2.3 Binäre Linearcodes

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1 Codierusteorie Biäre Liearcodes Es stellt sic eraus, dass a, u bei der Kostrutio effizieter Codes wirlic weiterzuoe, sic az wesetlic auf de Beriffsapparat der odere Alebra stütze uss, sodass auc wir ict az ui oe, eiie rudleede Beriffe ud Sätze aus diese Bereic ier eizufüre (welce aber oei zu Rüstzeu eies jede ateatisc Gebildete eöre sollte!) Sei M eie beliebie Mee Uter eier (zweistellie oder biäre) Operatio o auf M verstet a da eie Vorscrift, die jede Paar (a,b) M M ei eideuti bestites Eleet a o b M zuordet, also eie Abbildu o: M M M (I de acfolede Awedue werde wir für o ser oft oder screibe, doc ist dait i der Reel ict die ewölice Multipliatio bzw Additio eeit!) U it (zweistellie) Operatioe wirlic rece zu öe, setzt a ewölic eie oder erere der acfoled aufezälte Eiescafte voraus: o ist assoziativ, d es ilt (aob) ocao(boc) für alle a,b,c M o besitzt ei eutrales Eleet (oder Eiseleet), d es ibt ei e M, sodass ilt a o eeoaa für alle a M o ist reulär (oder ürzbar), d aus coacob oder aocboc folt stets a b für beliebie a,b,c M o ist ivertierbar, d es besitzt ei eutrales Eleet e ud zu jede a M ibt es ei Iverses, d ei a M, sodass ao a a oa e (Für a screibt a oft auc a ud bei Verwedu des Operatiossybols auc a) 5 o ist outativ, d es ilt ao bbo a für alle a M Für outative Operatioe werde wir übries oft das Operatiossybol statt o verwede, d die so additive Screibweise (i Geesatz zur obe verwedete ultipliative Screibweise) Ferer wird i diese Fall ei evetuell voradees eutrales Eleet i der Reel it bezeicet ud auc Nulleleet eat Eie Mee M zusae it eier zweistellie Operatio o auf M (wofür wir i folede oft auc urz (M,o ) screibe) eißt da eie Halbruppe, falls o assoziativ ist, ud eie Gruppe, falls o assoziativ ud ivertierbar ist Ferer eißt eie Halbruppe reulär bzw outativ, we die etsprecede Eiescafte für o elte (I Fall eier outative Gruppe sprict a auc vo eier abelsce Gruppe) Ma beacte, dass ei eutrales Eleet für o, falls es eistiert, stets eideuti bestit ist (Sid e ud f beide eutrale Eleete bez o, so ilt ja e e o f f) I eier Gruppe (M, o ) sid Gleicue der For a o b bzw y o a b für beliebie a,b M stets eideuti lösbar ud zwar it a o b bzw y b o a Isbesodere siet a so, ide a für b speziell das eutrale Eleet e der Gruppe it, dass Iverse stets eideuti bestit sid Auc ist das eutrale Eleet e das eizie Idepotet, d das eizie Eleet it der Eiescaft o, i der Gruppe (M, o ) (U dies zu see brauct a diese Gleicu ur it de Iverse vo zu ultipliziere)

2 Codierusteorie Ist (M, o ) eie Halbruppe bzw Gruppe ud U eie eilee vo M, welce bez der auf U eiescräte Operatio o selbst eie Halbruppe bzw Gruppe bildet, so wird U eie Uteralbruppe bzw Uterruppe vo (M, o ) eat Eie Uterruppe at dabei dasselbe eutrale Eleet wie die Gruppe (sost äbe es i der Gruppe ja er als ur ei Idepotetes!) ud es stie auc die Iverse i der Uterruppe U it de i der Gruppe M ebildete Iverse überei, da wir sost eie Widerspruc zur Eideutieit vo Iverse i M ätte M selbst ist stets eie Uteralbruppe bzw Uterruppe vo (M, o ) Dasselbe ilt für {u}, we u ei Idepotet i (M, o ) ist Beispiele 8: Die wol eläufiste Beispiele vo Halbruppe bzw Gruppe sid Zaleee it der ewölice Additio bzw Multipliatio als Operatio So bilde etwa N, N, Z, Q, R, C jeweils bez ud eie outative Halbruppe ud Z, Q, R, C bez soar jeweils eie abelsce Gruppe (i de letze Beispiel ist jede Gruppe eie Uterruppe der äcstfolede) Für jede atürlice Zal a auf der Mee {,,, } eie Additio eiefürt werde: a b, a b : a b, Z i foleder Weise falls a b < falls a b Z bildet dait, wie a leict zeie a, eie abelsce Gruppe Die Eleete vo Z eiße dabei Restlasse od (spric odulo ) Besoders wicti für us i obie Beispiel ist der Spezialfall Ide wir etwas ueau statt a ur a screibe, öe i diese Fall die Reel für die Additio wie folt zusaefasse:, Alleeier öe wir für F{,} auf der Mee F aller Biärwörter eier feste Läe eie Additio defiiere, ide wir die eizele Bits opoeteweise eäß obie Reel addiere, also zb Dait ist, wie a sofort siet, da auc F eie abelsce Gruppe Isbesodere ist das Nullwort (-al) das eutrale Eleet ud jedes Biärwort ist sei eiees Iverses (I derselbe Weise öte a auc alleeier für ei Codealpabet F it q Zeice eie auf F defiierte Gruppeoperatio, zb die Additio od q, sofort auf F übertrae, doc betracte wir i folede ur de für die Prais wictiste Fall F {, }) Dee wir us u auf F, wie obe erlärt, eie Gruppestrutur eiefürt, so erweist sic i vieler Hisict als üsti, uter alle Bloccodes der Läe über de Alpabet F vor alle jee zu betracte, welce soar Uterruppe vo F sid Speziell für Biärcodes ilt dabei Satz 9: Für F{,} ibt es zu jeder Uterruppe U vo Basis vo U, it folede Eiescafte: F eie eilee B, eat Kei b B läßt sic als Sue vo Eleete aus B\{b} darstelle Jedes U ist als Sue vo (wee soar eideuti bestite) Eleete vo B darstellbar (Speziell für das Nullwort at a dabei die so leere Sue zu ee)

3 Codierusteorie Hierbei ist zwar iall ict B selbst, wol aber die Zal B eideuti bestit, welce auc Diesio vo U eat wird, iz di(u) Uter eie (biäre) Liearcode C der Läe verstet a u eie Uterruppe vo it F{,} Geauer eißt C ei (,)-Liearcode, we di(c) ist Jede ( ) Matri G über F, dere Zeilevetore eie Basis für C bilde, eißt da eie Geerator- oder Basisatri für C Die Codieru a da i eier ser übersictlice For aeebe werde, ide a eifac jede Biärvetor (Nacrictewort) (,, ) der Läe durc a G (eeit ist ier das Matriprodut it Recu od i de Kopoete) für eie eeiete Basisatri G eie Biärvetor der Läe (Codewort) zuordet Ei weiterer Vorteil vo Liearcodes ist die viel eifacere Bestiu der Miialdistaz Defiiert a älic als das Hai-Gewict w() eies Wortes (,, ) als die Azal der vo versciedee Stelle, ud das Miialewict w(c) des Codes als das leiste Gewict w(c) für Codewörter c, so ilt : Satz : Die Miialdistaz eies Liearcodes ist leic seie Miialewict Eierseits ist älic w(c) d(c,), sodass w(c) d(c) sei uss Adererseits ist aber auc d(,y)w(-y), woraus wiederu d(c) w(c), also isesat d(c)w(c) folt Beispiele : Alle Biärcodes i de Beispiele ud 7 sid tatsäclic Liearcodes Für de Code C{,,,} aus () etwa ist B{,} (oder jede adere -eleetie eilee vo C, welce das Nullwort ict etält) eie Basis, d es adelt sic ier u eie (,)-Liearcode it d(c)w(c) Die Codieru öte a daer auc aebe i der For (, ) a (, ) (, ) F Für de biäre Haicode der Läe 7 aus 7() wiederu sid die erste Nacrictebits a,a,a, a beliebi, wäred die restlice Bits a 5,a 6, a 7 aufrud der Paritätsleicue eideuti bestit sid, die wir u auc i der For a 5 a a a, a 6 a a a, a 7 a a a ascreibe öe, wobei diese Gleiceite i der Gruppe ( Z, ) elte Als Geeratoratri G für diese Code öte a zb G ee Isbesodere adelt es sic dabei also u eie (7,)-Liearcode, vo de wir sco wisse, dass seie Miialdistaz (ud daer auc sei Miialewict) beträt I beide Beispiele atte übries die aeebee Geeratoratri die so aoisce For G (E A), wobei die Diesio des Codes, E die ( )-Eieitsatri ud A eie eideuti bestite (-)- Matri ist Eie solce Geeratoratri a stets eau F

4 Codierusteorie da efude werde, we es sic u eie systeatisce Codieru adelt, bei der die erste Stelle eies jede Codewortes die ursprülice Nacrict bilde Jede Liarcode C a i atürlicer Weise ei weiterer Liearcode zueordet werde Satz : Sei C ei (,)-Liearcode über F ud sei C die Mee aller Vetore (,, ) F für welce ilt ( c,,c )(,, ), d c c, so ist da C ei (,-)-Liearcode über F, eat der Dualcode vo C, ud es ist ueert C der Dualcode zu C Ist ferer H eie Basisatri des Dualcodes C, so wird sie eie Kotrollatri des ursprülice Codes C eat, de es ilt v C Hv Speziell für eie aoisce Geeratoratri G (E A) ist dabei H : ( A E ) stets eie Kotrollatri zu C, die so aoisce Kotrollatri (Hier ist v der Vetor v aescriebe als Spaltevetor ud A die zur Matri A traspoierte Matri, bei welcer eeüber A Zeile ud Spalte vertausct sid) Beispiele : Betracte wir dazu oceial die beide Codes aus Für de erste ist, wie wir esee abe, G eie aoisce Geeratoratri, daer ist ac H eie aoisce Kotrollatri dazu, d ( ( ),, ) C ()(,, ) i Z (Keie Überrascu, de so atte wir de Code ja ostruiert!) Für de zweite Code eribt sic i leicer Weise aus der i aeebee aoisce Geeratoratri D die Kotrollatri H Screibt a i diese Fall die Bediu dafür, dass (,,, 7 ) ei Codewort ist, älic H(,,, 7 ) opoeteweise aufesclüsselt a, so erält a 5, 6, 7 was ebefalls ict uerwartet ot Wir ätte also auseed vo de letzte Gleicue, die wir seierzeit zur Kostrutio des Codes verwedet abe, auc die Kotrollatri sofort iscreibe öe, älic als die Koeffizieteatri der Paritätsleicue des Codes! Liearcodes ace u auc die Aalyse eies evetuelle Übertrausfelers ser viel eifacer Zuacst bezeicet a für de Fall, dass das Codewort c C esedet ud v F epfae wurde, die Differez e : v c als de Feler bei der Übertrau (Ist

5 Codierusteorie 5 isbesodere e, so ist also ei Übertrausfeler passiert!) Daraus folt die triviale, aber wictie Feststellu, dass für eie festealtee Feler e F die epfaee Wörter alle i der so Nebelasse ec:{ e c c C} liee üsse Für diese Nebelasse ilt der rudleede Satz : Sei C ei beliebier Liearcode über F it der Kotrollatri H ud e,f F Es ilt da ( e C) ( f C) Ø e C f C c C : e f c eh Isbesodere bilde soit die versciedee Nebelasse eie Zerleu vo F i paarweise disjute ictleere eilee, ud es eistiert ferer eie Bijetio zwisce de Nebelasse ec ud de so Sydroe eh ( e F ) Uter der Aae, dass bei Sede des Codewortes c der Übertrausfeler e passiert ist, sodass v e c epfae wurde, öe wir aus obie Satz scließe, dass v C e C bzw vh eh elte uss Bei der ML-Decodieru ist es dabei aelieed, dass a uter alle ölice Feler, welce also alle i derselbe Nebelasse wie v liee, eie vo leistölice Gewict auswält, de so Nebelasseafürer Ist e,e,, es eie Liste sätlicer Nebelasseafürer, so brauct a, u de warsceilicste Feler e zu eralte, also ur jee Nebelasseafürer e j zu betracte für de ilt e jh vh Eie abelle, welce zeileweise die versciedee Nebelasse e i C, i,,,s, - jeweils aefürt vo de Nebelasseafürer - etält, et a auc Stadardorreturscea Zwei atsace verdiee es für diese Art der Decodieru oc esodert festealte zu werde: Es öe dait eau jee Feler orriiert werde, welce Nebelasseafürer sid (alle adere werde aratiert falsc decodiert) Es öe dait eau da alle Feler a öcstes t Stelle orriiert werde, we diese i versciedee Nebelasse liee (da sie ur da ac userer Auswaletode aratiert zu Nebelasseafürer werde) fh Beispiel 5: Wir betracte dazu de biäre (,)-Liearcode C, welcer durc die Kotrollatri H eebe sei Es ist da C{,,,} ud das Stadardorreturscea (zusae it de Sydroe) at die For: Nebelasse Sydro C C C

6 Codierusteorie 6 C Wie a see a, war für die Nebelasse C die Auswal des Nebelasseafürers ict eideuti, da ei weiterer Eifacfeler, älic i derselbe Nebelasse liet Isbesodere folt daraus, dass it diese Code ict alle Eifacfeler orriiert werde öe Wurde u i diese Beispiel zb das Wort v epfae, so zeit die Berecu des Sydros vh, dass v i der Nebelasse C liet (was ja auc tatsäclic der Fall ist!) ud wir ee als warsceilicste Feler de Nebelasseafürer a, d decodiere v i das Codewort v e, welces die Spalte vo v afürt Biäre Polyocodes Die additive Strutur der i vorie Abscitt betractete Liearcodes at die Codieru ud Decodieru bereits ser vereifact Wir ee u oc eie Scritt weiter, ide wir usere Codes auc eie ultipliative Strutur auferlee, was, wie wir leic see werde, weitere Vorteile it sic brie wird Wir betracte i folede wieder ur das Biäralpabet F{,}, doc lasse sic usere Betractue auc oc auf de Fall veralleeier, wo F aus q Zeice bestet ud q eie Prizalpotez ist (s 7) Für die Eifüru dieser ultipliative Strutur screibe wir u die Eleete vo F (für ei beliebies, aber festes N) u i der For ( a,a,,a ) it a i F, i,,,-, d wir beie bei der Idizieru der Kopoete bei, ud idetifiziere es da it de Polyo a a a a Diese Polyodarstellu wird also i folede völli leicberectit ebe der ewote Wortdarstellu a a a bzw Vetordarstellu ( a,a,,a ) verwedet, wa ier dies zwecäßi ersceit Der Vorteil dieser Darstellu liet dari, dass für die Mee aller Polyoe it Koeffiziete i F bereits i atürlicer Weise eie Multipliatio eistiert, ide a älic zwei Polyoe uter Beactu der Recereel i F foral ausultipliziert Wir öe dait zb die Codieru, welce eie -stellie Nacrictewort a ei -stellies Codewort c (it >) zuordet, so voree, i de wir die Polyodarstellu a() des Nacricteworts vo Grad < it eie feste Polyo () vo Grad - ultipliziere ud das Erebis c() : a()(), also ei Polyo vo Grad <, als die Polyodarstellu des Codewortes c asee Diese Art der Codieru bietet durc die eiface tecisce Realisieru it Hilfe vo Addierodule ud Sciebereister roße Vorteile Das Polyo () eißt da Geeratorpolyo oder Basispolyo des Codes Wie a sic leict überlet, erält a auf diese Weise eie (,)-Liearcode Beispiel 6: Wir betracte de (,)-Liearcode, der durc das Geeratorpolyo () : defiiert wird Aus de Gleicue () () ()

7 Codierusteorie 7 ()() öe wir da folede Zuordue ablese: a a a a d wir eralte eie Code, welcer systeatisc a der ud Stelle ist Statt durc das Geeratorpolyo () ätte wir diese Code auc zb durc die Geeratoratri bzw die Kotrollatri G H aebe öe, d es adelt sic dabei wirlic u eie Liearcode Aus alebraiscer Sict bilde die Polyoe über F eie so Ri Dabei eißt eie Mee R zusae it zwei biäre Operatio ud, wofür a da auc ( R,, ) screibt, ei Ri we ilt (R,) ist eie abelsce Gruppe ( R, ) ist eie Halbruppe a(bc) abac ud (bc)a baca a,b,c R (Distributivesetze) Ist darüber iaus ( R, ) soar eie outative Halbruppe it Eiseleet (a sprict i diese Fall auc vo eie outative Ri it Eiseleet), at R idestes Eleete ud sid i ( R, ) alle Eleete it Ausae vo ürzbar bzw ivertierbar, so sprict a vo eie Iteritätsri bzw Körper I ace Iteritätsrie ibt es auc so etwas wie eie Divisio it Rest, was da oft ser utzbried aeweded werde a Geauer sat a vo eie Iteritätsri ( R,, ), dass er ei Eulidiscer Ri sei, we für i eie Futio δ : R \{} N eistiert, wobei δ (r) der Grad vo r eat wird, so dass es zu je zwei Eleete a,b R it b stets Eleete q,r R ibt it a qbr ud etweder r oder δ ( r) < δ(b) Die Bedeutu vo Eulidisce Rie eribt sic ua daraus, dass i ie zu je zwei Eleete a ud b stets ei rößter eeisaer eiler d vo a ud b eistiert, iz d(a,b) (Geauer bedetet bedeutet dies, dass d ei eeisaer eiler vo a ud b ist ud vo jede adere eeisae eiler t vo a ud b eteilt wird) Darüberiaus besitzt d auc oc stets eie Darstellu der For d ayb it ewisse Eleete,y R Sowol d, als auc ud y, öe it Hilfe des so Eulidisce Aloritus efude werde Dieser bestet i de Divisiosscea der For r r r q it δ r ) < (r ) ( δ

8 Codierusteorie 8 q it δ r ) < (r ) r r r ( δ r q r r it δ ( r ) < δ(r ) r q r wobei der letzte ictverscwidede Rest r da ei vo a ud b ist ud a die Koeffiziete ud y auseed vo der vorletzte Gleicu für r durc Rücwärtseisetze der Reste eralte a Beispiel 7: Die eläufiste Beispiele vo Rie sid wieder ewisse Zaleee it der ewölice Additio bzw Multipliatio als Operatio So bilde etwa Z, Q, R, C jeweils bez ud eie Iteritätsri (ict aber N ud N!), wobei Q, R, C soar Körper sid Alleei ist atürlic jeder Körper auc ei Iteritätsri, aber wie das Beispiel Z zeit, ilt ict die Ueru Z ist dabei auc ei eulidiscer Ri it der wie üblic erlärte Divisio ud it der durc δ ( z) z defiierte Gradfutio Jeder Körper ist i trivialer Weise ei Eulidiscer Ri, da sic die Divisio vo a durc b ier auset, also der Rest ier ist Für jede atürlice Zal a auf der Mee {,,, } Z ebe der i 8 betractete Additio auc eie Multipliatio eiefürt werde Idetifiziert a dazu für ei beliebies u Z die Restlasse u od it jeer eideuti bestite Restlasse r Z für welce ilt u qr für ei ewisses q Z (d r ist der Rest bei der Divisio vo u durc ), so a dait die Multipliatio i auc eifac so defiiere a b : a b (a, b Z Z (Auc die Additio öte it dieser Festsetzu u eifacer durc a b : a b (a, b defiiert werde, wie a sic selbst überzeue öe) ( Z,, ) bildet da i jede Falle eie outative Ri it Eiseleet (älic ), eat Restlasseri od Dabei öe außer iall oc weiter Eleete i Z eistiere, welce ict ürzbar sid (Ma betracte etwa die i Z 6 ültie Gleicu!) Wie a alleei zeie a, ilt die Kürzbareit durc Eleete eau da, we eie Prizal ist, ud i diese Fall ist Z soar ei Körper, d alle Eleete abe soar ei Iverses Der für us wictiste Fall ist atürlic wieder We wir, wie i der Prais oft üblic, die Querstrice wieder welasse, scaue die Operatiostafel speziell für Z (ac obie also ei Körper!) da so aus: Z ) ) Mit de obe eiefürte Bezeicue öe wir u auc sae, dass die Mee F[] aller Polyoe a a a it a i F, wobei F ei Körper ud variabel

9 Codierusteorie 9 ist, eie Iteritätsri it de wie üblic erlärte Operatioe bildet F[] ist soar ei Eulidiscer Ri, we a de Grad eies Polyos i der üblice Weise defiiert Deeeüber bildet die vo us i der Eileitu betractete Mee F, we a, wie dort ausefürt, die Eleete als Polyoe vo Grad - iterpretiert, ict eial eie Ri, da für > die Polyoultipliatio auf Polyoe vo Grad füre a U diese Mißstad zu beebe, fürt a u oft ei festes oriertes Polyo f () c c vo Grad ei ud defiiert für zwei Polyoe u() ud v() als dere Produt u()*v() jees Polyo w(), das a erält, ide a zuäcst das orale Produt u()v() bildet ud ascließed de Rest bei der Divisio vo u()v() durc f() (dieser at ja da eie Grad < ) berecet u()*v() wird auc das Produt u()v() od f() eat Der etsteede Ri wird auc Polyori od f() über F eat ud it F[]/(f()) bezeicet Dieser Ri ist eau da ei Iteritätsri ud da soar ei Körper, we f() irreduzibel, d ict als Produt vo Polyoe leiere Grades darstellbar ist Werde alleeier Codealpabete F it q Zeice betractet, so versuct a auc i diese Fall i der Reel, F it eier Körperstrutur zu versee I dieser Hisict ist da foleder Satz vo roßer Bedeutu: Satz 8: Auf eier Mee F it q Eleete a eau da eie Additio ud Multipliatio eiefürt werde, sodass ( F,, ) zu eie Körper wird, we q eie Prizalpotez p ( ) ist Er ist bis auf Isoorpie, d bis auf die Bezeicusweise der Eleete, eideuti eebe durc de Körper Z p [ ] /(f ()), wo f() ei beliebies Z vo Grad sei a irreduzibles Polyo i [ ] p Beispiel 9: Wir wolle it Hilfe vo 8 eie Körper it Eleete ostruiere ud betracte dazu die Polyoe,,, über Z it der Additio ud Multipliatio od f(), wobei wir für f() das über Z irreduzible Polyo ee Es ilt da zb c () ( ) ( ) ( ) Isesat erält a so die Operatiostafel: od f() aus dee a uittelbar abliest, dass es sic dabei tatsäclic u eie Körper adelt Die Vorteile der Ariteti od f() für die Codierusteorie oe jedoc erst voll zu rae, we a das i der Eileitu betractete Geeratorpolyo () des Codes so wält, dass es ei eiler vo f() ist, d dass ilt f()()() für ei ewisses Polyo () f() wird dabei das Hauptpolyo ud () das Kotrollpolyo des Codes eat Hat f() de Grad ud () de Grad (bzw äquivalet dait () de Grad -), so erält

10 Codierusteorie a so eie (,)-Liearcode über F, de wir als auc als (,)-Polyocode bezeice wolle Für de Rest des Abscitts setze wir u stets eie Polyocode voraus, wobei f(), () ud () die obe aeebee Bedeutu abe Für diese a a aus de Darstellue [ ] F () bzw [ ] F () für () bzw () eie (ictaoisce) Geeratoratri G bzw Kotrollatri H sofort aebe, älic G bzw H Die Bedeutu des Kotrollpolyos eribt sic aber isbesodere daraus, dass i Aaloie zu de i eiefürte Sydroe auc die Ausdrüce u()*() od f() als Sydroe diee öe, welce für jedes Polyo u() über F vo Grad < i eideutier Weise die Nebelasse bestie, i der u() (aufefasst als Eleet vo F ) liet Dies ist eie Fole vo Satz : Ist () das Kotrollpolyo eies (,)-Liearcodes, so ilt (uter Verwedu der Polyodarstellu für die betractete Wörter) c() * () C () c od f() u() ud v() liee i dersebe Nebelasse des Codes eau da, we ilt v() * () () * () u od f() Wird also v() epfae, so erält a uter Zurudeleu eies Stadardorretursceas als warsceilicste Feler dejeie Nebelasseafürer e() jeweils i Polyodarstellu, für welce ilt v()*() e()*() od f() Wie wir sco wisse, sid Polyocodes Uterruppe des Ris F[]/(f()), wo f() das Hauptpolyo des Codes ist Diese Uterruppe abe darüberiaus die ser spezielle Eiescaft, dass it c() C auc c()*u() od f() C ist für beliebie u() i F[]/(f()) Solce Uterruppe der additive Gruppe eies Ries werde alleei Ideale des Ris eat I usere Fall, wo alle c() i Code C darüberiaus Vielface eies feste Eleets des Ris, älic des Geeratorpolyos () sid, sprict auc vo eie Hauptideal, eauer vo de vo () erzeute Hauptideal, iz C (()) (atsäclic a a soar zeie, dass für de vo us betractete Ri F[]/(f()) jedes Ideal ei Hauptideal ist)

11 Codierusteorie Der i der Prais bei weite äufiste ud wictiste Fall sid Polyocodes, für welce das Hauptpolyo die spezielle For f() at, da für sie die Ipleetieru besoders eifac ist Solce Codes werde auc zylisce Codes eat, da für sie ilt: c,c,,c ) C (c,c,c,,c ) C (, d it jede Codewort liee auc alle zylisce Vertauscue davo i Code So eöre etwa die so Reed-Soloo-Codes, die i eier odifizierte Versio bei der Felerorretur vo Audio-CD s eiesetzt werde, zu der Klasse der zylisce Codes Leider ist ser viel eorie (vor alle Sätze über edlice Körper) owedi, u erläre zu öe, wie dies i Detail futioiert, sodass wir es bei dieser Adeutu belasse üsse Beispiel U zb eie zylisce Biärcodes der Läe 5 zu bestie et a a beste vo der Zerleu 5 ( )( )( )( )( vo 5 5 i irreduzible Polyoe über Z aus Es ibt da ( ) Möliceite, das Geeratorpolyo () zu wäle, wobei der Grad vo () die Azal der Kotrollstelle aibt Gaz rob esproce ist es also so, dass it zueede Grad vo () die Felerorreturapizität iall zuit, wobei es aber oc auf Feieite der Auswal aot Wält a zb ier 5 8 () ( )( )( ) (alle Recue werde i Z [] ausefürt!) so öte ac obie eie Geeratoratri so aussee: G Alle adere Codewörter erebe sic durc Suebildu aus de Zeilevetore vo G, woit a C{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } also eie Code it Miialewict (ud daer Miialdistaz) 7 erält, it de soit ac Satz alle Feler a öcstes Stelle orriiere a! Nee wir al a, das letzte Codewort i dieser Liste, welces i Polyodarstellu die For )

12 Codierusteorie at, wäre bei der Übertrau i abefälsct worde U diese Feler beötie wir das Kotrollpolyo 6 8 u () 6 v () e () 8 a Stelle zu orriiere 5 () ( ) / () ( )( ) des Codes Da berece wir das Sydro v() * () od ( 5 ) ud eralte dafür Ide a i leicer Weise das Sydro für alle 576 Feler a öcstes Stelle berecet, siet a, dass tatsäclic eau für usere Feler e() das leice Sydro eralte wird, d dieser Feler wird ricti orriiert 5

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