Hausaufgabe Modellierung und Simulation 1

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1 Hausaufgabe Modellierung und Simulation 1 Die Pareto Verteilung Die Pareto-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem rechtsseitig unendlichen Intervall zwischen x min und. Die Verteilung wurde zu Beginn zur Beschreibung der Einkommensverteilung Italiens verwendet. Die Verteilungsfunktion: P(x) = 1 - ( #$%& # )k Der Parameter x min gibt den Mindestwert der Verteilung an. Dieser ist gleichzeitig der Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsdichte und beschreibt somit die Lage der Verteilungsfunktion. Der Parameter k beschreibt das Verhältnis der Zufallsvariabel in Abhängigkeit zur Häufigkeit und verändert somit den grafischen Verlauf der Verteilungskurve. Je größer der Parameter k umso steiler verläuft die Verteilungskurve. Das bedeutet, dass größere Werte für die Zufallszahl X mit geringerer Wahrscheinlichkeit erreicht werden. Die Zusammenhänge werden in Abbildung 1 und Abbildung 2 visualisiert. In Abbildung 3 wird die Verteilungsfunktion mit einer logarithmischen Auftragung der X- Achse dargestellt. Inversionsmethode: Durch die Inversionsmethode kann man mithilfe von gleichverteilten Zufallswerten andere Verteilungsfunktionen erzeugen. Mit diesem Verfahren werden nachfolgend Pareto-verteilte Zufallswerte generiert. U: Gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 0 und 1 F(x) = P(x) U = F(x) à x= F -1 (U) U = 1 - ( #$%& # )k 1 U = ( #$%& # )k Pareto-verteilte Zufallszahlen: x = '()* / (+,-) 0

2 Programm zur Simulation der Pareto-Verteilung: % Erzeugung von Pareto-verteilten Zufallszahlen close all; clear; clc; N=1e5; u=rand(1,n);% Erzeugen von Zufallszahlen % Pareto Parameter k1=1.5; k2=2; k3=3; xmin=1; % Pareto-verteilte Zufallszahlen mit Inversionsmethode x1=sort(1./(1-u).^(1/k1));% Pareto-Verteilte Zufallswerte xmin=1; k=1.5 x2=sort(1./(1-u).^(1/k2));% Pareto-Verteilte Zufallswerte xmin=1; k=2 x3=sort(1./(1-u).^(1/k3));% Pareto-Verteilte Zufallswerte xmin=1; k=3 hist(x1,1000); %Histogramm bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte xlim([0,100]); title(['pareto k= ' num2str(k1)]) ylabel('pdf') grid on %------Kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung P1=1-(xmin./x1).^k1; P2=1-(xmin./x2).^k2; P3=1-(xmin./x3).^k3; % Plot der Wahrscheinlichkeitsverteilung figure(); plot(x1,p1); hold on plot(x2,p2); hold on plot(x3,p3); hold off title('kumulierte Pareto-Verteilung'); legend('k=1.5 xmin=1','k=2 xc=1','k=3 xmin=1'); xlim([0,20]); ylabel('p(x)'); grid on; % Berechnung statistischer Grˆflen Y1=prctile(x1,90);% 90%-Perzentil Y2=prctile(x2,90); Y3=prctile(x1,99);% 99%-Perzentil y4=prctile(x2,99); m=median(x1); mt=mean(x1); st=std(x1);

3 Abbildung 1: Wahrscheinlichkeitsdichte k=1,5 und x min=1 Abbildung 2: Kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung

4 Abbildung 3 kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit logarithmischer X-Achse Statistische Berechnungen: Zunächst werden die 90%- und 99%-Perzentile für die erzeugten Zufallswerte mit x min =1 und k=1,5 und k=2 berechnet. Ein Perzentil-Wert p mit (P%) gibt an, wie viel Prozent der vorhanden Werte genau so groß oder kleiner als dieser Wert p sind. k=1,5 k=2 90%-Perzentil 4,65 3,16 99%-Perzentil 21,57 10 Perzentile kann man mit dem Matlab-Befehl: Y=prctile(x,P) berechnen. Dabei steht x für die Matrix mit den Zufallszahlen und P für den Prozentwert des Perzentils. Bei der Pareto-Verteilung sind der Mittelwert und die Standardabweichung nicht besonders aussagekräftig. Denn Pareto-verteilte Zahlen sind, wie bereits erwähnt, in dem Intervall zwischen x min bis unendlich verteilt. Das heißt, dass auch besonders große Werte mit geringer Häufigkeit auftauchen. Diese besonders großen Werte beeinfluss stark den Mittelwert und erzeugen dadurch eine große Standardabweichung. Die Standardabweichung beschreibt die Differenz der einzelnen Werte zum durchschnittlichen Mittelwert der Datenreihe. Nachfolgend werden diese Größen in Matlab zur Demonstration für Pareto-verteilte Zufallswerte mit den Parametern k=1,5 und x min =1 berechnet:

5 Mittelwert 2,98 Standardabweichung 14,37 Median 1,58 Wie man aus den Ergebnissen sehen kann ist eine deutliche Differenz zwischen den Mittelwert und den Medianwert zu sehen. Wobei der Mittelwert durch den sehr großen Werten der Pareto-Verteilung stark beeinflusst wird, ermittelt der Median die exakte Mitte der sortierten Werte und legt diesen mittleren Wert als Median fest. Die Standardabweichung weist einen sehr hohen Wert auf. Dieser hohe Wert beschreibt die theoretische Vorüberlegung, dass es nicht sinnvoll ist, für die Pareto- Verteilung einen Mittelwert bzw. eine Standardabweichung zu berechnen. Wie man aus den Werten erkennt, ergibt sich eine große Streuung bei den Werten. In Matlab werden diese Größen mit Mittelwert: mean(x), Median mit median(x) und die Standardabweichung mit std(x) berechnet. Die Verwerfungsmethode Ist die Generierung der Zufallszahlen durch das Vorgehen der Inversionsmethode für eine Funktion zu umständlich bzw. zu komplex, wird häufig die Verwerfungsmethode angewendet. Für die Erzeugung einer Zufallsvariabel X mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = p x (x) gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte: Diese ist nur in einem endlichen Intervall [0,1] > 0 f(x) <= c (c: Konstante) Das nachfolgende Beispiel bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeitsdichte: f(x) = 6 x (1-x) Im ersten Schritt wird die Zufallszahl x aus einer Standard-Gleichverteilung erzeugt. Anschließend wird eine zweite Standard-gleichverteilte Zufallszahl u erzeugt. Danach wird geschaut, ob die Zufallszahl u <= f(x)/c ist. Wird diese Bedingung erfüllt, wird die Zufallszahl x an dieser Stelle für X akzeptiert. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, wird an dieser Stelle die Zufallszahl x verworfen. Diese Zusammenhänge werden in Abbildung 4 und 5 veranschaulicht. Der Maximalwert von f(x) ist die Konstante c. Der Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsdichte liegt bei x=0,5. Somit liegt der Erfolgsanteil bei 1/c.

6 Programm zur Simulation Verwerfungsmethode: % Verwerfungsmethode mit gegebener Funktion close all; N=1e5; u=rand(1,n);% Erzeugung Zufallszahlen mit Standard-Gleichverteilung x=rand(1,n);% Erzeugung zweiter unabhängiger Zufallszahl mit Standard- Gleichverteilung hist(x) y=6.*x.*(1-x); % gegebene Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion %Plot von f(x) figure plot(x,y) % Plot der Wahrscheinlichkeitsdichte Maximalwert bei c=1,5 und x=0,5 ylabel('f(x)'); title('wahrscheinlichkeitsdichte'); grid on; I=find(u<=y/1.5); % findet die Indizes der Werte für f(x)<=c=3/2; % Werte für die das nicht zutrifft, werden "verworfen" p=x(i); % greift auf den Inhalt der Indizes des Vektors für den % neuen Vektor p figure [count,xbin]=hist(p); scale = 1/10000; bar(xbin,scale * count); % Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)/c title('verwerfungsmethode N= gleichverteilten Zufallszahlen') ylabel('f(x)/c'); grid on; Abbildung 4 Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)

7 Abbildung 5 Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x)/c