Extrakapitel für M3 1. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel)

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1 Etrkpitel für M. Integrtion durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel Beispiel : Berechnen Sie ds Integrl I = + d D die Wurzel eine innere Funktion ht, substituieren wir diese und leiten dnn b... z = + ( = z' = d = * d d = * d : b Dmit setzen wir ds Integrl neu n: I = + d = z c und integrieren nch der neuen Vriblen z nch dem Vorziehen von /: I z z = z = z = = z = = d dnn knn wieder rücksubstituiert werden und C ugeschrieben werden: I = z = ( + Übungen zur Substitution: z + ( d b ( d c ( d ( b ( 7² ² d c ( ² d d 7 b d ( ( 7 d c d ( ² d b ( ² d c ( d ² d b ² + d c ² d 6 ( d 6b ² d 6c d ³ ² 7 d 7b + + d 7c d ² ³ ³ + 8 ( ² 8 d 8b d 8c* d ( ² + ² ( ²² 9 sin( d 9b cos( d 9c e d * zuerst kürzen! Dr. Mnfred Gurtner 009 VHS Floridsdorf Integrtionsmethoden

2 Beispiel : Berechnen Sie ds Integrl. Integrtion durch prtielle Integrtion (Umkehrung der Produktregel I = e d Die Umkehrung der Produktregel ergibt folgende Integrtionsregel: u v' = u v u' Schritt : Bestimmen, ws u und ws v sein sollen ( soll bgeleitet werden, ist lso u I = e d = u v ' d u = v = e Schritt : Tbelle zur Bestimmung der Ableitungen und Integrle: u = v = e Schritt : Anwenden der Integrtionsregel: u v u v u v I = e d = e e d Schritt :Nun knn ds Restintegrl integriert werden und wir sind fertig! I = e e d = e e v Beispiel : Mehrfche prtielle Integrtion ² sin d u v u v u v u v ² sin d = ² ( cos ( cos d = ² cos + cos d. prtielle Integrtion: u v u v = ² cos + sin sin d. prtielle Integrtion: [ ]. und Integrtion des Restintegrls ergibt : Beispiel : Integrtion führt zum Ausgngsintegrl: I = sin e d = ² cos + [ sin ( cos ] = ² cos + sin + cos u v u v u v u v. prtielle Integrtion: I = sin e d = sin e cos e d. prtielle Integrtion: u v u v = sin e cos e ( sin e d [ ] : durch Vereinfchung ergibt sich: = sin e cos e sin e d : wir hben wieder ds Ausgngsintegrl bekommen, ds wir mit I nschreiben: I = sin e cos e I + I. durch Gleichungsumformung bringen wir ds I uf die linke Seite und es ergibt sich: I = sin e cos e : sin e I = cos e = Dr. Mnfred Gurtner 009 VHS Floridsdorf Integrtionsmethoden

3 llgemeine Integrtionsregeln: Funktion Integrl = Stmmfunktion Integrl mit Schnellsubstitution ² f( = k F( = k (+b = + b f( = n (n + n +C (+b n = n + n+ ( + b ( n + f( = = F( = ln + b = ( + b ln ( + b = +C f( = sin F( = cos sin (+b = cos( + b f( = cos F( = sin cos (+b = sin( + b f( = e F( = e e +b = +b e f( = F( = / ln 0 +b = +b 0 *ln0 Konstnte ml Regel k f( = k f( Summenregel f( + g( = f( + g( Übungen zur prtiellen Integrtion: 0 e d e d d ln b d 0b ² e d 0c ³ e d (ln ² b d c ln d ² ln c sin d cos d b cos d c ² cos d * sin ² d b* cos ² d c* sin e d * sin cos d b sin d c ( 0 d * die prtielle Integrtion führt zum Ausgngsintegrl Integrlgleichung ( I =... I I =... oder mn ersetzt den Integrnden durch eine ndere Winkelfunktion lut folgender Tbelle: sin Regeln für SIN/COS: sin cos = sin² + cos² = cos² = sin² und sin² = cos² cos = cos² sin² cos² = (cos + / und sin² = ( cos / Dr. Mnfred Gurtner 009 VHS Floridsdorf Integrtionsmethoden

4 . Integrtion durch Prtilbruchzerlegung Integrle, die komplizierte Brüche enthlten, lssen sich in Teilbrüche zerlegen, die integrierbr sind Beispiel : Lösen Sie ds Integrl ² d ² Dieser Bruch lässt sich zerlegen.. durch Polynomdivision, wenn der Zählergrd größer oder gleich dem Nennergrd ist: (² : (² = (² 8 / + Rest ² drus ergibt sich folgende Zerlegung: = + ² ². der Restbruch wird weiter zerlegt, indem zuerst die Nullstellen des Nenners gesucht werden: ² =0, = {, } und mit dem Stz von Vietá zerlegt mn den Nenner ls Produkt ( Nullstelle*( Nullstelle: ² = ( (+. Dmit knn mn nun den unbestimmten Anstz für den Restbruch mchen: A B = = + ² ( ( + ( ( +. Diese Gleichung multipliziert mn mit dem Nenner ( (+: = A ( + + B ( und durch Einsetzen der Nullstellen erhält mn die Vriblen A und B: = = A (+ + B ( = A A = / = 0,7 = = A ( + + B ( = B B = / = 0,7. dmit knn mn nun ds Integrl lösen: ² 0,7 0,7 d = + d = + + 0,7 ln 0,7 ln ² ( ( + Regeln für die Prtilbruchzerlegung:. wenn Zählergrd >= Nennergrd Polynomdivision. Nullstellen des Nenners suchen und Nenner dmit zerlegen. unbestimmter Anstz des Restbruchs, nlog zum Beispiel: A B = + ² ( ( +. mit Nenner multiplizieren und die Nullstellen einsetzen liefert A und B. Integrtion der Prtilbrüche (werden meist Logrithmen! Übungen zur Prtilbruchzerlegung: ² + 6 d 7 d 8 ² 9 d ² 9 ² d ² + 6b d 7b d + 8b d ² + ² 9b d ² 0 + ² 6c d + ² 7c + d 8 8c d ² 9c d ² + 6 Dr. Mnfred Gurtner 009 VHS Floridsdorf Integrtionsmethoden

5 Lösungen: (ohne +C ( + b ( c ( ( ( 7² ( ²² b c 8 8 b c 7 (7 7 ( ( ² 7 + 6³ ( b ( c 6 ( 0 6 ( ( ² + ³ ( ² b c 6 6b ( ³ ² 6c ² ln( ² + ln( ² 7 ln ( + 7b 7c 8 ln( 8b ln(²+ 8c ln( ² - cos( - sin( e 9 9b 9c 0 ( e 0b (² + e 0c (³ ²+6 6 e (-- e (ln b c ln ² ln ² b ³( ln 9 c sin cos cos + sin b cos sin cos( ² + ( sin( 9 7 sin ² = * sin sin = cos sin = cos sin + = cos sin + sin ² = cos sin + cos sin + sin ² = sin ² sin ² cos cos + : sin ² sin cos b + = sin + c e (sin cos / cos ² = cos b sin( cos( c ( ( 6 ² + 6b ² ² 6c 7 ln( 7b ( ln( + 7c, ( ln( + + ( ln( + + ln( 8b ln( ln( -+ 8c 8 ln( +7 ln( ln( - + ln( + + 9b 9 ln( - ln( + ln( LINKS: Substitution: prtielle Integrtion: Prtilbruchzerlegung: Integrtionsmschine (Mthemtic llgemeines: + 9c ( Dr. Mnfred Gurtner 009 VHS Floridsdorf Integrtionsmethoden