Lebensversicherungsmathematik Vorlesung am Institut für Mathematische Stochastik der Universität Hannover

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1 Lebensversicherungsmathematik Vorlesung am Institut für Mathematische Stochastik der Universität Hannover von Dr. Matthias Brake Sommersemester

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Was ist eine Versicherung? Einteilungsprinzipien für Versicherungsformen Aufgaben der Versicherungsmathematik Deterministische Modelle Lebensversicherung Elementare Finanzmathematik Die diskontinuierliche Methode Beispiele für Verzinsung kontinuierliche Methode Beispiele für Verzinsung Effektiver und nomineller Zinssatz Zeitrenten und ihre Barwerte von zinsbehafteten Zahlungen Zukünftige Lebenserwartung eines x-jährigen Einleitung vollständige Restlebenserwartung eines x-jährigen Sterbeintensität Stationaritätsbedingung Diskretisierung: ganzzahlig gestutzte zukünftige Verweildauern Sterbetafeln Arten von Sterbetafeln Vorgehensweise beim Herleiten einer Sterbetafel In der Praxis verwendete Sterbetafeln Leistungen und Barwerte Einleitung, Definition und Beispiele Berechnung von erwarteten Barwerten bei unterjährlicher Zahlungsweise Kommutationszahlen Einleitung und Definition Versicherungen mit ausschließlich Erlebensfallcharakter Versicherungen mit ausschließlich Todesfallcharakter Prämien Modellvoraussetzungen der klassischen LV Nettoprämie = Nettobeiträge Jahresnettoprämien Unterjährliche Renten und unterjährliche Beiträge Gebräuchliche Näherungsverfahren zur Berechnung unterjährlicher Beiträge (nicht in der Vorlesung behandelt) Kosten und Bruttobeiträge Kostenschlüsselung Allgemeine Berechnung der ausreichenden Prämie

3 INHALTSVERZEICHNIS Tarif- und Bruttoprämie Der Gleichbehandlungsgrundsatz 63 8 Der Verantwortliche Aktuar 65 9 Deckungsrückstellungen in der LV Einleitung Das prospektive Deckungskapital Klassische Lebensversicherung Rekursionsformel und retrospektive Darstellung Zerlegung der Nettoprämie in Spar- und Risikoanteil Gezillmerte und ausreichende Deckungsrückstellung Formeln für das gezillmerte und ausreichende Deckungskapital Bilanzdeckungsrückstellung Überschussbeteiligung in der Lebensversicherung Bilanz und GuV: Bilanz Die Gewinn- und Verlustrechnung (GuV) eines Lebensversicherers Überschussentstehung: Die Ursachen des Überschusses und seine Quellen. Kontributionsgleichung Kontributionsgleichung Überschussverteilungssystem Natürliche Dividendensysteme Mechanische Dividendensystem Überschussverwendungsarten Schlussüberschussbeteiligung Finanzierbarkeit der Überschussbeteiligung, Profit-Testing Varianten des Finanzierbarkeitsnachweises Rechtliche Rahmenbedingungen Rechtliche Rahmenbedingungen der Prämienkalkulation und der Wahl der Rechnungsgrundlagen Gesetzliche Vorgaben zur Berechnung von Deckungsrückstellungen Garantiewerte Aktuarverordnung, Erläuterungsbericht 109

4 1 EINLEITUNG 4 1 Einleitung 1.1 Was ist eine Versicherung? Aus Sicht des Versicherungsnehmers (VN): Mittel seiner individuellen Risikopolitik Aus Sicht des Versicherers (VR): Schutzversprechen als produziertes Wirtschaftsgut. Aus gemeinsamer Sicht: Finanzieller Risikotransfer vom VN auf den VR gegen Entgeltzahlung. Es sind mehrere Teilgebiete betroffen: 1. ökonomisches Phänomen 2. juristisches Phänomen 3. mathematisches Phänomen 4. medizinisches und technisches Phänomen etc. Die Versicherungswissenschaft ist somit interdisziplinär. Definition (Farny, 1988, S. 870) Versicherung ist die Deckung eines im einzelnen ungewissen, insgesamt geschätzten Mittelbedarfs auf der Grundlage des Risikoausgleichs im Kollektiv und in der Zeit. Es gibt drei Hauptmerkmale des Versicherungsgeschäftes: 1. Finanzierung aus den Entgelten, 2. Unsicherheit hinsichtlich des versicherten Ereignisses, 3. Risikokalkulation und Risikoausgleich. Der letzte Punkt stellt die Abgrenzung zum Bankgeschäft dar. Bei diesen Hauptmerkmalen bleibt die Unsicherheit bei den Prämienzahlungen zunächst unberücksichtigt. Die Unsicherheit bezieht sich hier nur auf das Risiko. Dabei besteht die Unsicherheit in Bezug auf: Tatsache des Eintritts des Risikos (Eintritt ja oder nein?), Zeitpunkt des Eintritts, Qualität des Eintrittes des Risikos (Art und Ausmaß). Bei der Modellierung der Unsicherheit sind zufällige Momente von Bedeutung. Hier kommt die Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik) ins Spiel.

5 1 EINLEITUNG 5 Fazit: Die Stochastik ist Basis der Versicherungsmathematik! 1.2 Einteilungsprinzipien für Versicherungsformen Die folgenden Einteilungsprinzipien für Versicherungsformen sind praxisorientiert und historisch gewachsen. Sie sind nicht disjunkt. Eine Einteilung kann beispielsweise erfolgen nach Art des versicherten Gegenstandes Personenversicherung Sachversicherung Vermögensversicherung (z.b. Haftpflicht) nach Art der Versicherungsleistung (s. VVG) Summenversicherung (fester Geldbetrag nach Eintritt des Versicherungsfalles ohne Nachweis eines konkreten Schadens) Schadenversicherung (vertragsmäßiger Ersatz des eingetretenen Schadens nach Art der versicherten Gefahr (Risikoart) Einbruchdiebstahlversicherung Feuerversicherung Glasbruchversicherung etc. Diese Einteilungsprinzipien ziehen eine Bildung von Versicherungszweigen und -sparten nach sich, welche wichtig sind für: die Kalkulation einer risikogerechten Prämie, die Vertragsverwaltung und die Ergebnisermittelung im Rahmen der Rechnungslegung. In dieser Vorlesung befassen wir uns mit der Personenversicherung und hier vorwiegend mit der Lebensversicherung (LV). 1.3 Aufgaben der Versicherungsmathematik Bereitstellung von mathematischen Modellen und Methoden, die die quantifizierbaren Sachverhalte des Versicherungswesens beschreiben oder erklären oder

6 1 EINLEITUNG 6 mit deren Hilfe Entscheidungproblem der Versicherungswirtschaft gelöst werden. Anmerkung: Recht abstrakte Umschreibung der Aufgaben der Versicherungsmathematik. Man unterscheidet zunächst zwischen drei (nicht disjunkten) Zweigen der Versicherungsmathematik: Personenversicherungsmathematik Schadenversicherungsmathematik Finanzmathematik Die Protagonisten in der Versicherungsmathematik sind die Versicherungsmathematiker und Aktuare (Begriffe häufig synonym verwendet). Die Hauptaufgaben der Versicherungsmathematik bestehen aus: mathematische Beschreibung des versicherten Risikos bis hin zur Erstellung von statistisch gesicherten Rechnungsgrundlagen (LV: Schätzung und Vertafelung von Ausscheide- und Überlebenswahrscheinlichkeiten) Tarifierung und Prämienkalkulation (LV: Berechnung von Barwerten, Nettoprämien, Kosten, Deckungskapitalien etc.) versicherungstechnische Analysen (LV: Überschussermittelung, Überschusszerlegung nach Gewinnquellen, Renditeberechnungen etc.) Risikoteilung VN - VR - Rückversicherer (hier: nicht behandelt) Berechnung von Rückstellungen für die Schadenabwicklung, von Schwankungsrückstellungen und Sicherheitsreserven (Solvabilitätsüberlegungen) (hier: nicht behandelt) Überlegungen zur Beschreibung des Zinsrisikos und zur Steuerung von Kapitalanlagen (hier: nur am Rande behandelt) In diese Probleme spielen häufig außermathematische Überlegungen, zum Beispiel betriebswirtschaftlicher oder steuerlicher Natur, hinein. Fazit: Ein Versicherungsmathematiker bzw. Aktuar ist folglich nicht nur ein Produktentwickler im Versicherungswesen, sondern (mit-)verantwortlich für viele Belange des VR. 1.4 Deterministische Modelle In der Praxis der Personenversicherung werden in der Regel deterministische Modelle und Methoden verwendet. Aus wissenschaftstheoretischer Sicht sind

7 1 EINLEITUNG 7 dies Erklärungsmodelle: Deterministische Modelle: Eingangs- und Zielgrößen werden als deterministisch angesehen (LV: Zins, Kosten etc.) oder durch ihre Erwartungswerte ersetzt (rechnungsmäßige = erwartete Anzahl von Leistungsfällen, erwartete Schadenhöhen) Eingangsgrößen bestimmen / erklären Zielgrößen im Ergebnis reines Mittelwertkalkül Nachteile deterministischer Modelle: Modell ungeeignet, wenn Zufallsschwankungen um den Mittelwert von Bedeutung sind (z.b. bei der Betrachtung von Großschäden in der Schadenversicherungsmathematik) keine fundierte Risikobewertung möglich keine Berechnung von Sicherheitszuschlägen möglich. Man unterscheidet bei der deterministischen Methode zwischen der kontinuierlichen Methode und der diskontinuierlichen Methode: diskontinuierlich = diskret höchstens abzählbare Menge von Zeitpunkten (meistens äquidistant), zu denen die relevanten Ereignisse auftreten oder registriert werden (ggf. Diskretisierung erforderlich) kontinuierlich = stetig Verteilung der Zufallsvariablen, die Zeiten modellieren, besitzen (Lesbuege-) Dichten. In der Praxis treten häufig gemischte Modelle auf: Zeitvariablen, die Gegenstand vertraglicher Regelungen und Einschränkungen sind (z.b. Prämienzahlungen, Leistungszeiten, Stornozeiten etc.) sind in der Regel diskret. biometrische Variablen (z.b. Todesfallzeitpunkt, Individualisierungszeitpunkt etc.) sind in der Regel kontinuierlich. Die Unterscheidung zwischen diskontinuierlichen und kontinuierlichen Modellen ist historisch gewachsen. In der Praxis wird häufig die diskontinuierliche Methode, in der Theorie wird häufig die kontinuierliche Methode verwendet. In dieser Vorlesung wird vorwiegend die diskontinuierliche Methode angewendet! 1.5 Lebensversicherung Charakter einer Lebensversicherung: Langfristiges Versicherungsverhältnis!

8 1 EINLEITUNG 8 Folgerung: Der Preis der Versicherung muss sorgfältig und vorausschauend bestimmt werden. Die verschiedenen Lebensversicherungsverträge kann man nach unterschiedlichen Kriterien einteilen: 1. Unterscheidung nach dem versicherten Ereignis Versicherungen auf das Leben oder den Tod Erwerbsunfähigkeitsversicherungen Krankenversicherungen (hier nicht behandelt) 2. Unterscheidung nach Erbringung der Leistung Versicherung auf das Leben oder den Tod Altersrente (mit Garantiezeit) Erlebensfallversicherung (lebenslängliche) Todesfallversicherung gemischte Versicherung (klassisches Beispiel!) Witwen- / Witwerrente Waisenrente Versicherung auf zwei Leben Rückgewähr (Zusatzversicherung, Todesfallversicherung in Höhe der bezahlten Beiträge) Erwerbsunfähigkeitsversicherung Invalidenrente Invaliditätskapital Prämienbefreiung Invalidenkinderrente 3. Unterscheidung nach versicherbaren Risiken Todesfallrisiko Unfalltodrisiko Erlebensfallrisiko Berufsunfähigkeitsrisiko, Erwerbsunfähigkeitsrisik, Arbeitsunfähigkeitsrisik Pflegebedürftigkeitsrisiko

9 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 9 Heiratsrisiko Arbeitslosigkeitsrisiko Finanzierungsarten: Die Finanzierung in der Lebensversicherung erfolgt in der Regel die laufende Prämienzahlung oder gegen Zahlung eines Einmalbeitrages. Das Hauptprinzip bei der Berechnung der Versicherungsprämien ist das Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass der Wert der Leistungen des Versicherers dem Wert der Leistungen des Versicherungsnehmers entsprechen muss. 2 Klassische oder elementare Finanzmathematik: Der Zins als Rechnungsgrundlage Neben der Wahrscheinlichkeitstheorie (Sterbewahrscheinlichkeit, Ausscheideordnung etc.) spielt der Zins als weitere Rechnungsgrundlage eine entscheidende Rolle in der Lebensversicherungsmathematik. Man unterscheidet wie in der Versicherungsmathematik üblich zwischen der diskontinuierlichen Methode und der kontinuierlichen Methode. Dies bezieht sich auf die Änderung des Kapitals bzw. auf den Zeitpunkt der Zinsgutschrift. Während der gesamten Vorlesung gehen wir davon aus, dass der Zins nicht stochastisch, sondern deterministisch ist. Ein stochastischer Zins ist Gegenstand der Finanzmathematik (stochastische Prozesse, Brownsche Bewegung). 2.1 Die diskontinuierliche Methode Der Zinssatz wird für einen Basiszeitraum festgelegt. Der Zins wird immer nur am Ende einer bestimmten Periode gutgeschrieben. Das Kapital ändert sich in diesen Punkten sprunghaft. Dabei sind nicht Gründe für die Zinszahlungen interessant, sondern nur die Auswirkungen der Zinszahlbuchungen auf die Änderung des Kapital (Zinstheorie ist Gegenstand der Wirtschaftswissenschaften). Einige wichtige Begriffe: Konversionsperiode: Zeitraum, an dessen Ende die Zinsen gutgeschrieben werden. Oft beträgt die Länge einer Konversionsperiode ein Jahr.

10 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 10 Die Zinszuschreibung erfolgt nur zu bestimmten festen Zeiten, oft in gleichlangen Konversionsperioden. Am Ende dieser Konversionsperiode steigt das Kapital sprunghaft. effektiver Zins: Wenn die Konversionsperiode mit der Basiszeiteinheit übereinstimmt, dann heisst der Zins, der in dieser Zeiteinheit auf das Kapital 1 gezahlt wird, effektiver Zins. Die Angabe der Basiszeiteinheit, auf die sich der effektive Zins bezieht, ist somit immer erforderlich Beispiele für Verzinsung Sei i ein effektiver jährlicher Zinssatz. Zur Vereinfachung sei angenommen, dass i für alle Jahre identisch ist. Wir betrachten ein Bankkonto oder einen Fonds und ein Anfangskapital F 0, das investiert wird. Am Ende des Jahres k wird ein zusätzlicher Betrag r k investiert, k = 1,..., n. Frage: Wie sieht das Guthaben am Ende des n-ten Jahres aus? Sei F k das Guthaben am Ende des Jahres k, einschließlich der Zahlung r k. Dann gilt: F k = F k 1 + if k 1 + r k, k = 1,..., n F k (1 + i)f k 1 = r k, k = 1,..., n Multipliziert man die untere Gleichung mit (1 + i) n k und summiert über alle k, ergibt sich: n F n = (1 + i) n F 0 + (1 + i) n k r k. (1) k=1 Zusammengesetzte Verzinsung (Zinseszins) Interpretation: Das Kapital am Ende eines Zeitintervalls ist der verzinste Wert des Anfangskapitals plus der Summe der verzinsten Zwischenzahlungen. Vielfach ist man auch an dem umgekehrten Vorgang interessiert. Wir definieren r := 1 + i (2) v := i. (3) r nennt man Aufzinsungsfaktor und v den Diskontierungsfaktor. Dann gilt:

11 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 11 n (1) v n F n = F 0 + v k r k. Der Zuwachs des Kapitals ergibt sich aus F k F k 1 = if k 1 + r k zu k=1 n F n F 0 = if k 1 + n k=1 k=1 als Summe der gutgeschriebenen Zinsen und der Gesamteinzahlung. r k Wir definieren weiter: d := 1 v. (4) d nennt man den jährlichen Diskont oder Vorauszins. Bemerkung Es gelten folgende Beziehungen: a) iv = d (5) b) dr = i. (6) Beweis: siehe Übung. Als weiteres Beispiel betrachten wir die einfach Verzinsung: Sei dazu die Konversionsperiode ein Jahr, i der verwendete Zinssatz und F 0 das Anfangskapital. Es werden am Ende jeder Konversionsperiode nur die Zinsen auf das Anfangskapital gezahlt. Am Ende des n-ten Versicherungsjahres liegt dann folgendes Kapital vor: F n = F 0 + if 0... if } {{ } 0 = F 0 (1 + ni) Aufzinsung. n mal Analog erhält man für die Abzinsung bei der einfachen Verzinsung: F 0 = F n 1 + ni. 2.2 kontinuierliche Methode Das Kapital wächst nicht sprunghaft zu gewissen Zeitpunkten, sondern stetig in jedem Zeitpunkt.

12 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK Beispiele für Verzinsung i) Einfache Verzinsung: Sei K(t) das Kapital zum Zeitpunkt t und K(0) das Startkapital. Dann gilt: K(t) = K(0)(1 + ti) K(0) = K(t) 1+ti Aufzinsung Abzinsung ii) zusammengesetzte Verzinsung (auch geometrische oder mathematische Verzinsung): K(t) = K(0)(1 + i) t = K(0)r t Aufzinsung K(0) = K(t) (1+i) t = K(t)v t Abzinsung Neben der reinen diskontinuierlichen Methode und der reinen kontinuierliche Methoden betrachtet man auch die sogenannte iii) gemischte Verzinsung: Sei n t < n + 1. Dann gilt mit s = t n: K(t) := K(0)(1 + i) n (1 + s i). Die gemischte Verzinsung gehört zu den kontinuierlichen Methoden. Es handelt sich hier um die zusammengesetzte Verzinsung für die vollendeten Konversionsperioden und um die einfache Verzinsung für die angebrochene Konversionsperiode. iv) kaufmännische Verzinsung: Sei n t < n + 1. Dann gilt mit s = t n: K(t) = r n i(1 s). Die kaufmännischen Verzinsung gehört zu den kontinuierlichen Methoden. Es handelt sich hier um die zusammengesetzte Verzinsung bis zum Ende der laufenden Konversionsperioden und um die einfache Abzinsung auf den Zeitpunkt t. Allgemein lassen sich die Verzinsungen durch folgendes Modell zusammenfassen:

13 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 13 Definition Sei B R + der Anfangswert und K : [0; ) [1; ) eine monoton nicht fallende, rechtsseitig stetige Funktion mit K(0) = 1. Dann heißt K Kapitalfunktion oder Aufzinsungsfunktion. Die Größe S := B K(t) ist der Endwert des Startkapitals B zum Zeitpunkt t 0. r = K(1) heißt Aufzinsungsfaktor für das erste Jahr. i = r 1 heißt Zinssatz, v := 1 r heißt Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor und d := 1 v heißt der jährliche Diskont (Vorauszins). Bemerkung i) K ist eine endliche Verteilungsfunktion. ii) Geht man von einer Konversionsperiode von einem Jahr aus, so lassen sich die bisher genannten Verzinsungen wie folgt darstellen: a) einfach / lineare Verzinsung: K(t) = K E (t) = 1 + [t]i diskontinuierlich K(t) = K E (t) = 1 + ti kontinuierlich b) zusammengesetzte (geometrische) Verzinsung: K(t) = K Z (t) = r [t] diskontinuierlich K(t) = K Z (t) = r t kontinuierlich c) gemischte Verzinsung: K(t) = K G (t) = r [t] (1 + i(t [t])) kontinuierlich d) kaufmännische Verzinsung: K(t) = K K (t) = r [t]+1 1+i(1 (t [t])) kontinuierlich Lemma Bei kontinuierlicher Verzinsung gelten: a) K Z (t) K G (t) K Z ([t] + 1) b) K G (t) K Z (t) = (i δ)t + O(t 2 ) (t 0) mit K Z (0) = δ. c) K Z ([t]) K K (t) K Z (t) d) K Z (t) K K (t) = (δ d)t + O(t 2 ) (t 0). Beweis: Siehe Übung. 2.3 Effektiver und nomineller Zinssatz Eingangs haben wir schon von dem effektiven Zins für eine Konversionsperiode gesprochen. Ein Zins für eine Basisperiode heißt effektiv, wenn die Konversionsperiode mit der Basisperiode übereinstimmt. Ist dies nicht der Fall, so

14 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 14 kommen wir zu dem Begriff nomineller Zinssatz oder nominelle Zinsrate. Sei dazu I D := der tatsächliche Gesamtzins, der in einem Zeitintervall der Länge (0; 1] auf das Kapital 1 gezahlt wird. I = 1 1, Diskont zu I. 1 + I 1 + I Dann heißt NI := I die nominelle jährliche Zinsrate und ND := D die nominelle jährliche Diskontrate. Der nomminelle Zins ist somit der Jahreszins, der sich bei kontinuierlicher einfacher Verzinsung aus I berechnet. Für = 1/k schreiben wir auch NI := i (k) := ki 1/k und ND := d (k) := k D 1/k. Analog: Der effektive Jahreszins i ist der Zins, der bei kontinuierlicher zusammengesetzter Verzinsung zum Zins I für die Dauer t = führt: I = (1 + i) 1. Der effektive Jahresdiskont ist definiert als d := Bemerkung Offensichtlich gelten: i 1 + i. D = 1 (1 d), (7) i (k) = k((1 + i) 1/k 1), (8) d (k) = k(1 (1 d) 1/k ), (9) d (k) = i (k) v 1/k, (10) i = (1 + I ) 1/ 1, (11) d = (1 (1 D ) 1/ ). (12) Satz Der effektive Jahreszins ist stets höher als der nominelle Jahreszins: Es gelten i > I D, > d ( (0; 1), I > 0), (13) I lim D 0 = lim 0 = δ. (14) Beweis: Der erste Teil folgt gemäß Übung. Die zweite Zeile ergibt sich wie folgt: I lim 0 = lim r 1 0 = d dt t=0r t = log r,

15 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 15 und gemäß Definition von D D lim 0 = lim I = log r. 0 (1 + I ) 2.4 Zeitrenten und ihre Barwerte von zinsbehafteten Zahlungen Definition a) Eine Zeitrente ist ein vertraglich fixiertes System von zeitdiskreten Zahlungen an einen Vertragspartner, bei dem die Beträge und die Zahlungszeitpunkte, insbesondere also auch die Dauer, bei Vertragsabschluss festliegen. b) Vorschüssige Zahlungsweise: Die Zahlungen erfolgen zu Beginn des jeweiligen Rentenintervalls. Nachschüssige Zahlungsweise: Die Zahlungen erfolgen am Ende des Rentenintervalls. c) Der Barwert (Anfangswert) einer Zeitrente ist die Summe aller auf den Vertragsbeginn abgezinsten Zahlungen. d) Der Endwert einer Zeitrente ist die Summe aller auf das Vertragsende aufgezinsten Zahlungen. Schreibweise: Barwerte: ä a vorschüssige Zahlungsweise, nachschüssige Zahlungsweise. Endwerte: s s vorschüssige Zahlungsweise, nachschüssige Zahlungsweise. Im folgenden wird die Jahresrente auf 1 normiert. Wird der Betrag 1 in k gleich großen Teilen innerhalb eines Jahres jeweils zum Beginn oder zum Ende eines Zeitintervalls der Länge 1/k gezahlt, so sprechen wir von einer k-tel-jährlich n k-mal vorschüssig bzw. nachschüssig zahlbaren Rente. Bemerkung a) Im Gegensatz zu Leibrenten (etwa Alters- und Invalidenrenten), deren Zahlungen vom Leben bzw. allgemeinem Status einer Person abhängen, spielt bei Zeitrenten der Zufall keine Rolle! b) Im Folgenden ist das Rentenintervall in der Regel ein Jahr und die Verzinsung zusammengesetzt.

16 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 16 c) Bei vorschüssigen Zahlungen ist das Rentenende verschieden vom Zeitpunkt der letzten Zahlung. Bei nachschüssigen Zahlungen ist der Rentenbeginn verschieden vom Zeitpunkt der ersten Zahlung. Lemma a) Der Barwert einer Zahlung vom Betrag 1 zu Beginn des k-ten Versicherungsjahres ist v k 1. b) Barwerte und Endwerte von n Jahre lang jährlich vorschüssig bzw. nachschüssig zahlbaren Zeitrenten: ä n = a n = n 1 v k = 1 vn 1 v = 1 vn, (15) d n n 1 v k = v k+1 = v ä n = 1 vn, (16) i k=1 c) Barwerte ewiger Zeitrenten: s n = ä n r n = rn 1, d (17) s n = a n r n = rn 1. i (18) ä = lim n ä n = 1 d, (19) a = lim n a n = 1 i, (20) Beispiel: Eine Erbschaft von e soll bei 7%-iger Verzinsung in einer 12- mal nachschüssig jährlich zahlbaren Zeitrente von x Geldeinheiten umgewandelt werden. 1 1, = x a 12 = x 0, 07 x = , 60. Lemma Barwerte m Jahre aufgeschobener, n Jahre jährlich zahlbarer Zeitrenten: m ä n = v m ä n = v m 1 1 vn i, (21) m a n = v m a n = v m 1 vn i. (22) Satz Seien B bzw. B der Barwert einer jährlich vorschüssig bzw. nachschüssig zahlbaren Zeitrente und B (k) bzw. B (k) der Barwert der k-tel-jährlich vorschüssig bzw. nachschüssig zahlbaren Zeitrente mit denselben Jahresgesamtbeiträgen. Dann gilt: a) zusammengesetzte Verzinsung: B (k) = d d (k) B, B (k) = i B, (23) i (k)

17 2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 17 b) kaufmännische Verzinsung: B (k) = (1 k 1 2k d) B, B (k) = (1 + k 1 i) B (24) 2k Beweis: Der Beweis erfolgt nur für die vorschüssigen Zahlungen. Der Beweis für die nachschüssigen Zahlungen erfolgt analog. a) Die k-tel-jährlich vorschüssige Zahlung des Betrages 1 im ν-ten Versicherungsjahr bei zusammengesetzter Verzinsung hat den Barwert ν 1 ä (k) 1 = 1 k 1 k vν 1 j=0 v j/k = vν 1 k 1 v d = vν 1 1 v1/k d (k). Summation über die einzelnen Versicherungsjahren liefert a). b) Die k-tel-jährlich vorschüssige Zahlung des Betrages 1 im ν-ten Versicherungsjahr bei kaufmännischer Verzinsung hat den Barwert ν 1 ä (k) 1 = vν k = vν k (1 + i(1 j/n)) k j=0 (1 + i)k i k 1 j k j=0 ( (1 + i)k i ) (k 1)k k 2 ) = vν k 1 ( = v ν (1 + i) i k 1 2k = ( 1 d k 1 2k ) v ν 1 wegen v = (1 + i) 1, d = i/(i + 1). Summation über die einzelnen Versicherungsjahre liefert b). Folgerung: Barwerte k-tel-jährlich nk-mal vor- bzw. nachschüssig zahlbare Zeitrenten bei a) zusammengesetzter Verzinsung ä (k) n = d d (k) ä n = a (k) n = i i (k) a n = 1 1 v n, k 1 v1/k (25) 1 1 v n k v 1/k 1. (26) b) kaufmännischer Verzinsung ä (k) n = (1 k 1 2k d)ä n = a (k) n = (1 + k 1 2k i)a n = 1 vn 1 v k 1 2k (1 vn ), (27) 1 vn v k 1 2k (1 vn ). (28)

18 3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN 18 3 Zukünftige Lebenserwartung eines x-jährigen 3.1 Einleitung Gegenstand dieses Abschnittes ist die Modellierung des biometrischen Risikos. Da die Verzinsung deterministisch gewählt wurde, kommt hier erstmalig der Zufall und damit die Stochastik ins Spiel. Unter Risiko ist in der Lebensversicherung das Todesfallrisiko, aber auch das Invaliditätsrisiko zu verstehen. Dabei wird sowohl die Todesursache eines Einzelnen oder auch einer Gruppe von Leben betrachtet. Ebenso können auch mehrere Todesursachen berücksichtigt werden. Gibt es nur eine Ausscheideursache (z.b. nur Tod), so spricht man von einfacher Ausscheideordnung. Bei mehreren Ausscheideursachen spricht man von zusammengesetzter Ausscheideordnung. Einfache Ausscheideordnungen können ausschließlich mittels Zufallsvariablen modelliert werden (Lebensdauer und Ausscheideursachen), da die betrachtete Person nur einmal ihren Zustand ändert. Das allgemeine Geschehen in der Personenversicherungsmathematik ist dadurch gekennzeichnet, dass mehrere Personen zwischen endlich vielen Zuständen zu zufälligen Zeitpunkten wechseln. Dies kann nur mit Hilfe von stochastischen Prozessen beschrieben werden und ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Wenn möglich sollen wie bei der Verzinsung auch hier die stetige Methode und die diskrete Methode einheitlich betrachtet werden. Dies geschieht dadurch, dass man nicht das Geschehen zu einen Zeitpunkt, sondern bis zu einem Zeitpunkt betrachtet. Bei der Gewinnung von biometrischen Rechnungsgrundlagen insbesondere bei der Herleitung von Sterbetafeln aus geeigneten Beobachtungen werden statistische Fragestellungen behandelt. Im folgenden bezeichnen wir mit (x) einen x-jährigen Mann bzw. eine x-jährige Frau. Mit T (genauer T x ) bezeichne man die restliche Lebenserwartung eines x-jährigen. Zum Zeitpunkt des Todes einer Person beträgt das Alter somit x + T = x + T x. Die zukünftige Lebenserwartung T x ist eine Zufallsgröße mit Verteilungsfunktion G x (t) = P (T x t), t 0. G x (t) ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass die x-jährige Person innerhalb der nächsten t Jahre stirbt, t 0. Voraussetzung/Annahme: i) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von T x, G x, ist bekannt. ii) G x sei stetig und besitzt eine Dichte g(t) = G x(t) (Bemerkung: Die Existenz einer Dichte ist nicht zwingend erforderlich, s. Milbrodt/Helbig)

19 3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN 19 g(t)dt = P (t < T x < t + dt) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass der Tod innerhalb eines infenitesimalen Zeitintervalls von t nach t + dt eintritt. Notationen in der IAA: tq x := G x (t), tp x := 1 G x (t) =: S x (t), (29) s tq x := P (s < T x s + t) = G x (s + t) G x (s) = s+t q x s q x. (30) Dabei ist t p x die Wahrscheinlichkeit, das eine x-jährige Person mindestens t Jahre überlebt. s tq x ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine x-jährige Person s Jahre überlebt und innerhalb weiterer t Jahre stirbt. Außerdem sei tp x+s := P (T x > s + t T x > s) = P (Tx>s+t) 1 G x(s) tq x+s := P (T x s + t T x > s) = P (s<tx s+t) P (T x>s) und = G(s+t) G(s) 1 G(s). tp x+s ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person noch mindestens weitere t Jahre überlebt, wenn sie das Alter x+s erreicht hat. (Dies ist per se nicht gleich P (T x+s > t), wie die Notation vermuten lässt. Hier benötigt man eine Zusatzbedingung, die sog. Stationaritätsbedingung.) tq x+s ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person innerhalb der nächsten t Jahre stirbt gegeben das Ereignis, dass sie das Alter x + s erreicht hat. Es gelten folgende Beziehungen: s+tp x = 1 G x (s + t) = (1 G x (s)) 1 G x(s + t) 1 G x (s) = s p x t p x+s und s tq x = (G x (s + t) G x (s)) = (1 G x (s)) G x(s + t) G x (s) 1 G x (s) = s p x t q x+s. Die Interpretation dieser Beziehungen ist offensichtlich. Konvention: Für t = 1 wird der Index t in der Regel weggelassen: q x = 1 q x und s q x = s 1 q x.

20 3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN vollständige Restlebenserwartung eines x-jährigen Die vollständige Restlebenserwartung eines x-jährigen ist der Erwartungswert E(T ) von T und wird mit e x bezeichnet. e x := E(T x ) = 0 t g(t)dt. Mit Hilfe der partiellen Integration mittels des Satzes von Fubini (vgl. evtl. Aufgabe) gilt: e x = 0 (1 G x(t))dt = 0 tp x dt. (31) 3.3 Sterbeintensität Definition Betrachte einen x-jährigen (x). Sei G x die Verteilungsfunktion der zukünftigen Restlebensdauer eines x-jährigen. G x sei stetig differenzierbar und besitze die (Riemann-) Dichte g(t). Dann heißt µ x (t) = g(t) 1 G x (t) = d dt ln(1 G x(t)) (32) mit 0/0 := 0 die Sterbeintensität eines x-jährigen im Alter x + t. (Die Annahme, dass G stetig differenzierbar ist, wird nur getroffen, um die Betrachtungen von technischem Ballast frei zu halten. Tatsächlich genügt es vorauszusetzen, dass G stetig ist und eine Lebesgue-Dichte besitzt. Dann muss man allerdings mit Nullmengen operieren. Sogar die Existenz einer Dichte kann man fallenlassen. Dann arbeitet man mit sog. kumulierten Sterbeintensitäten.) Da nach Annahme T = T x eine absolut stetige Verteilung mit Dichte g besitzt, gilt: t s g(τ)dτ = G x (t) G x (s) = P (s < T x t) = s t s q x. Die Sterbeintensität µ x läßt sich dann schreiben als Interpretation: µ x = g S x (0/0 := 0). P (t < T x t + δ T x > t) δ = t+δ t g(τ)dτ δ S x (t) δ 0 g(t) S x (t) = µ x(t) (λ f. ü.) µ x (t) beschreibt somit die Momentansterblichkeit zur Zeit t. für δ klein. µ x (t)δ P (t < T x t + δ T x > t) = S x(t + δ) S x (t) S x (t)

21 3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN 21 Mit dem verallgemeinerten Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt dann: µ x (t) = d dt log S x(t) = d dt log t p x ( t ) S x (t) = exp µ x (τ)dτ, t 0. Dabei gilt die erste Beziehung nur λ- fast überall auf [0; G 1 x (1)], falls G nicht stetig differenzierbar. Bemerkung: Wichtige versicherungsmathematische Größen: 0 a) w x := x + G 1 x (1) mit G 1 x (1) = inf{y : G x (y) 1} rechnerisches Höchstalter eines x-jährigen, b) med(t x ) := G 1 x (0, 5) (vollständige) mittlere Restlebensdauer von x, c) e x := E(T x ) = 0 S x (t)dt = 0 tp x dt (vollständige) Restlebenserwartung von (x), 3.4 Stationaritätsbedingung Für praktische Zwecke möchte man zumindestens für ganzzahlige Alter x und für ganzzahlige zukünftige Verweildauern n die Werte n p x, n, x N vertafeln. Dazu müsste man allerdings eine Vielzahl von Wahrscheinlichkeiten abspeichern, was äußerst unpraktisch ist. Wünschenswert ist es daher, nur die einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten 1 p x, x N, abzuspeichern und die n-jährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten aus diesen abzuleiten. Dadurch könnte man die Zahl der abzuspeichernden Wahrscheinlichkeiten um eine ganze Dimension blackuzieren. Im folgenden wird daher stets die Stationaritätsbedingung (Verträglichkeitsbedingung) gefordert, die diese Blackuktion ermöglicht: P (T x+s > t) = P (T x > s + t T x > s) = t p x+s, s, t, x 0 (33) Falls die Stationaritätsbedingung gilt, kann die bedingte Wahrscheinlichkeit in der Definition von t p x+s ersetzt werden durch die unbedingte Wahrscheinlichkeit P (T x+s > t). Die Schreibweise t p x+s ist somit konform mit der allgemeinen Definition von t p x. Interpretation: Die Verteilung der zukünftigen Lebenserwartung eines s-jährigen ergibt sich aus der Verteilung der Lebensdauer eines Neugeborenen (x = 0) ausschließlich durch die Berücksichtigung der Zusatzinformation, dass inzwischen das Alter s erreicht wurde. Andere Zusatzinformationen (etwa das Ergebnis einer Risikoprüfung) spielen keine Rolle.

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