiellösung Seite 6 (4) Pumping-Lemm Betrchten Sie die Sprche L = { 2m m m>0 }. Zeigen Sie mit Hilfe des Pumping- Lemms, dss L nicht regulär ist. Beispiellösung Seite 7 Bernd Bumgrten, 2009

2 2 (5) Kellerutomten, CFGs und kontextfreie Sprchen (i) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik n, die die Sprche { n m c n+m m,n>0} definiert. (ii) Geen Sie einen Kellerutomten n, der die Sprche { n m c n+m m,n>0} kzeptiert. (6) Reguläre und kontextfreie Sprchen Beispiellösung Seite 8 (i) Geen Sie eine reguläre Sprche L1 und eine kontextfreien Sprche L2 n, deren Durchschnitt L=L1 L2 keine reguläre Sprche ist. (ii) Zeigen Sie, dss der Durchschnitt der regulären Sprche L1 ller Wörter us einer gerden Anzhl von s und einer gerden Anzhl von s und der kontextfreien Sprche L2 ller Wörter n n, n>0, eine kontextfreie Sprche ist. (iii) Zeigen Sie, dss der Durchschnitt einer regulären und einer kontextfreien Sprche üer einem Alphet Σ immer eine kontextfreie Sprche ist. (iii) ist nicht gnz einfch. Tipp: Gehen Sie von einem Automten und einem Kellerutomten us. Denken Sie sich diese eiden prllel usgeführt. (7) Grmmtik und Aleitung Beispiellösung Seite 9 Gegeen sei die folgende Regelmenge einer kontextfreien Grmmtik mit Strtsymol Stz, mit den weiteren Nichtterminlzeichen NomPhr, VerPhr, PräpPhr, Ver, Präp, Nom, und Artik, mit den Terminlzeichen uf, die, der, dem, Mnn, Fru und Hügel, sowie mit den Regeln: Stz NomPhr VerPhr NomPhr Nom Artik Nom NomPhr PräpPhr VerPhr Ver NomPhr PräpPhr Präp NomPhr VerPhr VerPhr PräpPhr Präp uf Artik ds der dem Nom Mnn Hus Hügel Ver kufte (i) Geen Sie 2 Aleitungsäume für der Mnn kufte ds Hus uf dem Hügel n. (ii) Welchen inhltlichen Unterschied spiegeln die Aleitungsäume wider? freiwilliger Aufgenteil, keine theoretische Informtik Beispiellösung Seite 10 Bernd Bumgrten, 2009

3 3 (8) Chomski-Normlform (i) Geen Sie die Regeln einer Grmmtik H in Chomski-Normlform n, die die gleiche Sprche erzeugt wie die kontextfreie Grmmtik G mit Strtsymol A, einem weiterem Nichtterminl B und Terminlen, sowie den folgenden Regeln: A BAB B B B (ii) Verwenden Sie (i) und den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, o ds Wort us G leitr ist. (9) RAM Beispiellösung Seite 11 Geen Sie ein RAM-Progrmm n, ds für gerde n (n=0, 2, 4,...) ds Ergenis n/2 erechnet und für ungerde n zu keinem Ergenis führt. (10) Turing-Mschine Beispiellösung Seite 12 Geen Sie teilweise ein 2-Bnd-Turing-Mschine-Progrmm n, ds für jeden Input 1 k 01 m, k und m >0, ds Ergenis 1 n mit n = mx(k,m) erechnet. Die komplette Telle ist etws lng: geen Sie dher nur lle Üergänge für die ersten zwei (sinnvoll genutzten) Zustände n, und eschreien Sie kurz sprchlich, ws in jedem weiteren eingeführten Zustnd erreicht und ws dnn noch zu tun ist. (11) Entscheidungsproleme, Reduktion Beispiellösung Seite 13 (i) Sei L eine unentscheidre Sprche üer Σ={0,1}. Geen Sie eine von L verschiedene unentscheidre Sprche üer Σ n. (ii) Geen Sie ein 1-Bnd-Turing-Mschinen-Progrmm üer Σ = { } n, ds L1 = { 3m m>0 } uf L2 = { ε } reduziert. Beispiellösung Seite 14 Bernd Bumgrten, 2009

4 4 (1) Lösungen i) z0 z1 z2, Zustände sind hier rechteckig gezeichnet; ds ging schneller... ii) z0 z1 z2 z3, iii A) sichere er ufwändige Idee: Die Automten us (i) und (ii) werden prllel durchlufen, z jk steht für z j in (i) und z k in (ii). Akzeptiert wird in Gesmt-Zuständen, deren Komponentenzustände in (i) UND in (ii) kzeptieren. z20 z21 z22, z23 z00 z11 z02 z13 z03 iii B) evtl. weniger ufwändige Idee: In den Wörtern w der Sprche muss uf ein folgen. Anschließend muss ein zweites folgen ODER Schluss sein. Nun Automt entsprechend hinmlen :, zu zr zs zt iv) L4 = L3 = L1 L2! Dher ist L4 ls Durchschnitt zweier Automtensprchen, lso zweier regulären Sprchen, regulär. (Oder Sie hen (iii) gelöst, dnn ist L4 ls Automtensprche sowieso regulär.) v) L5 ist in {,}* ds Komplement von L1, einer Automtensprche, lso einer regulären Sprche, lso selst regulär. Bernd Bumgrten, 2009

5 5 (2) Lösungen i) z0 z1 z2 z4, ii) Idee: die üliche Teilmengenkonstruktion in welchen Zuständen des NDA könnte ich von den derzeit möglichen Zuständen us nch / jeweils ngekommen sein? Wir schreien kurz z...i... für {..., zi,...}. Git es us einer etrchteten Zustndsmenge keinen Üergng zu /, kennzeichnen wir ds ls Üergng in einen (evtl. zu ergänzenden) Errorzustnd, us dem mn nicht heruskommt ds enötigen wir hier er nicht. Der Anfngszustnd leit (genuer: ist nun {z0}). Akzeptierende Zustände: Zustndsmengen, die den NDA-kzept. Zustnd z4 enthlten. z0 z01 z012 z04 Der gleiche Automt ergit sich uch, wenn wir jeweils üerlegen, wie weit uns die letzten Symole in vorngercht hen, d.h. ws ist ds längste Suffix des Inputs, ds Präfix von ist? zε z z z Bernd Bumgrten, 2009

6 6 (3) Lösungen erster Schritt: Grmmtik ergit Automten, der die Sprche kzeptiert S A B E D C zweiter Schritt: Minimierungslgorithmus druf nwenden K A B D E S C K A D B E S C K A D B E S C ENDE wegen Wdh. K2=K1 Der mittlere Teil ergit eine ruchre Üergngsfunktionstelle. Klssen us kzeptierenden Zuständen des Automten kzeptieren im Minimlutomt. Die Klsse mit dem Anfngszustnd wird im Minimlutomt Anfngszustnd. Im Bild lso: mit Klssennummern zw. explizit mit äquivlenten Zuständen: SC AD BE Bernd Bumgrten, 2009

7 7 (4) Lösungen Annhme: L ist regulär. Sei dnn n wie im Lemm (siehe Folien). Dnn ist s= 2n n in L. Seien dnn u, v, w wie im Lemm. Dnn ist u= i, v= k mit i,k>0, sowie uvvw in L. Nun ist er uvvw = 2n+k n, lso wegen Def. von L wiederum k=0, im Widerspruch zu k>0. Also ist die Annhme flsch. Bernd Bumgrten, 2009

8 8 (5) Lösungen (i) S Ac A Ac c Bc B Bc c Zwieelschichtenmethode: Zuerst ußen gleich viele und c; dnn innen gleich viele und c (ii) Ein pssender Kellerutomt ergit sich per Rezept (s. Folien) us der Grmmtik: Zust Sym KSym Zust KString z0 ε $ z1 S z1 ε $ z2 ε z1 z1 ε z1 z1 ε z1 ε S z1 Ac z1 ε A z1 Ac z1 ε A z1 c z1 ε A z1 Bc z1 ε B z1 Bc z1 ε B z1 c Er erzeugt wechselnd schrittweise im Keller gemäß Grmmtik ein Wort der Sprche und entfernt jeweils ein Eingezeichen und dssele Zeichen oenuf im Keller. Wird der Keller leer, dnn psste ds Eingewort zum Kellerwort. Bernd Bumgrten, 2009

9 9 (6) Lösungen (i) Mit eispielsweise Σ = {,}* und L1 = Σ*, der Sprche, die der Automt kzeptiert, und der eknnten Sprche L2 = { n n n>0 } sind L1 regulär und L2 kontextfrei er nicht regulär, und wegen L2 = L1 L2 sind wir fertig. (ii) Entweder wir hen (iii) gelöst zw. gluen den Lehrüchern in diesem Punkte, oder wir rgumentieren d hoc: Dieser Durchschnitt ist L = { 2n 2n n>0 }, und L lässt sich durch folgende Regeln us S kontextfrei erzeugen : S S. (iii) Seien z0, J = [X, Σ, Γ, x0, $, G, β] ein nichtdet. Kellerutomt mit usgezeichnetem Anfngszustnd y0 in der Zustndsmenge X={x0,..., xk}, die die kzeptierenden Zustände in G Y umfsst und mit Zustndsüerführungsfunktion β von Z (Σ { ε }) (Γ { $ }) in die Potenzmenge von Y Γ*, welcher die kontextfreie Sprche kzeptiert, und ferner A = [Z, Σ,z0,F,δ] ein endlicher Automt, welcher die reguläre Sprche kzeptiert. Wir konstruieren us J und A einen nichtdet. Kellerutomten K = [Y, Σ, Γ, y0, $, B, γ]: Zustndsmenge Y ist X Z, esteht lso us llen Pren (x,z) mit J-Zuständen x und A-Zuständen z. y0 := (x0,z0) ( gleichzeitiger Anfngszustnd ) B := G F ( gleichzeitig kzeptierende Zustände ) γ((x,z),sym,ksym) soll umfssen lle ( (x,z ), kstring ) für die gilt: ( x, kstring ) β( x, sym, ksym ) UND z = δ( z, sym ). ( gleichzeitiger Zustndsüergng ) Offenr kzeptiert K genu die Wörter, die J und A eide kzeptieren, die lso genu im Durchschnitt der (kontextfreien) Kellerutomtensprche mit der (regulären) Automtensprche liegen. Bernd Bumgrten, 2009

10 10 (7) Lösungen (i) links, (ii) rechts Stz Hier wird uf dem Hügel gekuft NomPhr egl wo ds Hus steht Artik +--- der +--- Nom +--- Mnn +--- VerPhr +--- VerPhr +--- Ver +--- kufte +--- NomPhr +--- Artik +--- ds +--- Nom +--- Hus +--- PräpPhr +--- Präp +--- uf +--- NomPhr +--- Artik +--- dem +--- Nom +--- Hügel Stz Hier steht d. Hus uf dem Hügel +--- NomPhr egl wo gekuft wird Artik +--- der +--- Nom +--- Mnn +--- VerPhr +--- Ver +--- kufte +--- NomPhr +--- NomPhr +--- Artik +--- ds +--- Nom +--- Hus +--- PräpPhr +--- Präp +--- uf +--- NomPhr +--- Artik +--- dem +--- Nom +--- Hügel Bernd Bumgrten, 2009

11 11 (8) Lösungen (i) Chomsky-Normlisierung Zusätzliches Üerspringen von nichtterminlen Zwischensymolen (hier B in A B) A BAB B B Umleitung üer Nichtterminle für nicht lleine stehende Terminle (hier und ) A BAB CD DB B CD C D Prweises Verketten von Nichtterminlen, dei neue verwenden (hier für BAB) A BE CD DB B CD C D E AB (ii) Teilwort Zerlegungen rechte Seiten, linke Seiten Präfix-Suffix die die 2 Teile die solche rechten Seiten erzeugen würden erzeugen würden (oder Terminl) (oder Terminl) : C : A,B,D : - CA,CB,CD A,B : - AC,BC,DC : - AA,AB,AD,BA,BB E BD,DA,DB,DD : -,- CE,AA,AB,AD,BA,BB,BD E : - AA,AB,BA,BB,DA,DB E,A : - EC : - EC : -,- AA,AE,BA,BE,DA,DE A EA,EB : -,- CA,AA,AE,BA,BE A - EA,EB Bernd Bumgrten, 2009

12 12 (9) Lösung 1 If c(1)=0 Goto Jetzt steht (n-c(1))/2 in c2, d.h. flls 0: fertig 2 Lod c(1)... [ n:=n csu mit Umspeicherungen 4 Store c(1)... ] 5 If c(1)=0 Goto n wr ungerde, kein Ergenis 6 Lod c(2)... [Ergenis := Ergenis cadd mit Umspeicherungen 8 Store c(2)... ] 9 Lod c(1)... [n:=n-1 10 csu mit Umspeicherungen 11 Store c(1)... ] 12 Goto 1... und weiter von vorn 13 End 14 Goto verhindert Ergenis Bernd Bumgrten, 2009

13 13 (10) Lösung Zust S1 S2 Zust S1 S2 M1 M2 z0 1 B z0 B 1 R R in z0: üertrge 1 k uf Bd 2 z0 0 B z1 B B R L in z1: sitze links uf 1 m uf Bd 1 und rechts uf 1 k uf Bd 2. z1 1 1 z1 1 1 R L z1 B B z2 etc. in z2: k=m, sitze rechts uf 1 m uf Bd 1, jetzt noch Bd 2 nch rechts löschen, uf Bd 1 nch links gehen z1 1 B z3 etc. in z3: m>k, sitze mitten uf Einsen uf Bd 1, jetzt noch Bd 2 nch rechts löschen, uf Bd 1 nch links gehen (lso können wir uch z2 nstelle z3 setzen, denn es geht dort genuso weiter) z1 B 1 z4 etc. in z4: k>m, sitze mitten uf Einsen uf Bd 2, jetzt noch Bd 1 nch links löschen, uf Bd 2 nch links gehen und lle Einsen von Bd 2 nch Bd 1 ringen (d.h. uch uf Bd 2 löschen). Bernd Bumgrten, 2009

14 14 (11) Lösung (i) Sei eispielsweise M = { 0w w L }. Wenn die kürzesten Wörter in L die Länge l hen, hen die kürzesten Wörter in M die Länge l+1; lso ist M L. L ist offensichtlich uf M reduzierr durch die einfche 1-Bnd-TM mit Zust Sym Zust Sym Move z0 0 z0 0 L z0 1 z0 1 L z0 B ze 0 N Wäre nun M entscheidr, dnn uch L; lso muss M unentscheidr sein. Alterntiven, deren Tuglichkeit ntürlich jeweils noch zu eweisen wäre: Vrinten der oigen Lösung: nderes/mehrere Zeichen nhängen, zw. rechts nsttt links nhängen M = Σ* \ L Sei w L, M = L \ {w} Sei w Σ* \ L, M = L {w} Flsch wäre ürigens (wrum?): M esteht us llen Wörtern in L, er rückwärts hingeschrieen, z.b. würde zu M esteht us den zeichenweisen Komplementen ller Wörter in L, z.b. würde zu (ii) Zust Sym Zust Sym Move z0 z1 B R löschen, im Zustnd merken z0 B ze N Der Input wr leer, nicht in L1. Der Output ist, nicht in L2. z1 z2 B R löschen, im Zustnd merken z1 B ze N Der Input wr 3m+1, nicht in L1. Der Output ist, nicht in L2. z2 z3 B R löschen, im Zustnd merken z2 B ze N Der Input wr 3m+2, nicht in L1. Der Output ist, nicht in L2. z3 z1 B R löschen, im Zustnd merken z3 B ze B N Der Input wr 3m, lso in L1. Der Output ist ε, lso in L2. Bernd Bumgrten, 2009