TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr

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1 Praxis der Lebensversicherungs- mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr 1

2 Über mich 56 Jahre alt Mathematikstudium in Mainz Diplom 1983, Promotion 1988 Wissenschaftlicher Mitarbeiter der Uni Mainz von 1984 bis 1988 Ab 1988 Mitarbeiter der DBV Leiter der Produktentwicklung Leben/Rente Verantwortlicher Aktuar der winsecura Pensionskasse Zuletzt Abteilungsdirektor Zum mein Arbeitsverhältnis beim AXA- Konzern beendet 1999 erster Gaußpreisträger (damals Jahrespreis der DGVM) zusammen mit Markus Kreer Praxis der Lebensversicherungmathematik 2

3 Idee zu dieser Vorlesung Die Theorie zur Versicherungsmathematik ist schon lange besser und fortschrittlicher als die Wirklichkeit in der weitaus meisten LVU Diese verwenden noch Methoden, die tlw aus dem Beginn des vorigen Jahrhundert sind. Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit robust genug zu sein, wenn man genügend vorsichtig ist. Ziel der Veranstaltung ist, Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was Sie als Versicherungstechnik in der Wirklichkeit nach Ende des Studiums erw. Und Sie sollten damit umgehen können Praxis der Lebensversicherungmathematik 3

4 Ideen zu den Übungen Die üblichen Rechenbeispiele Dabei an DAV-Sterbetafeln orientieren, soweit einfach zugänglich Schrittweiser Aufbau eines EXCEL- Modells, das Beitrags-, Deckungskapitalund Überschussberechnung für eine oder zwei Versicherungsformen (z.b. Kapitalbildende LV und/oder Rentenversicherung) liefert Damit könnten auch Effekte bei Parameteränderungen studiert werden Praxis der Lebensversicherungmathematik 4

5 Unser Fahrplan oder: was Sie nach dem Sommersemester wissen sollten 11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik 12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsmathematik 13.Gesetzlicher Rahmen 14.Grundlegende Versicherungsformen Praxis der Lebensversicherungmathematik 5 5

6 21.Biometrische Rechnungsgrundlagen 22.Erlebensfall/Todesfallcharakter 23.Erstellung von Rechnungsgrundlagen 31.Kommutationswerte 32.Rentenbarwerte 33.Leistungsbarwerte 34.Weitere Rechnungsrundlagen 35.Äquivalenzprinzip Praxis der Lebensversicherungmathematik 6

7 41.Deckungskapital 42.Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung 43.Zillmerung 51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung 52.Grundsätze der Gewinnzerlegung 61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich) 62.Überschussermittlung 63.Beteiligung der Versicherungsnehmer Praxis der Lebensversicherungmathematik 7

8 71.Vertragsänderungen 72.Kündigung 73.Beitragsfreistellung 81.Weitere Vertragsänderungen 82.Erhöhungen, Herabsetzungen 91.Was gibt es noch / Was fehlt? 92.Ein paar Worte zur Rechnungslegung 93.Profitabilität 100.Was ist noch unklar? 101.Round up/ Ihre Kritik Praxis der Lebensversicherungmathematik 8

9 Literatur (eine Auswahl) Grimmer/Führer, Einführung in die LebensversicherungsmathematikVVW 2006 Isenbart/Münzer, Lebensversicherungsmathematikfür Praxis und Studium, Gabler, 3. A. (?) Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer Koller, Stochastische Modelle in der Lebensversicherung, Springer Praxis der Lebensversicherungmathematik 9

10 11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik Rechnungszins i Begriff Barwert Rentenbarwert 12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsmathematik Feste Buchstaben für gewisse Größen x, y stets Álter eines/r Mannes/Frau ä, a Rentenbarwert vor- /nachschüssig A Leistungsbarwert Praxis der Lebensversicherungmathematik 10

11 Praxis der Lebensversicherungmathematik 11

12 13.Gesetzlicher Rahmen 14. Grundlegende Versicherungsformen Gesetze VAG (VersicherungsaufsichtsGesetz VVG (VVertragsGesetz) Dazu z.b. Rechtsverordnungen DeckRV HGB Personenversicherung KV (PK, PF) LV und RV RisikoV Kapitalbildende LV RV aufgeschoben RV sofort beginnend Dazu BU/EU + + Exoten wie Aussteuer Praxis der Lebensversicherungmathematik 12

13 Allgemeine Struktur eines Vers.Vetrags 1 Haupversicherung + zzgl Zusatzversicherungen Beitragszahlweisen: normalerweise 1/1- jährliche Kalkulation Mögliche Zwen: EB, 1/1, ½, ¼, 1/12 Evtl. abgekürzt Optionen Bfreistellung, Rückkauf + evtl. weitere Andere Versicherungsformen Fondsgebundene, AILV Hinterbliebene Kapitalisation Verantwortlicher Aktuar 12a VAG Dauerhafte Erfüllbarkeit der Verpflichtungedn Testat DeckR in Bilanz Erläuterungsbericht, Vorschlag Übbeteiligung Praxis der Lebensversicherungmathematik 13

14 21.Biometrische Rechnungsgrundlagen Wichtigster Parameter neben i - der Beitragskalkulation und Reservestellung Leben de Ausscheideord nung Sterbetafel Tote Beschreibung der Ausscheideordnung Einfache Version: Periodentafeln Für x=0 bis ω Lebende Anwärter Praxis der Lebensversicherungmathematik 14 Reaktivierte qx = Wkeit eines x-jährigen vor Vollendung des x+1- ten Lebensj. zu sterben Reaktivierungs Wkeit Invalide Invali -den- Sterblichk. Tote

15 Außer Sterbewkeit noch wichtig: Weitere Ausscheideordnungen Invalidisierungswk Erwerbsunfähigkeit Wkeitim Zeitpunkt des Todes verheiratet Wkeitim Alter x zu heiraten Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung = die, mit denen kalkuliert wird 2. Ordnung =tatsächlich beobachtete Probleme Gesundheitsprüfung, listenmäßige Annahme Versicherten-/ Arbeitnehmerkollektive Extreme Situationen preferrred lives Medizinischer Fortschritt Praxis der Lebensversicherungmathematik 15

16 Hinweis Hiermit erhalten Sie das zweite Päckchen der Folien zu dieser Veranstaltung. Bitte beachten Sie, dass diese nicht alles Relevante enthalten. Wichtig sind vor allem auch die Übungen Hier wird auch nur hier vorkommender Stoff behandelt das gesprochene Wort in der Vorlesung, sowie alles, was an der Tafel steht Praxis der Lebensversicherungmathematik 16

17 22. Erlebensfall/Todesf allcharakter Thema Unisex Übungen Todesfallcharakter = Erhöhung der qxbewirkt Verteuerung des Versicherungsprodukts/ Erhöhung der Verpflichtung; Bsp. Risikoversicherung Erlebensfallcharakter = Erhöhung der qxbewirkt Verbilligung Reduktion; z.b.: Rentenversicherg 23.Erstellung von Sterbetafeln Schritt 1: Ermittlung der rohen Sterbewk. Ausgleichen Schritt 2: Zu/Abschläge für Irrtum, Schwankg, Selektion Praxis der Lebensversicherungmathematik 17

18 Schritt 3: Vom Geburtsjahr abhängige Zuschläge für den Trend bei der Sterblichkeit für Versicherungen mit Erlebensfallchar., vo r allem Renten Bei Todesfallchar evtlraucher/ Nichtraucher unterschieden Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln Aber vorher noch ein paar Worte zum Rechnungszins i Festgelegt in Deckrv ist nur der HöchstRz für die Reservierung Fragwürdiger Formalismus (60% der Durchschnitts- Rendite öffentlicher Anleihen ) Praxis der Lebensversicherungmathematik 18

19 Wir wiederholen nochmals die festen Bezeichnungen für Parameter: x/y Alter Mann/Frau n Dauer, Vers.dauer t Dauer, BZD m abgel. Dauer s Dauer, Aufschubzeit i Rechnungszins v = 1/(1+i) d = i/(1+i) = 1 -v Praxis der Lebensversicherungmathematik 19

20 GRUNDSATZ der Kalkulation Es wird immer deterministisch nie stochastisch gerechnet. Um trotzdem brauchbare Ergebnisse zu erzielen, ist besondere Vorsicht (Zuschläge) notwendig Praxis der Lebensversicherungmathematik 20

21 31.Kommutationswerte Formaler Kalkül, der mit wenig Tabellen alle wesentlichen Größen der Kalkulation mit geringem Aufwand errechnen lässt Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen: Barwerte für A einmalige Todesfallleistung E einmalige Erlebensfallleistung a wiederkehrende Erlebensfallleistung dabei a=nachschüssig und ä=vorschüssig Index rechts unten: grundlegendes Alter (x oder y oder xy) Rechts daneben unter Winkel: Dauer (n oder t)) Praxis der Lebensversicherungmathematik 21

22 Die Grundregeln (Fortsetzung) Rechts oben: von jährlicher Zahlweise abweichende Zahlweise Links unten weitere Zeitparameter, dabei wichtig Aufschubzeit mit senkrechtem Strich rechts daneben: n A a ä Praxis der Praxis der Lebensversicherungmathematik 22

23 Dritte Folge. Was bisher geschah: Das letzte Mal reservierte Schreibweisen behandelt. Dazu Korrektur. Für Leistungsbarwert einer RisikoLVist gebräuchlicher: (statt ) In Übungen durchschnittliche Lebenserwartung behandelt, hier kurzer Abriss an geeigneter Stelle. Dazu werden auch Tafeln zum Download zur Verfügung gestellt. Praxis der Lebensversicherungmathematik 23

24 Berechnung eines Rentenbarwertes: Wir erinnern uns [mit v = 1/(1+i)] Jetzt mit Biometrie. Dazu ist zusätzlich gegeben für x=0,,ω: q x (1 jährige Sterblk) Daraus (1 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit) Weiterhin nützlich Praxis der Lebensversicherungmathematik 24

25 Damit Die lebenslängliche Variante wäre bei q x =0 ohne Biometrie Praxis der Lebensversicherungmathematik 25

26 Und da für gilt, wenn v < 1 ä= 1/(1-v) =1/d Wenn wir nun an interessiert sind, können wir genauso rechnen und haben keine Probleme mit dem Limes, da somit Praxis der Lebensversicherungmathematik 26

27 Die klassische Versicherungsmathematik berechnet (mit dem gleichen Ergebnis) anders: Berechne zu normiertem Startwert: die Lebenden (Anmerkung l x+k /l x = k p x ) Zwischenbemerk: Mittlzuk.Leb.erwartg= Praxis der Lebensversicherungmathematik 27

28 0, , , , qdav95(x) qbrdalt(x) qbrdneu(x) q(x) qdav95(y) qbrdalt(y) qbrdneu(y) q(y) 0, , , Praxis der Lebensversicherungmathematik 28

29 95,0 AV95(y) BRDalt(y) 90,0 BRDneu(y) ADSt ,0 80,0 75,0 70, Praxis der Lebensversicherungmathematik 29

30 Hieraus die diskontierten Lebenden und Toten, D und C Hieraus die Summen N und M der D und C Sowie für einige exotischen Versicherungen die Summen T, S der Summen Praxis der Lebensversicherungmathematik 30

31 32. Rentenbarwerte Dann ist Und So ergibt sich Praxis der Lebensversicherungmathematik 31

32 Spezialfall x+n= ω, dann D x+n = 0, damit ä x a x = 1 0 = 1 was aber auch mit bloßem Auge zu erkennen ist Bemerkung: diese Herleitungnutzt die Überlebenden (l x ) des Alters x. Genau so hätte man dies auch über die Toten (d x ) tun können vielleicht eine Spur umständlicher. Es gilt Praxis der Lebensversicherungmathematik 32

33 Rekursionsbeziehungen Oder anders herum Praxis der Lebensversicherungmathematik 33

34 Unterjährige Beitragszahlung (Zwe) Man kalkuliert meist mit jährlichen Werten Für die Prämie (Beitrag) wird bei unterjähriger Zahlweise meist ein Zuschlag verwendet. Dieser muss (neuerdings) belegt werden. Üblich für den Zahlungsweisezuschlag sind Werte wie: Zahlungs -weise Zuschlag bei Normalgeschäft Praxis der Lebensversicherungmathematik 34 Zuschlag bei Großgeschäft 1/ 2 2.0% 1.0% 1/4 3.0% 2.0% 1/12 5.0% 2.5%

35 Unterjährige Rentenzahlung (Fortsetzung) Davon zu unterscheiden die Modifikation eines (natürlich zunächst für jährliche Zahlungsweise) gegebenen Rentenbarwertes. Problem: Einfache und auch weit verbreitete Lösung: verwende als Korrektur Abzugin Höhe von (k-1)/2k (vorsch) bzw. (k+1)/2k (nachsch.) also z.b. Praxis der Lebensversicherungmathematik 35

36 33.Leistungsbarwerte Risikoversicherungen A IA DA siehe Übungen Kapitalbildende ( gemischte ) Versicherung A siehe Übungen Termfix-Versichertung Rentenverscherung Aufgeschoben siehe Übungen Sofort beginnend Mit Garantiezeit Mit Beitragsrückgewähr im Todesfall Praxis der Lebensversicherungmathematik 36

37 Einige wichtige Leistungsbarwerte(siehe auch Übungen) Praxis der Lebensversicherungmathematik 37

38 Weitere wichtige LBW Praxis der Lebensversicherungmathematik 38

39 Dieses war der dritte Streich: Leistungsbarwerte und Rentenbarwerte Einfach mit Hilfe von Kommutationswerten Darstellen. Mit kommutationswerten spielen und umgehen können. doch der vierte kommt sogleich Damit sind wir in der Lage tatsächlich relevante Beiträge auszurechnen Praxis der Lebensversicherungmathematik 39

40 Was wir jetzt schon könnten, ist die Nettoprämie NP für einen Versicherungsvertrag zu bestimmen NP ist eine an sich für den Kunden irrelevante Größe, da sie z.b. keine Kosten berücksichtigt. Sie spielt aber bei der Rechnungslegung (z.b. bei der Zerlegung von Beiträgen und Gewinnquellen) eine wichtige Rolle NP = (Leistungsbarwert) / ä xt Praxis der Lebensversicherungmathematik 40

41 34.Weitere Kosten, Kosten der Verwaltung, des Abschlusses, Abschlusskosten α z Zillmersatz, in %o Bsumme, also t*b*α z α g lfdak während bpflzeit in %B oder %ovsentweder zur Darstellung von lfdprovision oder Amortisationskosten Praxis der Lebensversicherungmathematik 41

42 Verwaltungskosten β γ 1 γ 2 γ 4 in % B Inkassokosten in %o Vers.Summewährend bpfzeit in %o Vers.Summewährend bfrzeit Dabei Unterschied, ob planmäßig oder außerplanmäßig bfr in % Rente während Rentenbezug Weitere Zuschläge Stk Stückkosten in pro Police σ Bspsweisein % LBW Praxis der Lebensversicherungmathematik 42

43 Damit kann nunmehr auch der Barwert der Kosten eines Vers.Vertragesermittelt werden. Schließlich muss noch der Barwert der Beiträge berechnet werden. Wie heißt die nahezu triviale Überlegung, die uns die Berechnung des Bruttobeitrages ermöglicht? Praxis der Lebensversicherungmathematik 43

44 35. Äquivalenzprinzip Barwert der Leistungen = Barwert der Beiträge oder auch genauer Barwert der rechnungsmäßigen Leistungen = Barwert der rechnungsmäßigen Gegenleistungen Praxis der Lebensversicherungmathematik 44

45 Also hier ein allgemeines Beispiel Nach einer kleinen Rechnung ergibt sich: VS Praxis der Lebensversicherungmathematik 45

46 Beispiele an der Tafel Praxis der Lebensversicherungmathematik 46

47 Weitere Punkte Netto-Prämie (Netto-Beitrag) Ausreichende Prämie (Brutto-Beitrag) Zillmer-Prämie Spar-Prämie Eintrittsalter Beitragsberechnung Praxis der Lebensversicherungmathematik 47

48 41.Deckungskapital Bei Versicherungsformen, die zum Schluss größere Geldbeträge zur Verfügung stellen (gemkapitalvaber auch Rentenversicherungen zum Ende der Aufschubteit) ist ein Ansparkonto einsichtig Aber auch sonst wird ein Ausgleich benötigt, wie folgendes Beispiel (Tafel) zeigt: Praxis der Lebensversicherungmathematik 48

49 Beispiele an der Tafel Prämienreserve Deckungsrückstellung Deckungskapital Ausgleich Rechnungsgrundlagen Ansparvorgang Kontoführung Beitragsfreie Zeiten Praxis der Lebensversicherungmathematik 49

50 Beispiele Gemischte Kapitalversicherung Todesfallleistung > Riskiertes Kaptal Achtung : Verzinsung & Ver-qx-ungder Risikobeiträge Praxis der Lebensversicherungmathematik 50

51 x+t=50 x+t=55 x+t=60 x+t=65 x+t=50 x+t=55 x+t=60 x+t= Praxis der Lebensversicherungmathematik 51

52 Achtung!! Ansparvorgang unterschiedlich bei Rente in Aufschubzeit -> GemKap Rente vererbt (negatives Risiko) Kapitalversicherung kostet (normales Risiko) Nächstes Beisp: Risikoversicherung mit konstanter Versicherungssumme Praxis der Lebensversicherungmathematik 52

53 Praxis der Lebensversicherungmathematik 53

54 Risikoversicherung lebenslang = Gemischte Kapitalversicherung mit Endalter ω Nächste Beispiel: Fallende Risikoversicherung Bisher alle Dken weitgehend positiv. Praxis der Lebensversicherungmathematik 54

55 Was aber ist das? Praxis der Lebensversicherungmathematik 55

56 Wie kommt sowas? DK steuert den Risiko-Ausgleich während der Versicherungsdauer. Wenn das benötigte Geld für die zukünftige Tragung des Risikos fällt, geht das DK unter Null Es gibt auch das Beispiel Praxis der Lebensversicherungmathematik 56

57 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0, ,5 Praxis der Lebensversicherungmathematik 57

58 Ist das schlimm? Ja, wgstorni Darum bedingungsmä0ig abfangen! Bisher immer DK vom Anfang her fortgeschrieben (retrospektiv) Es geht auch anders herum (prospektiv) Prospektiv: Praxis der Lebensversicherungmathematik 58

59 42.Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung Handelsgesetzbuch 3. Buch -Handelsbücher( e) 4. Abschnitt -Ergänzende Vorschriften für Unternehmen bestimmter Geschäftszweige ( p) Unterabschnitt -Ergänzende Vorschriften für Versicherungsunternehmen und Pensionsfonds ( p) Praxis der Lebensversicherungmathematik 59

60 4. Titel -Versicherungstechnische Rückstellungen ( 341e- 341h) 341f Deckungsrückstellung (1) Deckungsrückstellungen sind für die Verpflichtungen aus dem Lebensversicherungs- und dem nach Art der Lebensversicherung betriebenen Versicherungsgeschäft in Höhe ihres versicherungsmathematisch errechneten Wertes einschließlich bereits zugeteilter Überschußanteilemit Ausnahme der verzinslich angesammelten Überschußanteile und Praxis der Lebensversicherungmathematik 60

61 nach Abzug des versicherungsmathematischermittelten Barwerts der künftigen Beiträge zu bilden (prospektive Methode). Ist eine Ermittlung des Wertes der künftigen Verpflichtungen und der künftigen Beiträge nicht möglich, hat die Berechnung auf Grund der aufgezinsten Einnahmen und Ausgaben der vorangegangenen Geschäftsjahre zu erfolgen (retrospektive Methode). Praxis der Lebensversicherungmathematik 61

62 (2) Bei der Bildung der Deckungsrückstellung sind auch gegenüber den Versicherten eingegangene Zinssatzverpflichtungen zu berücksichtigen, sofern die derzeitigen oder zu erwartenden Erträge der Vermögenswerte des Unternehmens für die Deckung dieser Verpflichtungen nicht ausreicht Praxis der Lebensversicherungmathematik 62

63 Aber es gilt das erweiterte Äquivalenzprinzip Wenn das Deckungskapital einer Versicherung prospektiv berechnet werden kann, so ist dieses identisch mit dem retrospektiven Deckungskapital Praxis der Lebensversicherungmathematik 63

64 Bezeichnung: mv x Dabei m = abgelaufene Dauer (Jahre) x = ursprüngliches Alter (Eintrittsalter) Genau genommen ist m V x der Wert zum Zeitpunkt 1 Sekunde vor Beitragszahlung Also für NettoDKstets 0 V x = 0 Praxis der Lebensversicherungmathematik 64

65 Bisher eigentlich nur NettoDK betrachtet, aber es gibt auch ein KostenDK. Zunächst: betaund gammastk werden während der bpfl Zeit direkt verbraucht bleibt gammawährend beitrfr. Zeit (noch mit gamma2 und ggfalpha-g als Faktor zu ergänzen) Praxis der Lebensversicherungmathematik 65

66 43.Zillmerung Für Versicherungsverträge gibt es ein besonderes Verfahren zur Verrechnung von Abschlusskosten Die sog. Zillmerung. Nach Dr. August Zillmer(*1831, ) Die Zillmerunghat zum großen Erfolg der Lebensversicherung in Deutschland wesentlich beigetragen Praxis der Lebensversicherungmathematik 66

67 Die Idee: Die Kosten, die direkt bei Abschluss des Versicherungsvertrages entstehen, werden dem Kunden direkt in Rechnung gestellt (Dadurch hohe Abschlussprovisionen an Vermittler möglich). Der höchstmögliche Zillmersatz(=> Obergrenze für negativen Wert per Vertragsbeginn) ist 40%o der Beitrags- Summe (t*b*40%o) Praxis der Lebensversicherungmathematik 67

68 In der Bilanz können für die negativen Werte nicht saldiert werden (auf 0 hochgesetzt). Aber sie werden als noch nicht fällige Forderungen an VN aktiviert. Praxis der Lebensversicherungmathematik 68

69 Man hat also zu tilgen während Beitragspflicht Zillmerbetrag/ä x,t Dabei i.a. Zillmerbetrag = Zillmersatz*t*B Also ist das gezillmertedk Praxis der Lebensversicherungmathematik 69

70 Beispiele , , , , , , ,00 Praxis der Lebensversicherungmathematik 70

71 Beispiel Tafelwahl 1 äxt 12, n 15x= 50 Sex 2 äxn 12, alpha-z= 0,04000B= 3.383,80 i 1,75% d= 0,017199beta= 0,03000NP= 3.024,55 x+n 65 v= 0,982801gamma-1= 0,00200PZ= 157,73 x+t 65 gamma-2= 0,00125Kosten direkt 201,51 RentenZW 12 VS= KostResBfr= - LBWe NettoDK ausr DK ZillmerDK GesDK x+m v^x äxt äxn Axn gem Kap gem Kap gem Kap gem Kap 49 0, ,610 13,610 0, , ,872 12,872 0, , , , ,121 12,121 0, , , , , , ,358 11,358 0, , , , , , ,582 10,582 0, , , , , , ,793 9,793 0, , , , , , ,991 8,991 0, , , , , , ,174 8,174 0, , , , , , ,342 7,342 0, , , , , , ,494 6,494 0, , , , , , ,629 5,629 0, , ,06-887, , , ,746 4,746 0, , ,07-748, , , ,843 3,843 0, , ,93-606, , , ,919 2,919 0, , ,86-460, , , ,972 1,972 0, , ,19-311, , , ,000 1,000 0, , ,50-157, , , , , , ,00 Praxis der Lebensversicherungmathematik 71

72 Hier gibt es wieder Rekursionsformeln m+1v x = (D x+m { m V x + P m } C x+m )/D x+m+1 0V x = 0 1V x = (D x+1 *P 1 C x+1 ) / D x+2 Praxis der Lebensversicherungmathematik 72

73 Kapitalisation (keine Biometrie) n=t= 40 B=1000 α-z= 0,04 ß= 0,08 i= 1,75% v= 0,9828 äxn= 29,0946 Zillmerung= 1.600,00 Kostenb= 80,00 ZillmerB= 54,99 RisikoB= - SparB= 920,00 Praxis der Lebensversicherungmathematik 73

74 BSUM RKW (95%) RKW%BSUM 0Vx= , ,00 920,00-0% 1Vx= - 691,90 920,00-0% 228, ,00 216,70 12% 2Vx= 232, ,00 220,49 12% 1.152, , ,49 40% 3Vx 1.172, , ,64 40% 2.092, , ,64 54% 4Vx 2.128, , ,42 55% 3.048, , ,42 63% 5Vx= 3.102, , ,11 64% Praxis der Lebensversicherungmathematik 74

75 5.000, , , , , , ,00 Praxis der Lebensversicherungmathematik 75

76 Versicherungsmathematische Bilanzgleichung o V A x= -α z t P A ( m-1 V A x+ P A Γ m ) (1+i) = p ( V A + E ) + q T p x+m-1 ( m V A x+ E m ) + q x+m-1 T m m V A x= [1+i] { m-1 V A x+p A -Γ m )/p x+n-1 E m T m q x+m-1 /p x+m-1 Praxis der Lebensversicherungmathematik 76

77 Nach P A aufgelöst: P A = v q x+m-1 [T m m V A x E m ] + v E m + v mv A x m-1 V A x+ Γ m Riskiertes Kapital = T m mv A x Ex m Risikoprämie= P R = v q x+m-1 [T m m V A x E m ] Sparprämie= P S = v E m + v mv A x m-1 V A x Kostenprämie= P K = Γ m = VS γ+ ß PA+ Insgesamt gilt Beitragszerlegung: P A = P R + P S + P K Praxis der Lebensversicherungmathematik 77

78 Und wo steckt α z? In der Startposition < 0, also direkt Verbrauch Praxis der Lebensversicherungmathematik 78 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

79 51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung = vorsichtige Schätzung, so dass diese auskömmlich sind Ex post: man erkennt welches die richtigen Rechnungsgrundlagen gewesen wären. Diese Werte für i, K und q x bezeichnet man mit i, K und q x und nennt sie Rechnungsgrundlagen 2.Ordnung A priori Praxis der Lebensversicherungmathematik 79

80 Dazu benötigt man eine Analyse der Ergebnisse, also eine Aufteilung des Überschusses nach Gewinnquellen i <=> i Kapitalanlageergebnis q x <=> q x Sterblichkeitsergebnis K <=> K Kostenergebnis Dies wird für kleine separate Teile des Bestandes gemacht (Bestandsgruppen) und ist der BaFinzu melden. Praxis der Lebensversicherungmathematik 80

81 Ein paar Worte zur Rechnungslegung Bilanzdeckungsrückstellung Probleme Unterjährig < 0 Praxis der Lebensversicherungmathematik 81

82 letztes mal Zentrales Hilfsmittel bei Gewinnanalyse ist die Beitragszerlegung => Gewinnanalyse Wichtig für Rechnungslegung und Überschussbeteiligung => Gleichbehandlungsgrundsatz Praxis der Lebensversicherungmathematik 82

83 Gleichbehandlungsgrundsatz 11(2) VAG: Prämien und Leistungen müssen bei vorliegen gleicher Voraussetzungen nach gleichen Grundsätzen bemessen sein Unisex? Praxis der Lebensversicherungmathematik 83

84 52.Grundsätze der Gewinnzerlegung Wir brauchen eine Einschätzung, welche Beiträge zum Ergebnis in welcher Höhe bezogen auf i, q x und K entfallen. Diese resultieren aus den vorsichtigen Annahmen der Kalkulation (=> Rohüberschuss Dies auch noch für kleinste Bestands- Gruppen. Praxis der Lebensversicherungmathematik 84

85 Verordnung über die Berichterstattung von Versicherungsunternehmen gegenüber dem Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BerVersV) Gewinnzerlegung Praxis der Lebensversicherungmathematik 85

86 Gesamtbestand des LVU Altbestand Neubestand Abrechnungs- Verbände Bestandsgruppen Praxis der Lebensversicherungmathematik 86

87 Abrechnungsverbände des Altbestandes Einzelkapital- versicherung Großleben VBG-VersicherungenVersicherungen Gruppen-Kapitalvers. Nach Sondertf Rentenversich. BU/EU Bausparrisiko Fondsgebundene Pflege Sonstige Praxis der Lebensversicherungmathematik 87

88 Bestandsgruppen 100 Inlandsgeschäft (einschließlich Dienstleistungsgeschäft) 3) 110 Einzelversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 111 Kapitalbildende Lebensversicherung (einschließlich vermögensbildende Lebensversicherungen) mit überwiegendem Todesfallcharakter 112 Risikoversicherung 113 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter 114 Berufsunfähigkeitsversicherung (einschließlich Berufsunfähigkeits-Zusatzversicherungen) 4) 115 Pflegerentenversicherung (einschließlich Pflegerenten-Zusatzversicherungen) 4) 116 Übrige Tarife, aber ohne Sonstige Lebensversicherung (130) 117 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG Praxis der Lebensversicherungmathematik 88

89 Bestandsgruppen (Fortsetzung) 120 Kollektivversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 121 Kapitalversicherung ohne eigene Vertragsabrechnung mit überwiegendem Todesfallcharakter (ohne 122 und 123) 122 Bausparrisikoversicherung 123 Restschuldversicherung 124 Kollektivversicherung mit eigener Vertragsabrechnung 125 Übrige Tarife ohne eigene Vertragsabrechnung, aber ohne Sonstige Lebensversicherung (130) 126 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG 130 Sonstige Lebensversicherung 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 133 Tontinenversicherung 134 Kapitalisierungsgeschäfte 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertG Praxis der Lebensversicherungmathematik 89

90 Bestandsgruppen (Fortsetzung) 130 Sonstige Lebensversicherung 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 133 Tontinenversicherung 134 Kapitalisierungsgeschäfte 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertG 140 Eigenkapital und sonstige Dienstleistungen einschließlich des Geschäfts der Verwaltung von Versorgungseinrichtungen 200 Auslandsgeschäft (Niederlassungsgeschäft) Praxis der Lebensversicherungmathematik 90

91 61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich) Risikoergebnis Rohüber- schuss Kapitalanlageergebnis Kostenergebnis Weitere Quellen Praxis der Lebensversicherungmathematik 91

92 62.Überschussermittlung Risikoergebnis + Risikobeiträge./. Aufwendungen für Leistungsfälle + freiwerdendes DK Risikoergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik 92

93 Kapitalanlageergebnis + Erträge aus Kapitalanlagen./. Rechnungsmäßige Zinsen./. Aufwendungen Kapitalanlageergebnis - ordentliche/außerord. Erträge - Mischung & Streuung Praxis der Lebensversicherungmathematik 93

94 Verwaltungskostenergebnis./. Tatsächliche Abschlusskosten + rechnungsmäßige Abschlusskosten./. Tatsächliche Verwaltungskosten + rechnungsmäßige Verwaltungskosten Verwaltungskostenergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik 94

95 Weitere Quellen Rückversicherungsergebnis Stornoergebnis Sonstiges Ergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik 95

96 Wir erinnern uns an die Beitragszerlegung: P A = P R + P S + P K Hier nun die Kontributionsformel: E m A m = 0 (wgäquivalenzprinzip) aber: g x.m = E m A m = [E m E m ]-[A m A m ] = g x,m,q + g x,m,i + g x,m,k Kontributionsformel # Hierbei ist g x,m,q das Risikoergebnis g x,m,i das Kapitaslanlageergebnis g x,m,k das Kostenergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik 96

97 Dabei g x,m,q = [T x,m E xm m-1 V xa ] {q x+m-1 -q x+m-1 } g x,m,i = [ m-1 V xa +P B m-k x,m ] {i -i} g x,m,k = [(P B m NP m ) K x,m ] {1 + i} Praxis der Lebensversicherungmathematik 97

98 Gewinnbeteiligung/Überschussbeteili gung Gewinn- beteiligung Lfd Über- schussbeteiligung Schlussüber- schuss- Beteiligung Leistungs- fallbonus Praxis der Lebensversicherungmathematik 98

99 Wir haben das letzte mal gelernt Wie der Beitrag zerlegt wird Wie die Deckungsrückstellung zerlegt und fortgeschrieben wird (Kontributionsformel) Wie der Rohüberschuss ermittelt wird Welche Eigenschaften die Überschussbeteiligung haben muss Welche Rolle die RfBdabei spielt Praxis der Lebensversicherungmathematik 99

100 Gewinnbeteiligung soll Zeitnah ausschütten Verursachungsgerecht Gleichbehandlung Möglichst ausgeglichen RfB(Rückstellung für Beitragsrückerstattung Praxis der Lebensversicherungmathematik 100

101 Gewinnbeteiligung/Überschussbeteili gung Gewinn- beteiligung Lfd Über- schussbeteiligung Schlussüber- schuss- Beteiligung Leistungs- fallbonus Praxis der Lebensversicherungmathematik 101

102 RfB Freie Gebundene SÜA-Fond Interessant Beschränkungen gegen zu fette RfB - steuerlich 4% Rendite auf Stammkapital < letzte 2 Zuführungen -BaFin Praxis der Lebensversicherungmathematik 102

103 Aufsichtsrechtliche Beschränkungen der RfB 1984 RQV -> 1996 ZRQuotenV-> 2006 MindestZV(Neubestand) MindestbetRisiko/Kosten/Kapitalanl/sonst. Ergebnis 75% 50% 90% 50% Berücksichtigung BWR Gilt für normale LVU Ausnahmen 56a(3) VAG Unvorhersehbare Verluste Erhöhung der Deckungsrückstellung Praxis der Lebensversicherungmathematik 103

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