Kapitel 6. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

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1 Kapitel 6 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge (x ) 2 mit x ( 2)/( + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we (a) ε 0, (b) ε 00 ist. Aufgabe 6.2 Stelle Sie eie Vermutug auf für eie explizite Darstellug der rekursiv gegebee Folge (a ) mit a + 2a + 3a ud a, a 2 3 ud zeige Sie diese mit vollstädiger Iduktio. Aufgabe 6.3 Zeige Sie, dass für zwei positive Zahle x,y > 0 gilt lim x + y max{x,y}. Aufgabe 6.4 Welche der folgede Aussage sid richtig? Begrüde Sie Ihre Atwort. (a) Eie Folge kovergiert, we Sie mooto ud beschräkt ist. (b) Eie kovergete Folge ist mooto ud beschräkt. (c) We eie Folge icht mooto ist, ka sie icht kovergiere. (d) We eie Folge icht beschräkt ist, ka sie icht kovergiere. (e) We es eie Lösug zur Fixpuktgleichug eier rekursiv defiierte Folge gibt, so kovergiert die Folge gege diese Wert. Aufgabe 6.5 Beweise Sie mit der Defiitio des Grezwerts folgede Aussage: We (a ) eie Nullfolge ist, so ist auch die Folge (b ) mit b a j, N, j eie Nullfolge. Recheaufgabe Aufgabe 6.6 Utersuche Sie die Folge (x ) auf Mootoie ud Beschräktheit. Dabei ist (a) x + 2, (b) x ( + ), (c) x + ( 2), (d) x + +. Aufgabe 6.7 Utersuche Sie die Folge (a ), (b ), (c ) ud (d ) mit de ute agegebee Glieder auf Kovergez. a c b d b c

2 74 Aufgabe zu Kapitel 6 Aufgabe 6.8 Bereche Sie jeweils de Grezwert der Folge (x ), falls dieser existiert: (a) x + 2 ( + ) (b) x ( 2) 2 + (c) x 2 + (d) x Aufgabe 6.9 Bestimme Sie mit dem Eischließugskriterium Grezwerte zu de Folge (a ) ud (b ), die durch a +, b 2 +, N, gegebe sid. Aufgabe 6.0 Utersuche Sie die Folge (a ), (b ), (c ) bzw. (d ) mit de ute agegebee Glieder auf Kovergez ud bestimme Sie gegebeefalls ihre Grezwerte: ( a ) 2 (Hiweis: Beroulli-Ugleichug) /2 ( + i)( + i) b 2 ( + i) + q c + q, mit q>0 + ( q) d (iq) + i 2, mit q C + i Aufgabe 6. Zu a>0 ist die rekursiv defiierte Folge (x ) mit x + 2x ax 2 ud x 0 (0, a ) gegebe. Überlege Sie sich zuächst, dass x a gilt für alle N 0 ud damit iduktiv auch x > 0 folgt. Zeige Sie da, dass diese Folge kovergiert ud bereche Sie ihre Grezwert. Aufgabe 6.2 Für welche Startwerte a 0 R kovergiert die rekursiv defiierte Folge (a ) mit a + ) (a , N? Awedugsprobleme Aufgabe 6.3 Es solle explizite Formel für die Seiteläge der Papierformate DIN A, DIN B ud DIN C bestimmt werde. Für die Defiitio vo DIN A vergleiche das Awedugsbeispiel auf Seite 52. Die Seiteläge vo DIN B ergebe sich als geometrisches Mittel etsprechede Läge vo DIN A( ) ud DIN A, diejeige vo DIN C als geometrisches Mittel der Läge vo DIN A ud DIN B. Bestimme Sie explizite Darstelluge für die Folge (a ), (b ) ud (c ) der jeweils lägere Seite der Formate DIN A, DIN B bzw. DIN C.

3 Hiweise zu Kapitel 6 75 Aufgabe 6.4 Die Folge (x k ) defiiert durch x 0 0, x 3, x k x k x k x k + x k 2, k 2, kovergiert gege 3 ud liefert somit ei Verfahre zur umerische Berechug dieser Zahl. Vergleiche Sie dieses Verfahre mit dem Hero-Verfahre mit dem Startwert 3. Nach wie viele Iteratiosschritte sid jeweils ei, vier bzw. 2 Dezimalstelle korrekt bestimmt? Die auf 3 Stelle korrekte Dezimaldarstellug vo 3 lautet Aufgabe 6.5 Die Va-der-Waals-Gleichug, ( p + a ) V 2 (V b) RT, beschreibt de Zusammehag zwische dem Druck p, der Temperatur T ud dem molare Volume V eies Gases. Dabei ist R J/(mol K) die uiverselle Gaskostate. Die Kostate a ud b werde Kohäsiosdruck bzw. Kovolume geat ud sid vom betrachtete Gas abhägig. Für Luft betrage sie kpa l2 a 35.8 mol 2 ud b l mol. Es soll u das molare Volume für Luft bei eier Temperatur vo 300 K ud eiem Druck vo 00 kpa äherugsweise bestimmt werde, idem eie Folge kostruiert wird, die gege diese Wert kovergiert. (a) Leite Sie aus der Va-der-Waals-Gleichug eie Rekursiosvorschrift der Form her, die die Eigeschaft V + f(v ), N 0, V + V q V V, N, mit eier Zahl q (0, ) besitzt, falls 20 l/mol V 30 l/mol für alle N 0 gilt. (b) Aus der i (a) bewiesee Eigeschaft folgt mit Argumete, wie sie i der Vertiefug auf Seite 68 verwadt werde, dass die Folge der (V ) für jede Startwert V 0 zwische 20 l/mol ud 30 l/mol kovergiert. Der Grezwert V ist das gesuchte molare Volume, ud es gilt dabei die Abschätzug V V q q V V 0, N. Bereche Sie das gesuchte molare Volume auf 4 Dezimalstelle geau. Hiweise Verstädisfrage Aufgabe 6. Vereifache Sie de Ausdruck x. Aufgabe 6.2 Bereche Sie die erste vier Folgeglieder. Welche Zahle erhalte Sie? Aufgabe 6.3 Schätze Sie die Folgeglieder ach ute ud obe durch Terme ab, i dee ur die größere der beide Zahle vorkomme ud verwede Sie das Eischließugskriterium. Aufgabe 6.4 Gehe Sie die im Kapitel formulierte Aussage zur Kovergez durch, die Atworte ergebe sich daraus umittelbar. Aufgabe 6.5 Schreibe Sie mit der Defiitio des Grezwerts auf, was es bedeutet, dass (a ) eie Nullfolge ist. Spalte Sie die Summe i der Defiitio vo (b ) etspreched auf.

4 76 Lösuge zu Kapitel 6 Recheaufgabe Aufgabe 6.6 Um Beschräktheit zu zeige, vereifache Sie die Ausdrücke ud verwede geeigete Abschätzuge. Für die Mootoiebetrachtuge bestimme Sie die Differez oder de Quotiete aufeiaderfolgeder Glieder. Aufgabe 6.7 Forme Sie die Ausdrücke so um, dass i Zähler ud Neer ur bekate Nullfolge oder Kostate stehe ud wede Sie die Recheregel a. Aufgabe 6.8 Kürze Sie höchste Poteze i Zähler ud Neer. Bei (b) köe Sie x / 2 betrachte. Bei Differeze vo Wurzel führt das Erweiter mit der Summe der Wurzel zum Ziel. Aufgabe 6.9 Bei (a) köe Sie de Bruch i der Wurzel verkleier bzw. vergrößer. Bei (b) sollte ma mit der Summe der Wurzel erweiter ud da eie obere Schrake bestimme. Aufgabe 6.0 We Sie vermute, dass eie Folge divergiert, utersuche Sie zuerst, ob die Folge überhaupt beschräkt bleibt. Für die Folge (c ) ud (d ) beötige Sie eie Falluterscheidug. Was wisse Sie über die Folge (q ) mit q C? Aufgabe 6. Nutze Sie quadratische Ergäzug geschickt aus. Sie beötige das Mootoiekriterium ud für die Bestimmug des Grezwerts die Fixpuktgleichug. Aufgabe 6.2 Überlege Sie sich zuächst, welche Kadidate für de Grezwert es gibt. Betrachte Sie erst ur positive Startwerte ud überlege Sie sich, ob die Folge mooto ud beschräkt ist. Awedugsprobleme Aufgabe 6.3 Die Glieder aller drei Folge köe als Poteze der Zahl 8 2 agegebe werde. Stelle Sie für (a ) eie Vermutug auf, dere Richtigkeit Sie mit vollstädiger Iduktio beweise. Aufgabe 6.4 Die Formel für das Hero-Verfahre etehme Sie der Awedug auf Seite 67. Aufgabe 6.5 Schreibe Sie die Va-der-Waals-Gleichug als eie Fixpuktgleichug um ud mache Sie aus dieser eie Rekursiosvorschrift. Die gewüschte Abschätzug ergibt sich da aus eier Awedug der dritte biomische Formel. Für Teil (b) utzt ma die vorgegebee Kovergezabschätzug zur Bestimmug eies, für das V die gewüschte Geauigkeit besitzt. Lösuge Verstädisfrage Aufgabe 6. (a) N 29, (b) N 299. Aufgabe 6.2 Es gilt a 3 für N. Aufgabe 6.3 Aufgabe 6.4 (a) Richtig, (b) falsch, (c) falsch, (d) richtig, (e) falsch. Aufgabe 6.5 Recheaufgabe Aufgabe 6.6 (a) ubeschräkt, streg mooto wachsed, (b) beschräkt, mooto wachsed, (c) beschräkt, icht mooto, (d) beschräkt, streg mooto falled.

5 Lösugswege zu Kapitel 6 77 Aufgabe 6.7 (a ) ud (d ) sid koverget. (b ) ud (c ) sid ubeschräkt, also isbesodere diverget. Aufgabe 6.8 (a) lim x, (b) diverget, (c) lim x /2, (d) lim x /4. Aufgabe 6.9 lim a, lim b 0. Aufgabe 6.0 lim a, (b ) divergiert. Für q< ist lim c, für q divergiert die Folge. Die Folge (d ) divergiert für q 2 ud kovergiert gege ull für q < 2. Aufgabe 6. Die Folge wächst mooto, ud es ist lim x /a. Aufgabe 6.2 Für 3 <a 0 < 3 kovergiert die Folge mit lim a. Für a 0 3ud a 0 3 kovergiert sie ebefalls, aber mit lim a 3. Für alle adere Startwerte ist die Folge ubeschräkt ud daher diverget. Awedugsprobleme Aufgabe 6.3 Mit k 8 2 gilt a k 2 4, b k 4 4, c k 3 4. Aufgabe Schritte für eie, 6 Schritte für 4 ud 8 Schritte für 2 korrekte Dezimalstelle. Beim Hero-Verfahre werde 2, 4 ud 5 Schritte beötigt. Aufgabe 6.5 Für V l/mol ist die gewüscht Näherug erreicht. Lösugswege Verstädisfrage Aufgabe 6. Wir schreibe die Differez zwische ud x um, x Für N folgt 3/( + ) 3/(N + ). Aus 3 N + 0 N 29, ergibt sich damit, dass die Folgeglieder für N 29 die erste Abschätzug x /0 erfülle. Aalog erhalte wir aus 3/(N + ) /00 de Wert N 299 für die zweite Abschätzug. Aufgabe 6.2 Es gilt a 3 9, a 4 27, ud es lässt sich vermute, dass a 3 gilt. Der Iduktiosafag ist bereits erbracht, es geügt, de Iduktiosschritt durchzuführe. Dazu ehme wir a, dass a 3 ud a 3 2 gilt für ei N. Es folgt aus dieser Aahme a + 2 a + 3 a (2 + ) 3 3. Also ist der Iduktiosschritt gezeigt ud es gilt a 3 für alle N. Aufgabe 6.3 Wir dürfe aehme, dass x y ist, de asoste lasse sich die Rolle vo x ud y vertausche. Es folgt x x ( y ) x + y x + x 2. x

6 78 Lösugswege zu Kapitel 6 Also ergibt sich mit lim 2 ud dem Eischließugskriterium der Grezwert lim x + y x. Mit x y ist x max{x,y}. Aufgabe 6.4 (a) Dies ist die Aussage des Mootoiekriteriums, also richtig! (b) Nei, so ist etwa die Nullfolge ( ) / koverget, aber icht mooto. (c) Es gibt auch icht mootoe Folge, die kovergiere, siehe das Gegebeispiel zur vorherige Frage. (d) Diese Aussage stimmt. We eie Folge (x ) kovergiert, so ist sie auch beschräkt. Eie Schrake bekomme wir, da sich etwa zu ε ei N N fide lässt, sodass x x gilt für alle N, we x de Grezwert der Folge bezeichet. Damit gilt ud es folgt x x + x x x + für N, x max{ x, x 2,..., x N, x +}. (e) Durch eie Lösug der Fixpuktgleichug wird ur ei Kadidat für eie Grezwert ermittelt. Die Kovergez muss separat gezeigt werde. Aufgabe 6.5 Zu jedem ε>0 gibt es ei N N, sodass a <εist für alle N. Also gilt für N b N a j + a j j jn N max a j + N + ε j...n N max a j +ε. j...n Der erste Term geht gege ull für, daher ist für jedes ε>0. Hieraus ergibt sich die Behauptug. lim b ε Recheaufgabe Aufgabe 6.6 (a) Wir schreibe de Term um, Da der letzte Term positiv ist, folgt x x 2 ( ), die Folge ist also ubeschräkt.

7 Lösugswege zu Kapitel 6 79 Für die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder ergibt sich x + x ( + )( + 2). Da ( + )( + 2) 6 für N, folgt x + x /2 > 0, die Folge wächst also streg mooto. (b) Gaz ählich wie im Teil (a) ergibt sich Da auch x 0 für N, ist die Folge beschräkt. x Für die Mootoie betrachte wir wieder die Differez x + x 2 ( + ) 2 + ( + )( + 2) 2 ( ) ( + )( + 2) 0, de jeder hier auftretede Faktor ist größer oder gleich ull. Die Folge wächst mooto. (c) A de erste drei Folgeglieder, x, x 2 5, x 3 7, erket ma, dass die Folge icht mooto ist. Für gerades, also 2k mit k N, folgt x + 4 k. Für ugerades 2k, k N, erhält ma x 4k 2 4 k Damit gilt x für alle N, die Folge ist beschräkt. (d) Es ist x 0 ud x Daher ist die Folge beschräkt. Für die Mootoie schreibe wir x (2 + )/ ud betrachte de Quotiete zweier aufeiaderfolgeder Glieder, x + (2 + 3) x ( + )(2 + ) <. Die Folge fällt also streg mooto. Aufgabe 6.7 Es gilt lim a 2 lim 3 2 lim 2 3 lim lim

8 80 Lösugswege zu Kapitel 6 Also ist (a ) koverget. Für die Folge (b ) sehe wir b 3 2 a 2 2 ( ). 2 Die Folge ist ubeschräkt ud somit isbesodere icht koverget. Geauso divergiert die Folge (c ) mit c, da sie ubeschräkt ist. Für die Differez ergibt sich d b c ( ) Somit ist (d ) koverget mit lim d. Kommetar: Dies ist ei Beispiel, dass die Umkehrug der Recheregel für Grezwerte icht möglich ist: Auch we zwei Folge divergiere, ka ihre Summe sehr wohl kovergiere. Aufgabe 6.8 (a) Durch Kürze der höchste Potez vo i Zähler ud Neer ergibt sich x + 2 ( + ) 2 ( + ) ( ). + (b) Ma ka zeige ( ) x ( 2) ( ). 2 Die Folge (x / 2 ) kovergiert gege, isbesodere ist daher x 2 2 oder x 2 2 für alle ab eiem bestimmte 0. Dies bedeutet, dass (x ) ubeschräkt ist, also icht kovergiere ka. (c) Es ist mit der dritte biomische Formel x ( ). (d) Gaz aalog zum Teil (c) reche wir x ( ).

9 Lösugswege zu Kapitel 6 8 Aufgabe 6.9 Es gilt Daher folgt a 3. Die Terme liks ud rechts kovergiere beide gege. Daher ist ach dem Eischließugskriterium auch lim a. Für (b ) gilt 0 b ( 2 ) ( ) ( ) Die rechte Schrake kovergiert ebefalls gege ull, also ist ach dem Eischließugskriterium auch lim b 0. Aufgabe 6.0 Mit der Beroulli-Ugleichug folgt a ( 2 ) für alle N. Somit ergibt sich ( lim ) ( lim ) 2, also gilt mit dem Eischließugskriterium a für. Wir betrachte de Betrag der Glieder vo (b ), /2 + i + i /2 + i + i b 2 + i 2 2 /2 2 Die Folge ist ubeschräkt, also diverget. ( ). Für die Folge (c ) muss eie Falluterscheidug durchgeführt werde. Für q < gilt q 0 ud ( q) 0 für. I diesem Fall ist lim c. Im Fall q ist c 2/3 für jedes gerade ud c 2 für jedes ugerade. Daher ist die Folge diverget. Im Fall q> gilt für alle ugerade c Nu ist die Folge ubeschräkt ud daher diverget. + q + q q + q ( ). Für die Folge (d ) ist ebefalls eie Falluterscheidug otwedig. Für q < 2 schreibe wir ( q ) ( ) d i i 0 ( ).

10 82 Lösugswege zu Kapitel 6 Für q 2 utze wir die Darstellug d ( ) iq + q i. Der zweite Faktor kovergiert gege. Der erste Faktor divergiert aber, da die Folge (q ) für q divergiert. Die Aahme, dass (d ) kovergiert, führt also zu eiem Widerspruch. Aufgabe 6. Für 0,, 2,... betrachte wir die Differez a x + a 2x + ax 2 ( a a 2 2 ) a x + x 2 ( ) 2 a a x 0. Damit folgt x /a für, 2, 3,... Für 0 ist dies aber scho vorausgesetzt. Es gilt also ax, was wir im Folgede häufig ausutze werde. Isbesodere folgt auch ax 2, ud es ergibt sich x + x (2 ax ) 0. Damit gilt 0 x /a für alle N 0, die Folge ist beschräkt. Um Kovergez zu erhalte, beötige wir och die Mootoie. Dazu betrachte wir x + x 2x ax 2 x x ( ax ) 0. Die Folge ist also mooto wachsed. Aus dem Mootoiekriterium folgt, dass die Folge kovergiert. Um de Grezwert x lim x zu bestimme, betrachte wir die Fixpuktgleichug, die wir erhalte, idem wir i der Rekursiosvorschrift auf beide Seite zum Grezwert übergehe. Sie lautet x 2x ax 2 ud hat die Lösuge 0 ud /a. Diese sid die Kadidate für de Grezwert. Da die Folge mooto wächst ud scho x 0 > 0 ist, kommt 0 als Grezwert icht i Frage. Also gilt lim x /a. Aufgabe 6.2 Wir überlege us zuächst, welche Kadidate für Grezwerte es gibt. Diese sid die Lösug der Fixpuktgleichug a ( ) a 2 + 3, 4 also a ud a 3. Wir betrachte ferer die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder, a + a ( ) a a 4 (a 3)(a ). Idem wir die Vorzeiche der Terme auf der rechte Seite betrachte, köe wir eiige Aussage über Mootoieeigeschafte der Folge formuliere. Auf jede Fall gilt: Für a 0 oder a 0 3 ist die Folge kostat ud daher koverget. Schließlich betrachte wir och a + 4 (a2 ) 4 (a )(a + ), a (a2 9) 4 (a 3)(a + 3).

11 Lösugswege zu Kapitel 6 83 Nu köe alle Fälle abgearbeitet werde: Für a 0 3bzw. a 0 ergibt sich a 3 bzw. a, ud die Folge kovergiert. Ist a 0 > 3, so wächst die Folge streg mooto ud ist größer als beide Kadidate für de Grezwert. Also divergiert die Folge i diesem Fall. Ist a 0 < 3, so gilt a > 3. Auch da divergiert die Folge. Für <a 0 < 3 erhält ma auch <a < 3 für alle N. Die Folge kovergiert, da sie beschräkt ud mooto falled ist, ud es ist lim a. Für 3 <a 0 < ist <a < 3, ud wie im vorhergehede Fall erhält ma lim a Für <a 0 < wächst die Folge mooto, aber es gilt a < für alle N. Daher folgt auch hier lim a. Awedugsprobleme Aufgabe 6.3 Wir setze k 8 2. Nach der Defiitio vo DIN A ist a 0 a, a a 2 sowie a 0 a ud a a 2 /2. Damit folgt a0 2 a 0 a 2 a 2 a a 2 2 a0 2. Also ist a0 4 2 oder a 0 k 2. Ferer ergibt sich auch a k 2. Aus dem kostate Seiteverhältis bei DIN A, a +2 a +, 0,, 2,..., a + a ergibt sich die Rekursiosformel a +2 a2 +. a Daraus bestimme wir die ächste Folgeglieder, a 2 k 6, a 3 k 0, a 4 k 4. Dies legt die Vermutug a k 2 4 ahe, die wir mit vollstädiger Iduktio beweise. Der Iduktiosafag ist durch usere bisherige Überleguge scho erbracht. Wir ehme daher a, die Vermutug sei für ei N ud auch für + richtig. Da gilt ( a +2 a2 + k 2 4(+) ) 2 a k 2 4 k 6 4 k 2 4(+2). Damit ist die Vermutug für alle N als richtig achgewiese. Für die adere Folge ergibt sich u direkt ud b a a c a b k 6 4 k 2 4 k 4 4 k 2 4 k 4 4 k 3 4, jeweils für 0,, 2,..., wobei wir och a k 6 gesetzt habe.

12 84 Lösugswege zu Kapitel 6 Aufgabe 6.4 Die folgede Tabelle gibt die Dezimalwerte auf 3 Stelle geau wieder: k (x k ) Hero Aufgabe 6.5 (a) Wir schreibe die Va-der-Waals-Gleichug um zu RT V2 V b + pv 2 + a ud fasse dies als die Fixpuktgleichug der Iteratiosvorschrift V + b + RT V2 pv 2 + a, N 0 auf. Da gilt für aufeiaderfolgede Folgeglieder V + V RT V2 pv 2 + a RT V2 pv 2 + a RT a(v 2 V 2 ) (p V 2 + a) (p V 2 + a). Damit, ud mit de vorgegebee Schrake, folgt RT a(v + V ) V + V (p V 2 + a) (p V 2 + a) V V 60 l/mol RT a (p (20 l/mol) 2 + a) 2 V V. Mit de Zahlewerte errechet ma q 60 l/mol RT a (p (20 l/mol) 2 + a) <. (b) Wir wähle V 0 25 l/mol ud bestimme V l/mol. Um die gewüschte Geauigkeit zu garatiere, forder wir q q V V 0 < l/mol. Daraus folgt ( ) l l/mol V V 0 ( q) >.673. l q Also erfüllt V 2 scho die gewüschte Geauigkeit. Der Wert ist V l mol.

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