Schriftliche Prüfung aus Signaltransformationen Teil: Dourdoumas am

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1 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 errechte Punkte

2 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Gegeben se folgendes System von Dfferentalglechungen dx1 x dt dx ut () dt mt den Anfangswerten x (0) 0, x (0) 0 und der Engangsgröße 1 ut () sn () t. a) Bestmmen Se de LAPLACE - Transformerte der Engangsgröße U() s. b) Bestmmen Se durch Anwendung der LAPLACE - Transformaton de Funktonen X 1( s ) und X ( s ). c) Ermtteln Se de Orgnalfunkton x ( ). 1 t Aufgabe : Gegeben se de LAPLACE Transformerte ener Funkton f () t 5s Fs () s 4s 8. a) Geben Se ene mathematsche Begründung an, warum n desem Fall der Grenzwertsatz der LAPLACE-Transformaton zur Berechnung des Grenzwertes lm f ( t) ncht angewendet werden darf. b) Ermtteln Se de zugehörge Orgnalfunkton f () t. t Aufgabe : Gegeben se das zetdskrete Sgnal x gemäß folgender Abbldung: x Zegen Se dass für de zugehörge z-transformerte des Sgnals z X( z) z 1 glt.

3 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 5 errechte Punkte

4 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Zegen Se n mathematsch nachvollzehbarer Wese, dass de LAPLACE-Transformerte der Funkton f () t t cos( t) ( 0) durch gegeben st. s 6 s Fs () ( s ) Aufgabe : Gegeben se de rekursve Relaton x 1 x u ( 0, 1,, ), deren reelle Parameter und leder verloren gegangen snd. Dafür st jedoch bekannt, dass für de z-transformerte der Folge x durch x0 0 und u 1 gegeben st. X( z) 4z 6z 5z 1 a) Ermtteln Se mt Hlfe der z-transformaton de Folge x für obge Werte von x 0 und u. b) Berechnen Se den Grenzwert lm x mt Hlfe der z-transformaton. Begründen Se, warum der Grenzwertsatz anwendbar st. c) Ermtteln Se de Parameter und. Aufgabe : Gegeben se de z-transformerte F( z) z z z 1 0 Ermtteln Se n mathematsch nachvollzehbarer Wese de Orgnalfolge f.

5 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 errechte Punkte

6 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Zegen Se, dass de LAPLACE-Transformerte der Funkton durch gegeben st. f t e t t t () (6 6 1) 1 s Fs () 9 6s s Aufgabe : De Folge x ergbt sch aus den Folgen g und x k k k 1 wobe de z-transformerte von g durch 4 Gz ( ) z 1 gegeben st. a) Ermtteln Se ene rekursve Relaton der Form welche von x erfüllt wrd. u über de Bezehung gu, ( 1,,, ) x x u 1 b) Ermtteln Se x mt Hlfe der z-transformaton für de Engangsfolge 1 u 4. Aufgabe : Gegeben se de Dfferentalglechung dx x u dt mt dem Anfangswert x(0) 0 und der Engangsfunkton ut () t e. a) Bestmmen Se de LAPLACE-Transformerte X () s. b) Berechnen Se mt Hlfe der LAPLACE-Transformaton den Grenzwert x lm xt ( ) er exstert. (Begründen Se Ihre Antwort!) c) Bestmmen Se de Orgnalfunkton x() t mt Hlfe der LAPLACE-Transformaton. t, sofern

7 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 errechte Punkte

8 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Gegeben se de LAPLACE Transformerte Fs () s s 6se 5s 4. Ermtteln Se n mathematsch nachvollzehbarer Wese de zugehörge Orgnalfunkton f () t. Aufgabe : Gegeben se de Dfferentalglechung dx x u dt mt dem Anfangswert x(0) 1 und der Engangsfunkton Parameter. u e t. Herbe st en reeller a) Bestmmen Se de LAPLACE-Transformerte X () s. b) Ermtteln Se mt Hlfe der LAPLACE-Transformaton de Lösung x() t. c) Bestmmen Se mt Hlfe des Grenzwertsatzes der LAPLACE-Transformaton den Parameter so, dass be Vorgabe enes Enhetssprungs u () t für den Grenzwert x lm xt ( ) t x 1 glt. Aufgabe : Gegeben se de rekursve Relaton mt unbekannter Engangsfolge x 1 0.5x 0.5u ( 0, 1,, ), u. Bekannt st jedoch, dass de Folge x durch x 0 0 ( 0, 1,, ) (0.5) sonst gegeben st. a) Ermtteln Se de z-transformerte X ( z ) von x. b) Bestmmen Se U( z ) und davon ausgehend de Folge u. c) Stellen Se de Folgen x und u graphsch dar.

9 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 4 errechte Punkte

10 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Gegeben se folgendes System von Dfferentalglechungen dx1 x u dt dx x1x dt mt den Anfangswerten x1(0) x(0) 0. De Engangsgröße ut () legt n graphscher Form vor: u(t) t a) Bestmmen Se durch Anwendung der LAPLACE-Transformaton de Funktonen X () s und 1 X () s. b) Kann m vorlegenden Fall der Grenzwertsatz der LAPLACE-Transformaton zur Bestmmung von lm x1 ( t) angewendet werden? Geben Se ene mathematsche Begründung für Ihre t Antwort an! c) Ermtteln Se de zugehörgen Lösungen x () t und x () t. 1 Aufgabe : Gegeben se de z-transformerte 4 z 0.5z z F( z) ( z z0.5)( z 1). Bestmmen Se n mathematsch nachvollzehbarer Wese de zugehörge Orgnalfolge ( f ) mt 0,1,, Aufgabe : Gegeben se das zetdskrete Sgnal x gemäß folgender Abbldung: x Zegen Se, dass für de zugehörge z-transformerte des Sgnals glt: X( z) 1 1 z z1 4 z z z