1. An einem Leitungswiderstand R tritt eine sinusförmige Wechselspannung (Frequenz f, Kreisfrequenz 2 f. ) mit dem Momentanwert u( t)

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1 Praktikum Ei 1 V3 / 1 Vorbereitungsaufgaben V3 3.9 Vorbereitungsaufgaben 1. An einem eitungswiderstand tritt eine sinusförmige Wechselannung (Frequenz f, Kreisfrequenz f ) mit dem Momentanwert u( t) ˆ sint auf. Welchen zeitlichen Verlauf (a) Formel, b) Skizze) haben Momentanstrom und Momentanleistung für diesen Fall? c) Geben Sie die Formel für die mittlere eistung an. d) ragen Sie diese in die Skizze ein. ösung: a) i( t ) ˆ sin t ˆ / sin t p( t) u ( t) / i ( t) u( t) i( t) ˆ / sin t b) i(t):, p(t): ˆ 1 c) P p d) Siehe Skizze:. Die Momentanleistung an einem Widerstand kann in eine konstante und eine zeitvariable Komponente zerlegt werden. a) Schreiben Sie diese Komponenten auf. b) Welche Komponente ist für die Erwärmung des Widerstands maßgeblich verantwortlich (mit Begründung!)? c) Welche Frequenz hat die zeitabhängige Komponente? ösung: a) i( t) ˆ sint, u( t) ˆ sint ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 cost p( t) ˆsin t cost P p~ ( t) 1.5 P b) Die mittlere eistung ist die vom Körper aufgenommene eistung und wird in Joule sche ˆ ˆ Wärme umgewandelt. p P 1.5 P c) p ( ) hat doppelte Grundfrequenz f. ~ t 3. a) Geben Sie die Formel für den Effektivwert einer allgemeinen, periodischen Größe i(t) (Periodendauer ) an! b) Berechnen Sie daraus den Effektivwert einer sinusförmigen veränderlichen Größe i ( t) ˆ sin( t )! c) Wie groß ist der Effektivwert eines echtecksignals mit der Amplitude Î : t / : i( t) ˆ, / t : i( t) ˆ? d) Welchen Einfluss hat die Frequenz auf den Effektivwert in beiden Fällen b) und c)? 1 ösung: a) i ( t) dt Darmstadt

2 Praktikum Ei 1 V3 / Vorbereitungsaufgaben V3 b) 1 1 ˆ 1 ˆ 1 cos(t ) 1 ( ) sin ( ) ˆ i t dt t dt dt 1 ˆ, k t k c) echtecksignal: i ( t), k,1,,... 1 ˆ, k t k i t dt ˆ ( ) dt ˆ d) Die Frequenz hat in beiden Fällen keinen Einfluss auf den Effektivwert! ˆ 4. Schreiben Sie die allgemeine Formel für einen zeitlich sinusförmigen Strom- und Spannungsverlauf mit einer Phasenverschiebung des Stroms zur Spannung an. Welche Phasenverschiebung tritt auf: a) an einem Ohm schen Widerstand, b) an einem idealen Kondensator, c) an einer idealen nduktivität, d) an einer realen Spule? Geben Sie zu a) d) qualitative Skizzen der Zeitverläufe und der komplexen Zeiger von u und i an. Beachten Sie das Vorzeichen des Phasenwinkels φ! ösung: i( t) ˆsin( t ), u( t) ˆ sint Beachte: Der Phasenwinkel wird VOM Strom Z Spannung gezählt und ist im mathematischen Drehsinn (= entgegen dem hrzeigersinn) positiv zu zählen. a) : inks: Wechsel-Spannungs- und Stromverlauf an einem ohm schen Widerstand, rechts: zugehöriges Zeigerdiagramm.75 P b) / : Darmstadt

3 Praktikum Ei 1 V3 / 3 Vorbereitungsaufgaben V3 inks: Wechsel-Spannungs- und Stromverlauf an einem idealen Kondensator, rechts: zugehöriges Zeigerdiagramm.75 P c) / : inks: Wechsel-Spannungs- und Stromverlauf an einer idealen nduktivität, rechts: zugehöriges Zeigerdiagramm.75 P d) / : Eine reale nduktivität hat einen nicht vernachlässigbar großen ohm schen Wicklungswiderstand. Deshalb ist der Strom weniger als 9 gegenüber der Spannung nacheilend. Darmstadt

4 Praktikum Ei 1 V3 / 4 Vorbereitungsaufgaben V3 inks: Wechsel-Spannungs- und Stromverlauf an einer realen nduktivität, rechts: zugehöriges Zeigerdiagramm.75 P 5. Geben Sie für zeitlich sinusförmige Strom- und Spannungsverläufe mit einer Phasenverschiebung an einem Zweipol die Formel für die a) Wirkleistung P, b) Blindleistung Q, c) Momentanleistung p(t) und d) die Scheinleistung S an! Verwenden Sie in den Formeln die Effektivwerte. e) Geben Sie für P, Q, S Zahlenwerte an für = 3 V, = A, f = 5 Hz, φ = 3. f) Wie groß ist der Maximalwert der Momentanleistung? g) Wie ändern sich die Zahlenwerte P, Q, S, p max bei Übergang auf die Frequenz 6 Hz? ösung: a) P cos b) Q sin c) p( t) P(1 cost) Qsin t d) S P Q e1) S 3 46VA e) P S cos 46 cos3 398,37W e3) Q S P 3VAr f) p max P 796,8W g) Bei Übergang von 5 Hz auf 6Hz ändert sich nichts für S, P, Q, p max. 6. a) Für welche Art von Strom- und Spannungssignalen kann man ein elektrodynamisches Wattmeter benutzen? b) Wann ist ein elektronisches Wattmeter notwendig? c) Wie viele Klemmen hat ein Wattmeter? d) Wie sind sie angeschlossen (Skizze!)? ösung: a) Elektrodynamisches Wattmeter für sinusförmige Größen. b) Für nicht sinusförmige Größen: elektronisches Wattmeter. c) 4 Klemmen: für den Strompfad, für den Spannungfad. Darmstadt

5 Praktikum Ei 1 V3 / 5 Vorbereitungsaufgaben V3 d) Anschlussschema für die einphasige elektrische eistungsmessung 7. a) Geben Sie das Schaltbild für die messtechnische Bestimmung des Phasenwinkels (oszillographische Methode) zwischen der sinusförmigen Spannung u b (t) und dem Strom i(t) einer Spule an! b) Beschreiben Sie den Messablauf! c) Wie ist der Phasenwinkel aus den Messsignalen bestimmt? ösung: a) zum Oszilloskop Zweipol: u a ~ i u b Verbraucher, z.b. Spule (ohmsch-induktiv) Shunt Verbr i Schaltbild für die messtechnische Bestimmung des Phasenwinkels 1.5 P b) An einem Vorwiderstand sh wird über den Spannungsfall u der Strom aus u / sh als Zeitsignal oszillographiert. Die Spannung an der Spule u Verbr wird ebenfalls oszillographiert. Die Zeitverschiebung Δt zwischen den Nulldurchgängen der Signale u und u Verbr wird gemessen. Wegen der entgegengesetzten Bezugsrichtung von u verbr in der obigen Messschaltung ist zuvor u Verbr zu invertieren. 1.5 P t c) gezählt positiv von Strom zur Spannung 1/ f 8. a) Welche Größen können mit der Schaltung Bild 3.- direkt gemessen werden? b) Wie werden daraus die Effektivwerte von Strom und Spannung bestimmt? c) Wie kann man mit diesen Messwerten die Wirkleistung, Blindleistung, Momentanleistung und Scheinleistung für sinusförmigen Strom- und Spannungsverlauf berechnen? ösung: a) Gemessen werde direkt die Spannungsamplituden ˆ, Zeitverschiebung Δt. ˆ und die b) Stromamplitude ˆ / shunt ˆ /, Î /. t c) Über () werden ermittelt: Darmstadt

6 Praktikum Ei 1 V3 / 6 Vorbereitungsaufgaben V3 c1) P cos c) Q sin c3) p( t) P(1 cost) Qsin t c4) S. 9. a) Geben Sie die Schaltung für die eistungsmessung in Dreiphasensystemen mit der Drei-Wattmeter-Methode an. b) Sind drei eiter für diese Methode ausreichend? c) Wie wird die gesamte eistung bestimmt (Formel!)? d) Gilt diese Schaltung auch für nichtsinusförmige Ströme und Spannungen? ösung: a) Schaltung für die eistungsmessung in Dreiphasensystemen mit der Drei-Wattmeter-Methode b) Drei eiter sind nicht ausreichend, es muss ein Neutralleiter vorhanden sein! c) p = p + p S + p = u (t)i (t) + u S (t)i S (t) + u (t)i (t) d) c) gilt auch für nichtsinusförmige Größen. 1. a) Geben Sie die Schaltung für die eistungsmessung in Dreiphasensystemen mit der Zwei-Wattmeter-Methode (Aron-Schaltung) an. b) Wie viele eiter benötigt diese Methode? c) Wie wird die gesamte eistung bestimmt (Formel!)? d) Zeigen Sie, dass mit Wattmetern tatsächlich die Gesamtleistung bestimmt wird! ösung: a) Schaltung für die eistungsmessung in Dreiphasensystemen mit der Zwei-Wattmeter-Methode (Aron-Schaltung) b) Es werden nur drei eiter benötigt. c) P = P + P S d) p = p + p S = u i + u S i S = (u -u )i + (u S -u )i S = u i + u S i S - u (i +i S ) = u i + u S i S + u i Darmstadt

7 Praktikum Ei 1 V3 / 7 Vorbereitungsaufgaben V3 mit i + i S = -i 11. a) Wie berechnet man für einen ransformator das Übersetzungsverhältnis ü, wenn die Windungszahlen der Primärwicklung N 1 und Sekundärwicklung N bekannt sind? b) Wie wird das Übersetzungsverhältnis messtechnisch bestimmt? c) Wie groß ist die Sekundärannung bei offenen Sekundärklemmen, wenn primär 3 V/ 5 Hz anliegen (N 1 = 1, N = 1)? N1 ösung: a) ü N b) Bei eerlauf (= Sekundärklemmen offen) werden die Sekundärannung und die 1 Primärannung und 1 gemessen. Daraus ergibt sich ü. 1.5 P c) = 1 /ü = 3/(1/1) = 3 V 1.5 P 1. a) Wie groß ist das Strom- und Spannungsübersetzungsverhältnis für einen "idealen" ransformator? b) Wie groß sind die Verluste im idealen ransformator? c) Zeigen Sie, dass beim idealen ransformator Wirk-, Blind- und Scheinleistung unverändert von der Primär- auf die Sekundärseite übertragen werden. Verwenden Sie zu der Berechnung das Strom- und Spannungsübersetzungsverhältnis. ösung: a1) ü, a) ü b) Die Verluste im idealen ransformator sind Null. c1) P1 11 cos ü cos cos P ü c) Q1 11 sin ü sin sin Q ü c3) S1 11 ü S ü Berechnungsbeiiele Allgemeine Angaben für die Aufgaben 13. bis 1.: Bei einer Spule mit Eisenkern treten neben den Stromwärmeverlusten im Widerstand Sp, auch mmagnetisierungsverluste ("Eisenverluste") in Form von Wirbelstrom- und Hystereseverlusten auf. Diese Verluste werden wie die Stromwärmeverluste durch die Wirkleistungsaufnahme der Spulenwicklung gedeckt. Die mmagnetisierungsverluste können im Ersatzschaltbild für die reale Spule (Bild 3.9-1) als (Ohm scher) Eisenersatzwiderstand dargestellt werden, der parallel zur Spule (rein induktiv) mit der eaktanz X Sp liegt (siehe auch Versuch 4 Magnetische Gleich- und Wechselfeldmessungen, Kapitel 4.5 und 4.6). Darmstadt

8 Praktikum Ei 1 V3 / 8 Vorbereitungsaufgaben V3 Bild 3.9-1: Ersatzschaltbild einer Spule mit Eisenkern Die mmagnetisierungsverluste P werden über die je kg Materialmasse bei B = 1 und f = 5 Hz gemessenen ezifischen Verluste (Verlustziffer v 1 in W/kg) bestimmt. Bei f = 5 Hz gilt für die Masse m des (geblechten) Eisenkörpers: P B v1 1 m Der Eisenersatzwiderstand errechnet sich daher aus: P 13. a) Berechnen Sie für eine Spule mit einer sinusförmigen Spannung = V ( : Effektivwert, Netzfrequenz f = 5 Hz), einer Windungszahl N = 1 und einer Eisenquerschnittsfläche A = 46 mm² den Scheitelwert der Flussdichte B im Eisenkern! b) st bei dieser Flussdichte das Eisen gesättigt (siehe Kapitel 4)? ösung: a) Faraday sches nduktionsgesetz: d u N für sinusförmige Größen. dt Komplexe echnung: jn, B A B fna P b) B in B(H)-Kurve im ungesättigten Bereich. 14. Die Spule ist um einen ingkern (orus) gewickelt. Die mittlere änge des ingkerns ist s = 45 mm. Seine Eisenquerschnittsfläche ist A = 16 mm². Die Dichte von Eisen beträgt 785 kg/m³. Die Verlustziffer v 1 beträgt 5.5 W/kg (v 1 gilt für f = 5 Hz und B = 1 ) a) Wie groß ist die Masse m des Eisenkerns? b) Wie hoch sind die mmagnetisierungsverluste im Eisenkern für eine Flussdichte B =.11? ösung: a) m V s A kg P.11 b) P mw P Berechnen Sie für die Daten = 35 Ω, = 13.5 kω, X =,5 kω, = 4 V a) die Stromaufnahme der Spule (Bild 3.9-1), b) den Eisenverluststrom im FE und c) den induktiven Strom in X. Verwenden Sie die komplexe Wechselstromrechnung! Geben sie die drei Ströme mit eal- und maginärteil an. ösung: a) Darmstadt

9 Praktikum Ei 1 V3 / 9 Vorbereitungsaufgaben V3 1 Sp, Sp jx Sp 4 jx, jx jx,, A 1. P , j jx j X, X, b).6 - j.1595 A 1.5 P jx, c).96 j. 419 A 16. a) Wie groß ist der Eisenersatzwiderstand von Bild 3.9-1, wenn die Spulenannung = 5 V und die mmagnetisierungsverluste P =. W betragen? b) Berechnen Sie den gesamten Wirkwiderstand und Blindwiderstand der in Bild gezeigten Schaltung b1) allgemein (Formel möglichst vereinfachen), b) für eine Frequenz f = 5 Hz, Sp, = 35, = 13.5 k und Sp = 8 H! 5 ösung: a) 1. 5 kω P. j b1) Z, j b) X Sp = 513.5, X jx Z, X j49.6, X X jx j P 1.5 P 17. n der Spule tritt bei = 4 V, 5 Hz, bei, = 35 Ω, = 13.5 kω, = 8 H eine Stromaufnahme = 3.18 ma j ma auf. a) Wie groß ist der cos φ? b) Wie groß ist? c) Wie groß ist P? d) Wie groß ist P? e) Wie groß ist S? f) Stimmt die elation P + P = S. cosφ? Darmstadt

10 Praktikum Ei 1 V3 / 1 Vorbereitungsaufgaben V3 ösung: a) cos wirk wirk blind b), V c) P W 135 d) P cu 35( ). 91 W e) S VA f) S cos W P P W Die elation P P S cos stimmt numerisch überein. 18. Geben Sie die Verluste für a) Sp, und b) von Bild an, wenn Sp, = 3, = 4 V, = 8 H und = 15. k (bei 5 Hz) betragen. c) Welcher Verlustanteil dominiert?, j ösung: a) Z 44.5 j446.4 Z j 43,.789 j.4775v Z 44.5 j446.4 V P.78 W, 4 b) P. 15 W 15 c) P dominiert über P cu (Faktor: 13.46) 19. Eine Spule mit Eisenkern (μ = 4 μ ) hat eine Eisenquerschnittsfläche A = 5 mm, eine mittlere änge des Kerns s = 4 mm, N = Windungen. Es fließt ein Spulenstrom =. A (Effektivwert). Berechnen Sie a) den Scheitelwert der magnetischen ldstärke im Eisen H, b) der magnetischen Flussdichte im Eisen B, c) des magnetischen Flusses Φ und d) der magnetischen Flussverkettung Ψ der Spule! N ösung: a) Ampere scher Durchflutungssatz: H s A/m b) B H. 71 c) B A. 355 mwb d) N. 71Vs. Ein ransformator hat eine Primärwicklung mit N 1 = 1 Windungen. Der mit der Primärwicklung verkettete magnetische Fluss beträgt bei einem primären Stromfluss 1 = 1 A (Effektivwert) Φ =. Wb (Scheitelwert). Die Sekundärklemmen sind dabei Darmstadt

11 Praktikum Ei 1 V3 / 11 Vorbereitungsaufgaben V3 offen ( = ). Die Sekundärwicklung hat N = Windungen. a) Berechnen Sie die Primärflussverkettung Ψ 1 (Scheitelwert), b) die Selbstinduktivität der Primär- und Sekundärwicklung 1, und c) die Gegeninduktivität M! ösung: a) 1 N1 Vs 1 b1) H N1 N b) 1. 5 A H N N c) M H 1. Ein ransformator hat eine Eisenquerschnittsfläche A = 4 mm und eine mittlere änge des Kerns s = 4 mm. Primär- und Sekundärwicklung haben N 1 = 75 bzw. N = 15 Windungen. Die Eisenkern-Permeabilität ist μ = 4 μ. a) Berechnen Sie die Selbstinduktivität der Primär- und Sekundärwicklung 1, und b) die Gegeninduktivität M. 1 1 N A / s. N1N A / s. ösung: a1) N A / s. 87 H 1.5 P a) 113 H 1.5 P b) M 565 H Darmstadt